<p(t,-h)
Геометрически очевидно (рис. 49),
что точки и
лежат по разные стороны кривой Q; будем считать, что первая принадлежит области а вторая — области . Через отрезок все траектории входят из области
в область . Таким образом, ни одна траектория не может выйти из области через этот отрезок. Войти или выйти в область через кривую
М никакая траектория также не может, так как
М есть
кусок траектории, а траектории не могут пересекаться между собой. Так как кусок
М траектории пересекается с отрезком
L только в своих концах, то концы отрезка
L лежат по разные стороны кривой
Q. Обозначим через
а тот конец отрезка L, который лежит в области . Траектория
, начиная с
, вся протекает в области и не может пересекать
отрезок поэтому точка b не принадлежит отрезку (см. А)), и, следовательно, она должна лежать на отрезке
. Если теперь
— следующая (во времени) после
точка пересе
чения траектории с отрезком
L то из аналогичных соображений
видно, что она лежит на отрезке
(рис. 49).
Обозначая через
следующие друг за другом (во времени) точки пересечения траектории
с отрезком L, мы убедимся, что они образуют на отрезке
L монотонную последовательность точек,
идущих в направлении от к
b. Покажем, что предел
b’ последовательности
совпадает с b
.
Для этого мы,
прежде всего, докажем, что последовательность неограниченно возрастает. Допустим, что
Тогда и а это невозможно, так как вектор направлен вдоль отрезка
L, а вектор
не коллинеарен этому отрезку. Таким образом, должно быть выполнено соотношение , и потому вся траектория при
пересекается с
L лишь
в точках
Следовательно, эта траектория имеет на отрезке
L лишь одну -предельную точку b’
(см. А)),
так что
b’=b. Отметим, что в проведенном доказательстве было пока использовано лишь то, что сама точка b не является положением равновесия.
Покажем теперь, что траектория не может входить в -предельное множество для какой-либо другой траектории - Допустим противоположное. Тогда каждая точка траектории
является -предельной для
(см. Г)); в частности, таковой будет точка . Так как точка
не является положением равновесия, то в силу доказанного выше последовательные точки
пересечения
траектории с отрезком L образуют монотонную последовательность, сходящуюся к и других -предельных точек траектории на отрезке
L не существует. Но это противоречит тому, что все точки лежащие на траектории ,
являются -предельными точками траектории .
Итак, доказано, что
незамкнутая траектория, среди -
предельных точек которой нет положений равновесия, не может быть сама -предельной.
Так как траектория
К содержится в -предельном множестве
траектории
, а это множество замкнуто (см.
Г)), то все -предельные точки траектории
К содержатся в
и потому не являются положениями равновесия. Таким образом,
к траектории
К можно применить доказанное выше предложение, так что траектория
К должна