Макрожүйенің микрокүйлерін сипаттайтын шамаларды статистикалық үлестіру функциясы

Бақылау сұрағы
1. Макрожүйенің саистикалық тепе-теңдік күйі деген не?

2. Күйлер ықималдығы және макрошамалардың статистикалық мәні

ішінде макрожүйе
i  күйіне бірнеше рет қайталап келіп отырады деп есепейміз. Сонда
i  күйдің

болу ықтималдығы:
W  lim ^{ti i} T  _T
-ге тең. (1.2.1)

Осындай W_i
күйлердің жиынтығы жүйе күйлерінің ықти-малдығының үлестіруін құрайды.

Жүйені сипаттайтын L физи-калық шаманың осы
i  күйге сәйкес келетін мәні
L_i болсын.

Сонда (1.2.1) қатыс L шамалардың әр микрокүйдегі мәндері ықималдығының үлесу заңдылығын анықтайды.
Күй ықтималдылығын басқаша түрде де анықтауға болады. Ол үшін Гиббс күйлердің статистикалық ансамбль ұғымын енгізеді. Макрожүйенің әр микрокүйіне N бөлшегі бар бір ансамбльді сәйкестендіреді. Сөйтіп бірғана макрожүйе орнына көп ансамблдер жүйелері

жиынтығын қарастырады. Жүйенің i микрокүйіне сәйкес келетін микрокүй санын N_i
ансамбль

деп атайды. Ансамбльдердің толық жиынтығы жүйеде болатын барлық микрокүйлер N саны. Ал
N_i жүйенің i –күйіне сәйкес келетін жүйе ансамблдер саны. Сонда жүйенің i – күйде болу

ықтималдығын:


W  lim ^Ni



(1.2.2)

түрінде анықтаймыз.

ⁱ N  _N

Осы жерде статистикалық физиканың негізін құрайтын эрго-тикалық гипотезаны айтып кету керек. Ол гипотеза бойынша жүйелердің ансамблдік ықтималдылығын үлестіру заңдылығы бір жүйе күйлерінің уақыттық тізбегі ықтималдығын үлестіру заңдылығымен бірдей, яғни (1.2.1) мен (1.2.2) теңдіктер тең мағыналы. Статистикалық үлестіру заңдылығының өрнегін табуда, әсіресе, классикалық немесе кванттық физика заңдылық-тары негізінде жүйелер ансамблі (1.2.2) бойынша зерттеген дұрыс екендігін атап айтқан жөн.
Классикалық физикада бұл ықтималдылықтар да фазалық кеңістік координаттарының
функциясы W (q, p). Егерде осы координаттардың өздерінің мәндерін q мен q  dq –дің және
p мен p  dp–ның арасында алса онда dWq, p жүйенің күйлері фазалық кеңістік көлемі
dГ  dqdp-ның ішінде ғана жату ықтималдығын береді. (1.2.1) мен (1.2.2)–ге сәйкес келетін элементар ықтималдықтарды:

dW (q, p)  lim ^dt
T  _T
(1.2.3)

dW (q, p)  lim ^dN

түрінде жазамыз.
N  _N

Мұндағы dt –фазалық нүктенің фазалық элементар көлемде болу уақыты, dN  фазалық
координаттары q мен q  dq және p мен p  dp-ның аралығындағы статистикалық ансамбль мүшелерінің саны.
Ықималдылықтың тығыздығы (q, p) деген ұғым енгізсек, онда
dW(q, p)  (q, p)dГ . (1.2.4)

Міне, осы ықтималдық тығыздығы жүйені статистикалық жолмен сипаттағанда фундаментті рөл атқарады. Өйткені ол жүйе күйін анықтаушы q мен p айнымалылары арқылы

ықтималдылықты үлестіруді өрнектейді. Осы шаманы
(q, p)
статистикалық үлестіру

функциясы деп атайды және оны анықтау статистикалық физиканың басты мәселесі. Өйткені,

_ (q, p)dГ  1
(1.2.5)

нормалау шартын қанағаттандыруы тиіс.
Олай болса, ықтималдық заңдары бойынша кезкелген физикалық шаманың орташа мәні:


L  _ L(q, p)(q, p)dГ


(1.2.6)

формула бойынша табылады.
Бұл өрнектерді басқа түрде, ықтималдықты үлестіру функциясы арқылы жазуға да болады:

L  _ L_iW_i
i
(1.2.7)

Мұндағы
L_i  L
функцияның жүйенің i –күйіндегі мәні болса, W_i
-сол күйдегі шаманың L_i

мәнін алу ықтималдығы . Бұл функцияның нормасы:


_W_i  1 (1.2.8)
i

Соңғы өрнекте L функциясының әр күйдегі мәні дискретті квантталған деп есептеледі: (1.2.5) пен (1.2.8) теңдіктерінің физикалық мәні- жүйе өзінің микрокүйлерінің кез келген бірінде тұратынын көрсетеді.
Дененің микрокүйлері уақыт озған сайын өзгеріп отырады. Сондықтан жүйенің физикалық сипаттамасы да өзгереді. Дененің тепе-теңдік күйіндегі физикалық параметрлерінің орташа мәндері олардың лездік мәндеріне тең болмайтынын тәжірибе көрсетеді. Шаманың әр лездік мәнінің өзінің орташасынан ауытқуын тауып, одан ауытқудың орташасын табу қиын емес. Бірақ ауытқулардың шын мәніндегі орташасы ретінде математикада:

орташа квадраттық ауытқуды алады.


_L 
(1.2.9)

L
Мұны шаманың квадраттық флуктуациясы деп атайды. Квадраттық флуктуация  аз болған

сайын шаманың орташа мәні лездік мәндерге солғұрлым жақын болады. Сондықтан
L  дың L -

ден үлкен ауытқулары өте аз кездеседі және оның ықтималдылығы аз болады. Орташа ауытқулар:

салыстырмалы флуктуация арқылы өрнектеледі.


_L  _L / L
(1.2.10)

Ал, егер берілген үлкен жүйені өзара әлсіз әсерлесетін жеке бөліктерге бөлсек, сонда біз квазибайланыссыз бірнеше макро-жүйелер жиынтығын аламыз. Олар-табиғаттағы атомдар, моле- кулалар, тіпті солардан құрылған топтар жиынтығы болуы мүмкін. Егер олардың өзара әсерлесу энергиясы әр ішкі жүйенің жеке энергиясынан аз болса, онда әр ішкі жүйеге статистикалық әдісті қолдануға болады. Әр ішкі жүйені квазитұйық жеке жүйе деп қарастырады. Мұндай әлсіз әсерлесетін ішкі жүйелердің әрқайсысын басқа жүйелермен байланысы жоқ жеке макрожүйе деп есептейді. Олай болса, үлкен жүйенің берілген күйінің ықтималдығы ішкі жүйелер күйлерінің:

W  W W W
(1.2.11)

1 2 3



1 2 3
ықтималдықтар көбейіндісіне тең,

немесе
       . (1.2.12)