«Майбұлақ жалпы орта білім беретін мектеп» кмм түркістан облысы

Сол заманнан шыққан ғалымдардың ерекше дарынды, әлемге танылған, көптеген ғылыми еңбектер жазып, әлемге әйгілі болған Әбу Нәсір әл – Фараби. Бір өкініштісі әл – Фарабидің көптеген еңбектері бізге жетпеді.

Осы кезге дейін оқулықтарда, тарихи энциклопедияларда, геометрия мен тригонометрия тек Грецияда дамыды және оның дамуына үнді математиктері үлес қосып, араб, өзбек математиктері де зерттеумен айналысты деп жазылған. Бір өкініштісі – математикада көптеген жаңалықтар ашып, синус, косинус, тангенс, котангенс функцияларын математикаға ең алғаш енгізіп, зерттеген қазақтың ғұлама ғалымы, шығыстың екінші Аристотелі - Әбу Нәсір әл – Фарабидің есімі математик ретінде аталмауы.

Әл – Фарабидің математикалық трактаттары 1950 – 1960 жылдары Еуропа мемлекеттерінің архивтерінен ғана табылып, академик А.Машанов, профессор А.Көбесов және т.б. ғалымдардың еңбектерінде жарық көріп, көпшілікке таныла бастады. Бірақ та математикалық оқулықтарда оның ашқан математикалық жаңалықтарына, әсіресе «Математикалық трактатына» ешқандай сілтемелер жасалынбады.

Осы кезге дейін А. Көбесовтің 1960 жылдары «Білім және еңбек» журналында жарияланған мақалалары, «Математическое наследие Аль – Фараби» т.б. еңбектері жарық көрсе де, мектеп курсында оқушыларға Әбу Нәсір әл – Фарабидің математикада, оның ішінде геометрия мен тригонометрияда алатын орны туралы оқушылар түгіл, мұғалімдер де ешнәрсе айта алмайды. Қорыта айтқанда, ғылыми жобаның маңыздылығы:

1) «Математикалық трактаттардағы» әл-Фарабидің еңбектерін көпшілікке, ең болмағанда, мектеп оқушыларына насихаттау;

2) Мектеп математикасында тригонометрияны оқу барысында әл-Фарабидің математикалық трактаттарына сілтемелер жасау;

3) Геометриялық салу сабағында әл-Фарабидің идеяларын ұтымды пайдалана білу қажеттілігі.

Ежелгі грек математиктері дөңгелек шеңберінде 360, диаметрінде 120 бөлік бар деген бастапқы ұғымды басшылыққа алып, осылар арқылы хорданың ұзындығын табу мәселесін шешкен, былайша айтқанда, олар тригонометриялық бір – ақ функциясы – бұрыштың хордасын табуды көздеген. Олардан кейін шыққан Индия математиктері хорданы – синус пен косинус сызықтарымен айырбастап, бұл салада біраз ілгері кетеді.

Фарабиге дейінгі араб математиктері бұларға қосымша тангенс және котангенс (кері және тура көлеңке) сызықтарын қосқан, бірақ оларды күн сағаттарында (гномоникада) пайдаланған. Фараби өз еңбектерінде осы мағлұматтарды бір жүйеге келтіріп, оларды бірыңғай бірлік дөңгелек ішінде қарастыруды бастайды. Ең әуелі синус пен хорданың ара – қатынасын анықтап алады: синус дегеніміз екі еселенген доғаның (бұрыштың) жарым хордасы. Бұл жаңалық дөңгелекке іштей сызылған тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарына байланысты тригонометриялық функцияларды астрономияға кеңінен енгізуге жол ашты.

Жоғарыда Фарабидің «Математикалық трактаттарына» енген – «Алмагеске қосымша кітаптың» математикалық тарауларында оның тригонометриялық сызықтары туралы теориясы баяндалады.

«Хорда мен синустар қасиеттері туралы» бірінші тарауда мынадай тригонометриялық сызықтар анықтайды. Хорда(ватар), косинус(джайб тамам) және синус-версус(сахим), олардың қасиеттерін сипаттайды.

«Бірінші және екінші көлеңкенің қасиеттері туралы» деп аталған он екінші тарау – Фарабидің тригонометриялық функциялар(сызықтар) жайлы ілімнің негізгі болып саналады. Мұнда ол математика тарихында алғашқылардың бірі болып, барлық тригонометриялық сызықты бірлік дөңгелек ішінде қарастырылады. Фараби тригонометрия тарихында тұңғыш рет кері көлеңке(тангенс), тура көлеңке(котангенс) терминдерін ғылыми – методикалық жағынан кемел жаңа терминдермен – «бірінші көлеңке», «екінші көлеңкемен» ауыстырады.

Фараби «Алмагеске түсініктемесінің» бірінші кітабына Птоломейдің хордалар таблицасын жасау жөніндегі теориясын жаңартып, кемелдендіріп, бір градустың хордасы, синусы, косинусын табу жөніндегі өз ілімін жасайды. Мұнда шешуші рөл атқаратын Птоломей теоремасын ғұлама былай өрнектейді: «Әрбір іштей сызылған төртбұрышта қарама – қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысы сол төртбұрыштың диагональдарының көбейтіндісіне тең болады.»

Сонан кейін, Фараби осы лемманың көмегімен екі бұрыштың айырмасының синусы формуласын қорытып шығарады. Осы сияқты екі бұрыштың қосындысының синусына сай келетін қатыс дәлелденеді.

Фараби осы формаларды пайдаланып және Птоломей әдісінің есептеу дәлдігін арттыру арқылы бір градусының хордасын есептеп шығарады. Осыдан синусқа көшу қатынасына сүйеніп бір градустың синусы мен косинусы үшін дәлдігі жоғары мәндер табады (алпыстық бөлшекпен өрнектелген). Мысалы ондық бөлшекке көшсек, бір градустың синусы үшін Фараби 0,017452389 мәнін алғандығы байқалады. Бұл сол кез үшін өте үлкен дәлдік болып саналады.

Фараби өзінің тригонометриялық жетістіктерін жазық және сфера бетіндегі үшбұрыштарды шешуге қолданылады. Бұл геодезия, астрономия үшін қажет.

Ғұлама кез – келген дөңгелекке іштей сызылған жазық үшбұрыш үшін синустар теоремасына балама мынадай лемманы тұжырымдайды:Егер бұрыштары белгілі болса, онда олардың қабырғаларының қатынасы да анықталады. Егер бұрыштар дөңгелекке іштей сызылса және әрбір бұрыштың доғасы мәлім болса, онда ол – сәйкес хорданың диаметрге қатынасындай, мұнда егер бұрыш тік болса, онда оның хордасы – диаметрге тең. Сондықтан егер бұрыштардың біреуі немесе басқа қабырғасы мен оның тік бұрыштың хордасына қатынасы белгілі болса, онда басқа бұрыш тірелетін доғаны табуға жеткілікті болады; мұнан кейін берілетін доғаны жарты дөңгелекке дейін толықтыратын қалдық доға және үшінші қабырға болып табылатын оның хордасы табылады.»

Фараби сфералық тригонометрия саласы бойынша да үлкен маман болған. Мұнда жазықтық геометриясындағы түзулер орнына шар шеті, яғни сферадағы үлкен дөңгелек шеңберлерінің доғалары алынады да, жазық үшбұрыштар орнына сфералық үшбұрыштар қарастырылады.

(2)

шығады.