День 4. Путешествие в страну Геометриоландию

Цель нашего путешествия - глубже изучить геометрию.

Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. С древних времён люди сталкивались с необходимостью находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звёзд на небе и т. п. О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э. древнегреческий историк Геродот писал : " Сезострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случилось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию".
В шутку и всерьез

Аксиома - Будут требовать доказательства уйду в теорему.
Биссектриса - Всю жизнь приходится делить пополам.
Высота - Все дело в основании.
Гипотенуза - Ну и что с того, что я длинней катетов-то все равно больше.
Знак умножения - Нас иногда путают со знаком сложения, но ведь мы на все смотрим под своим углом.
Квадрат - Я за равенство.
Константа -  Не могу поступиться принципом.
Периметр - Приходиться держать площадь в рамках.
Погрешность - Все могу простить, кроме ошибки.
Пирамида - Могу похвастаться родословной. Ещё в Древнем Египте...
Развернутый угол - Прямые считают меня углом, а углы - прямой линией.
Теорема - Все время приходится кому-то доказывать.
Уравнение - Мое дело приравнять, а там ...

Конец формы

Вопросы и ответы на вопросы викторины по истории геометрии. 1. В Древнем Египте 4000 лет назад землемеров называли «гарпедонаптами», т.е. «канатонатягивателями». С чем связано такое название? ( В Древнем Египте для построения прямых углов применялась теорема, впоследствии получившая название теоремы Пифагора. А т.к. прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 м строился с помощью натягивания каната на колышки, воткнутые в землю в вершинах треугольника, то древних землемеров и называли «канатонатягивателями».) 2. Кто, по преданию, из великих геометров древности сказал вражескому солдату, пришедшему его убить: «Не тронь моих кругов»? ( Архимед, погибший при захвате римлянами его родного города Сиракузы в то время, когда пришел римский солдат. По преданию, Архимед был увлечен решениями геометрической задачи, чертеж которой был выполнен на песке. Солдат, убивший Архимеда, или не знал о приказе своего военачальника сохранить жизнь Архимеду, или не узнал Архимеда. Впоследствии этот солдат был наказан, а семья Архимеда была окружена почестями.) 3. Какая книга лежит в основе большинства школьных учебников по геометрии ? Кто ее автор? ( «Начала» Евклида, написанные в 1У в.до н.э.) 4. На каком здании были начертаны слова: «Да не войдет сюда не искусившийся в геометрии!»? ( По преданию, эти слова были написаны у входа в Академию Платона (429-348 гг.до н.э., чрезвычайно ценившего математику и способствовавшего ее развитию. «Академией» называлась философская научная школа, основанная Платоном в 1У веке до н.э. близ Афин, в садах, посвященных памяти героя Академа.) 5. Что, по преданию, завещал высечь на своем надгробном камне Архимед? ( Архимед завещал высечь на надгробном камне чертеж к теореме о свойствах шара и цилиндра. Он установил, что объем шара равен удвоенному объему конуса с радиусом основания, равным радиусу шара, и высотой, равной диаметру шара, или двум третьим объема цилиндра с таким же радиусом основания и такою же высотой. Эти три тела с данным соотношением называют «телами Архимеда». Римский военачальник Марцелл, поклонник таланта Архимеда, исполнил желание ученого, воздвигнув в его честь гробницу, на которой был изображен шар, вписанный в цилиндр.) 6. Кто автор слов «В геометрии нет особых путей для царей!»? В связи с чем они были произнесены? ( Автор этих слов – Евклид. Он произнес их, по свидетельству Прокла, Птоломею, спросившему у Евклида однажды, нет ли в геометрии более краткого пути, чем его «Начала».) 7. Кто является создателем первой неевклидовой геометрии? Когда и где она была впервые изложена? ( Н.И.Лобачевский (1792-1856). На заседании физико-математического факультета Казанского университета 11(23) февраля 1826 г. Лобачевский сделал доклад об основах геометрии.) 8. Кто является основоположником аналитической геометрии, являющейся соединением алгебры с геометрией? ( Рене Декарт (1596 – 1650), французский философ и математик ) 9. Кто является создателем  современной аксиоматики геометрии Евклида? ( Д.Гильберт (1862-1943), немецкий математик) 10. Какая известная задача носит название «делосской»? ( «Делосская задача» - это задача об удвоении куба с объемом в два раза большим объема данного куба. Свое название она получила благодаря следующей легенде. В Древней Греции на острове Делосе был мор. Для его предотвращения оракул делосского храма приказал удвоить жертвенник, имеющий форму куба. Тогда бы боги смилостивились и мор прекратится. Данная задача оказалась неразрешимой, т.к. с помощью циркуля и линейки невозможно построить сторону куба, у которого объем вдвое больше данного.) 11. Кто ввел термины «абсцисса», «ордината», «координата»? ( Лейбниц ввел понятия «абсцисса» в 1965 г., «ордината» - в 1684 г., «координата» - в 1692 г.) 12. Кто является автором самого первого учебника геометрии? Он же является однофамильцем известного греческого медика. ( Гиппократ ) 13. Этот ученый больше известен своими открытиями в алгебре, тем не менее, на своем надгробном памятнике он завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг. О каком ученом идет речь? ( о Карле Фридрихе Гауссе – немецком математике ) 14. Назовите фамилию древнегреческого ученого, предложившего формулу для нахождения площади треугольника по трем его сторонам.( Герон ) 15. По учебникам этого российского математика учились, возможно, ваши бабушки и дедушки, а уж прабабушки и прадедушки точно. В 2002 г. Исполнилось 150 лет со дня его рождения. Как фамилия этого ученого? ( Киселев Андрей Петрович ) 16. Кто ввел термины «анализ» и «синтез»? ( Платон – древнегреческий философ ) Математическая викторина «Знаешь ли ты историю математики?» 1. Кто из ученых не был математиком? а) Гаусс;    б) Виет;      в) Колумб;   г) Пифагор; 2. Кто погиб на дуэли в 20 лет? а) Галуа;   б) Абель;     в) Паскаль;    г) Эйлер; 3. Кто из писателей был автором книжки «Математика»? а) Лев Толстой;   б) Тарас Шевченко;  в) Иван Франко;  г) Александр Пушкин; 4. Кто из математиков принимал участие в кулачном бою на 58 Олимпиаде в 548 году до н.э.? а) Фалес;   б) Ньютон;  в) Пифагор;  г) Абель; 5. Кто первым предложил нумерацию кресел в театре по рядам и местам? а) Пифагор;   б) Ньютон;  в) Эйлер;  г) Декарт; 6. Кто был первой женщиной – математиком? а) Гортензия Лепот;   б) София Ковалевская;  в) Гепатия Александрийская;  г) София Жермен; 7. Кто из ученых был первым астрономом? а) Декарт;   б) Пифагор;  в) Эвклид;  г) Фалес; 8. Именем,  какого математика названа теорема, которая помогает решить прямоугольные треугольники? а) Декарт;   б) Эвклид;  в) Виет;  г) Пифагор; 9. Кто впервые приблизительно вычислил диаметр Земли? а) Виет;   б) Пифагор;  в) Эратосфен;  г) Эвклид; 10. Кого из великих математиков называют «Королем математики»? а) Пифагор;   б) Виет;  в) Гаусс;  г) Эвклид; 11. Кого из великих математиков называют «отцом алгебры»? а) Гаусс;   б) Галуа;  в) Виет;  г) Декарт; 12. В какой стране напечатана первая математическая книга? а) Германия;   б) Россия;  в) Египет;  г) Франция; 13. Кто из математиков составил таблицу простых чисел? а) Декарт;   б) Виет;  в) Пифагор;  г) Эратосфен; 14. Кто из первых математиков сказал: «Не тронь моих кругов!» а) Пифагор;   б) Архимед;  в) Фалес;  г) Ньютон; 15.Кому принадлежат слова: «В геометрии нет царских путей!»? а) Эвклид;   б) Пифагор;  в) Эйлер;  г) Фалес; 16.Где родилась метрическая система измерения? а) Германия;   б) Италия;  в) Франция;  г) Россия. Ответы: В А А В Г В Г Г В В В Б Г Б А В Интересные сведения Вопросы-Ответы 1. Назовите имя учёного, являющегося основоположником геометрии. Основоположником геометрии является один из великих греческих математиков, основатель математической школы в Александрии – Евклид. Он впервые выделил геометрию как науку и написал 13 книг под общим названием “Начала”, которые на протяжении двух тысяч лет являлись энциклопедией геометрии. Это, так называемая, евклидова геометрия. Основоположник современного изложения геометрии – Николай Иванович Лобачевский, один из величайших русских математиков, чье имя поставлено в один ряд с такими именами как Ньютон, Архимед, Галилей. Это неевклидова геометрия или геометрия Лобачевского. 2. Кто и в каком году мотивировал введение знака равенства словами:"Никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка"? В 1577 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в XVIII веки, после того, как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства. 3. Как называется деление отрезка на две части так, чтобы отношение данного отрезка к его большей части было равно отношению его большей части к меньшей? Золотым сечением (делением) и даже “божественной пропорцией” называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8. 4. Что означает число пи? Пи,p, буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно - отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. perijereia окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, p представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: p = 3,141592653589793238462643... 5. Сколько лет жил Диофант? Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III в. н. э. В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле: (О количестве лет можно сказать, если правильно расшифровать следующую алгебраическую загадку: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.) Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения откуда x = 84 — вот сколько лет жил Диофант. 6. Назовите имя математика, которому принадлежат эти строки: "Меня философом враги мои зовут, Однако, - видит бог, - ошибочен их суд. Ничтожней много я: ведь мне ничто не ясно. Не ясно даже то, зачем и кто я тут". Омар Хайям (1048-1131) родился в городе Нишапур области Хорасан (север Ирана) в семье ремесленника (Хайям- по-персидски буквально –делающий палатки). Детство провел в Балхе. Потеряв отца в 18 лет, был вынужден прервать учение и зарабатывать на жизнь. 7. Во сколько лет Лобачевский стал профессором математики? По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 — адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 — ректором университета. 8. Какой способ измерения площадей предложил Архимед? Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Большой вклад в решение этой задачи внес Архимед. В своем трактате "Измерение круга" он доказывает следующие три теоремы: Теорема первая: Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равняется длине окружности круга, а другой радиусу круга. Теорема вторая: Площадь круга относится к площади квадрата, построенного на диаметре, приблизительно, как 11:14. 9. Кому принадлежат слова:"Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и её преподаванием"? Симеон Дени Пуассон. 10. Какая теорема имеет многочисленные доказательства? Теорема пифагора 11. Кто первым доказал теорему, позволяющую находить площадь треугольника по трём сторонам? Формула Герона 12. За сколько минут Гаусс, будучи учеником, вычислил сумму п ервых ста натуральных чисел? когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.Вопрос. Как Гаусс получил ответ? Поиск путей решения Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1 + 100, 2 + 99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50, то есть на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. Это был Карл Гаусс, ставший потом одним из самых знаменитых математиков мира*. 13. "Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии".На входе какого здания была эта надпись? 14. Что Ломоносов называл "вратами своей учёности"? Отец Ломоносова был зажиточным человеком, имел богатое подворье и даже небольшой корабль "Св. архангел Михаил", на котором плавал по Северной Двине и Белому морю, занимался рыбным промыслом, перевозил грузы и людей от Архангельска до реки Мезень и даже к берегам Лапландии. Юный Михаил с детских лет помогал отцу. Ходил с ним в море, умел управлять кораблем, охотиться на морского зверя и ловить рыбу. Под влиянием матери Ломоносов пристрастился к чтению церковных книг. Учение он продолжил у местного дьячка. Дьячок научил его всему, что знал сам, а потом, упав пред своим учеником на колени, признался, что больше сам ничего не знает. У своего соседа Михаил увидел две светские книги — "Грамматику" М. Смотрицкого и "Арифметику" Л. Магницкого. В "Грамматике" объяснялись не только правила письма, но и излагались основные приемы стихосложения. А "Арифметика" Магницкого содержала сведения по математике и физике, по географии и астрономии. Эти две книги потрясли юношу. Он выучил их наизусть, с благодарностью помнил всю жизнь и называл "вратами своей учености". 15. Какие числа называются дружественными? Кто первый нашёл дружественные числа? Дру́жественные чи́сла — два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу. Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.) 1184 и 1210 (Паганини, 1860) 2620 и 2924 (Эйлер, 1747) 5020 и 5564 (Эйлер, 1747) 6232 и 6368 (Эйлер, 1750) 10744 и 10856 (Эйлер, 1747) 12285 и 14595 (Браун, 1939) 17296 и 18416 (Аль-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, 1636) 63020 и 76084 (Эйлер, 1747) 66928 и 66992 (Эйлер, 1750) 67095 и 71145 (Эйлер, 1747) 69615 и 87663 (Эйлер, 1747) 79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964) 17.Кому принадлежат следующие слова:"Вдохновенье нужно в геометрии, как и в поэзии"? Александр Сергеевич Пушкин 18. Что такое квадриллион? Квадриллион (франц. quadrillion), число, изображаемое единицей с 15 нулями, т. е. число 1015. Иногда К. называют число 1024. 19. Назовите имя учёного, кому принадлежат следующие строки: "Математика... выявляет порядок, симметрию и определённость, а это - важнейшие виды прекрасного". Аристотель 20. Что просеивает "решето Эратосфена"? Простые числа 21. Назовите единицу аптекарского веса и что она означает? Единица аптекарского веса до последнего времени называлась граном, что значит зерно.

В современном русском языке старинные единицы измерения и слова, их обозначающие сохранились, в основном, в виде пословиц и поговорок.

Поговорки: "Пишешь аршинными буквами" - крупно

"Коломенская верста" - шутливое название очень высокого человека.

"Косая сажень в плечах" - широкоплечий.

До сих пор бытуют выражения: «От горшка три вершка», «мерить на свой аршин», «как аршин проглотил», «семь аршин говядины да три фунта лент» (так говорят о бессмыслице), «аршин на кафтан, два на заплаты» (т. е. починка дороже вещи), «пять верст до небес и все лесом», «эка верста выросла! » (так говорят о человеке большого роста).

Рассмотрим наиболее распространенные старинные меры.

Приведенные примеры мер основаны на размерах частей человеческого тела. Возникли эти меры в трудовой деятельности человека, в борьбе его за существование.

2. Переходим в следующий зал «От поколения к поколению…».
Современные меры – метр, килограмм и другие – существовали всегда. Международная метрическая система мер и весов, которой пользуются в настоящее время почти во всех странах мира, была введена на территории бывшего СССР 14 сентября 1918 г. Декретом Совета Народных Комиссаров. Вводилась эта система в жизнь постепенно. Наряду с новой системой использовались и старые меры. Только с января 1927 г., когда был подготовлен переход народного хозяйства на новую метрическую систему мер и весов, она окончательно стала единственно допустимой системой измерений.
Поэтому в 1960 году на 11 Генеральной конференции мер и весов было принято решение о введении Международной системы единиц СИ (читается «ЭС-И»).

Переходим в зал «Что за диво эти сказки?»

Цитируем отрывки из художественной литературы, в которой встречаются различные меры длины.
Я читаю выдержки из сказок, ваша задача назвать сказку, кто ее  написал. Соответственно ответить на вопросы.

Задание 1.   «Да еще рожу конька
Ростом только 3 вершка,               (обратить внимание на единицы измерения величин)
На спине с двумя горбами
Да аршинными ушами».

Вопросы:

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   Какого роста был конёк?
   
3. 
   Какой длины уши у конька?
   

1. 
   «Конек-горбунок», Петр Ершов.
   
2. 
   Вершок – равна ширине 2 пальцев руки, 4 см · 3 = 12см.
   
3. 
   Аршин – 71 см – длина вытянутой руки от плеча до конца среднего пальца.
   

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   Какого роста была девочка?
   

1. 
   «Дюймовочка», Г.Х. Андерсен.
   
2. 
   Дюйм = 2 см 54 мм – это ширина большого пальца.
   

«…Старый Мазай любит до страсти

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   Какова длина и ширина островка с зайцами?
   
3. 
   Какое расстояние проходит Старый Мазай?
   

1. «Дедушка Мазай и зайцы», Николай Алексеевич Некрасов.

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   О  какой старой мере говорится  в сказке?
   

1. 
   «Мальчик с пальчик», Шарль Перро.
   
2. 
   Палец.
   

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   О  каких единицах измерения величин говорится в этом отрывке?
   
3. 
   Сколько лет проспала «Спящая красавица»?
   
4. 
   Что значит семимильные сапоги?
   

1. 
   «Спящая красавица», Шарль Перро.
   
2. 
   Единицы времени и длины (100 лет, 12 тыс. миль).
   
3. 
   100 лет.
   
4. 
   Один шаг – 7 миль = 7км.
   

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   Определите рост старичка?
   

1. 
   «Маленький Мук», Вильгельм Гауф.
   
2. 
   Фут = 30 см  48 мм  · 3 = 91 см  44 мм  или 30 см  48 мм  · 4 =1 м 22 см или 30·3=90см или 120см.
   

«Что вам надо? – шоколада.

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   Кому нужно 5-6 пудов шоколада?
   
3. 
   Сколько это килограммов?
   

1. 
   «Телефон», Корней Чуковский.
   
2. 
   Слону.
   
3. 
   16 · 5 = 80 кг, 16 · 6 = 96 кг.
   

«Муха по полю пошла, муха денежку нашла».

«Пошла муха на базар и купила самовар».

1. 
   Назовите произведение? Кто автор?
   
2. 
   Сколько нашла муха? А сколько это копеек?
   
3. 
   Сколько стоил самовар?
   

1. 
   «Муха-цокотуха», К.Чуковский.
   
2. 
   Денежка = 0,5 копейки.
   
3. 
   Полкопейки.
   

Ребята, вы увидели, что старинные меры измерения использовались в сказках. Читая их, мы не задумывались, а сколько же  это единиц в системе СИ.

• 
  Как говорят об очень умном человеке? (Семи пядей во лбу).
  
• 
  Что говорят о человеке с большой бородой, но маленького роста. (Сам с ноготок, а борода с локоток).
  
• 
  Как говорят о рослом плечистом человеке? (Косая сажень в плечах).
  
• 
  Ходить пешком на большие расстояния. А иначе? (Мерить версты).
  
• 
  Если человек отличается большой проницательностью? (Видеть на сажень сквозь землю).
  
• 
  Как говорят о человеке большого роста? (Эка верста выросла).
  
• 
  Два вершка от горшка, а уже указчик. (Так говорят о молодом человеке, не имеющем еще достаточного жизненного опыта, но поучающего всех и каждого).
  
• 
  У нее суббота через пятницу на два вершка вылезла. (О неаккуратной женщине).
  
• 
  Не уступить ни пяди (т.е. даже самой малости).
  
• 
  Семь пядей во лбу. (О человеке с очень широким лбом, как об очень умном, предусмотрительном во всем).
  
• 
  Близок локоть, да не укусишь. (О каком-нибудь простом, но невыполнимом деле).
  
• 
  Сам с ноготок, а борода с локоток. (До Петра 1 борода, особенно у бояр, служила признаком знатности рода и происхождения. Чем больше и длиннее была борода, тем больше должно было быть уважение к его хозяину).
  
• 
  Семимильными шагами (т.е. гигантскими) – когда хотят сказать о достижении крупного успеха в течение короткого времени.
  
• 
  Каждый купец на свой аршин меряет. (О человеке, который судит о чем-нибудь односторонне, оценивает происходящее только со своей точки зрения).
  

1. 
   Церемония награждения победителей в отдельных номинациях.
   
2. 
   Закрытие недели.
   

Знакомясь с историческим материалом, ученики узнают о древних единицах измерения длины, площади, массы, о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач, интересные сведения о системе записи чисел у разных народов, короткие биографии ученых – математиков, которые рассказывают об их важнейших открытиях. Сведения из истории науки расширяют кругозор учеников, показывают диалектику предмета. Поэтому так важно, чтобы исторические мотивы искусно вплетались в ткань урока математики, заставляя детей удивляться, думать и восхищаться богатейшей историей этой многогранной науки.

1. 
   Старинные русские меры в народных пословицах и поговорках. – Газета «Математика» № 10/1996.
   
2. 
   Депман И.Я. Меры и метрическая система. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1954.
   
3. 
   Берман Г.Н. Счет и число (как люди учились считать). – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.
   
4. 
   Канин Е. Геометрические величины в школе. – Газета «Математика» № 26/2009 (библиотечка «Первого сентября»).