Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
75296
- Бұл бет үшін навигация:
- Пусть
- F , содержащемся в , и пусть есть -предельное множество решения
| Рис. 10.
точку , и пусть . Тогда могут представиться два случая (рис. 10). Возьмем замкнутую ограниченную область с границей, состоящей из куска траектории, соединяющего точки и ( , и отрезка прямой ( . Для определенности рассмотрим подробно случай, изображенный на рис. 10, а. Как было отмечено выше, векторы f(x) ( ) направлены в одну сторону от отрезка прямой L. Поэтому все траектории, проходящие через отрезок ( , с ростом t покидают множество . Сама траектория , пройдя точку , покинет (так как сама себя она пересечь не может, а через отрезок ( траектории покидают ) и, следовательно, не может попасть в точку , т. е. не будет замкнутой. Однако это противоречит условию теоремы. Точно так же при убывании t траектория попадает во внутренность и не может попасть в точку . Необходимость доказана. Доказательство достаточности. Если , то траектория, проходящая через точку , сама себя пересекает и, в силу следствия из теоремы § 2, является замкнутой или положением равновесия. Последнее, однако, невозможно, так как в этом случае вектор f(x0) равнялся бы нулю и был бы параллелен отрезку L, что невозможно. Теорема доказана. Лекция_4
Докажем теперь теорему, дающую возможность установить в некоторых случаях существование периодического решения. В случае аналитических правых частей системы (1) это периодическое решение будет либо предельным циклом, либо будет содержаться внутри семейства периодических траекторий (см. пример 3). Теорема 21. Пусть — решение уравнения (2) (п = 2), определенное для всех значений и остающееся при этих значениях t в замкнутом ограниченном множестве F, содержащемся в , и пусть есть -предельное множество решения . Если множество не содержит положений равновесия, то оно состоит из одной замкнутой траектории К. При этом возможны два случая: 1) есть периодическое решение, а К—описываемая им траектория, 2) траектория, описываемая решением , при наматывается на траекторию К, как спираль. Д оказательство. Если — периодическое решение, то множество состоит из единственной периодической траектории К, описываемой решением , и утверждение теоремы очевидно (случай 1). Допустим, что решение не является периодическим и пусть b — произвольная точка множества . Через точку b проведем прямолинейный отрезок L, не коллинеарный вектору f(b) фазовой скорости, выходящему из точки , так как, по предположению, точка b множества не является положением равновесия), и выберем этот отрезок настолько коротким, чтобы все траектории, проходящие через точки этого отрезка, пересекали его (не касаясь) в том же направлении, что и траектория, проходящая через b (рис. 48). Так как точка b является -предельной для траектории , а последняя не является замкнутой, то эта траектория должна, очевидно, бесчисленное множество раз пересечь отрезок L и притом в различных точках (см. А)). Пусть и — две следующие друг за другом во времени точки пересечения траектории с отрезком L. Кусок траектории обозначим через М. Вместе с отрезком он образует замкнутую кривую Q, которая разбивает плоскость на две области и . Пусть h — малое положительное число. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|