Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений

Лекция 3. Поведение траекторий динамических систем на плоскости

жүктеу/скачать 1,95 Mb. бет 4/28 Дата 08.02.2022 өлшемі 1,95 Mb. #118559 түрі Лекция

Бұл бет үшін навигация:

• строго монотонна.

Лекция 3. Поведение траекторий динамических систем на плоскости Рассмотрим динамическую систему (1) в которой функции и определены и непрерывны на всей плоскости и удовлетво­ряют условию Липшица в любом замкнутом ограни­ченном множестве. Пусть L — отрезок прямой, обладающий тем свой­ством, что, какова бы ни была точка , вектор f(x) не параллелен L. Заметим, что в точках отрезка L. В силу непрерывности вектор-функции f(x) через любую точку x, не являющуюся положе­нием равновесия, можно провести такой отрезок до­статочно малой длины. Запишем уравнение отрезка L в виде (0 < и < 1). (2) Для удобства дальнейшего изложения концы а и b не будут причисляться к L. Фиксируем произвольную точку (0<и< 1) отрезка L и рассмотрим траекторию динамической системы (1), проходящую че­рез эту точку. Пусть при некотором значении . Может случиться, что при некоторых наша траектория снова пересечет отрезок L. Пусть t2 — ближайшее к значение пара­метра*), при котором это происходит: (0 < U <1). Очевидно, что значение U зависит только от выбора и, т. е. . Таким образом, на некотором подмножестве ин­тервала 0 < u< 1 определена функция , которая называется функцией последования. Остановимся на некоторых своaйствах функции по­следования: 1.Если функция определена при , то она определена и непрерывна в некоторой окрестно­сти точки и0. Доказательство. Пусть —реше­ние динамической системы (1), удовлетворяющее на­чальному условию . Уравнение траектории, проходящей через точку можно записатьв виде . Предположим, что эта траектория вновь пересе­кает отрезок L в точке , тогда , где , и имеет место равенство Рассмотрим векторное уравнение (3) как систему двух уравнений относительно перемен­ных t, и, U: (4) Обозначим левые части уравнений (4) через F1 и F2 соответственно и, используя (2), вычислим якобиан где , . При U=U0, , t = t0 получим, что поскольку вектор f(x) не параллелен отрезку L для , По теореме о неявной функции уравнение (3) можно однозначно разрешить относительно U (и t) на некотором интервале : , причем и функция непрерывна. Свойство 1 доказано. 2.Функция , строго монотонна. Доказательство. Так как вектор f(x) не па­раллелен L при , то все векторы f(x) направ­лены в одну сторону от отрезка L; в противном слу­чае в силу непрерывности f(x) на L нашлась бы точ­ка , в которой вектор f(x0) был бы параллелен L. Рис. 9. Если ,то траектория, соединяющая точки и не может пересечь траекторию, соеди­няющую точки и . Поэтому или , т.е. — строго возрастающая функ­ция (см. рис. 9; стрелки указывают направление дви­жения точки на траектории при возрастании t). Рассмотренный случай соответствует возрастанию параметра и в направлении от а к b. Если изменить направление отрезка L (т. е. поменять а и b ме­стами), то функция будет строго убывающей. Свойство 2 доказано. Замечание. Изменив в случае необходимости направление отрезка L, всегда можно добиться того, чтобы функция последования была строго возра­стающей. Теорема 1. Для того чтобы через точку отрезка L проходила замкнутая траектория динамической системы (1), необходимо и достаточно, чтобы функция была определена при и = и0 и чтобы . Доказательство необходимости. Пусть —замкнутая траектория, проходящая через жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу: