Методика отбора и испсжшвания историко-научного материала в прсцессе обучения математике в школе
§ 5. МЕТОДИКА ВКЛЮЧЕНИЯ ИСТОРИКО-НАУЧНОГО МАТЕРИАЛА С
жүктеу/скачать 212,88 Kb.
|
Документ Microsoft Word
§ 5. МЕТОДИКА ВКЛЮЧЕНИЯ ИСТОРИКО-НАУЧНОГО МАТЕРИАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ В КУРС МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ КАК ОДНОГО ИЗ СРЕДСТВ ФОНДИРОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ В параграфе будут рассмотрены: общие методические рекомендации при включении историко-научного материала на основе использования хронологических данных, в частности, общде положения методики форми¬рования понятий - единицы измерения исторического времени, хроноло¬гическая последовательность, движение времени, которые необходимы для изложения историко-научного материала на основе учета хронологии (5.1) ; методика использования хронологических таблиц, содержащих ис- торико-научный материал по элементам теории чисел в 5-6 классах (5.2) ; фрагменты уроков, на которых при изучении элементов теории чисел были использованы хронологические таблицы (5.3) . 5.1 Как было отмечено в главе I, для современного этапа разви¬тия школьного математического образования характерна идея гуманита¬ризации, которая может реализоваться и через использование историко- научного материала, позволяющего дать широкую картину возникновения и развития математики. В качестве одного из средств использования историко-научного материала при обучении элементам теории чисел в курсе математики 5-6 классов в целях формирования у учащихся представлений о развитии ма-тематики - будем использовать хронологические таблицы. Все это позволило нам отобрать историко-научный материал, кото¬рый может быть включен в курс математики 5-6 классов, при изучении тем: - Натуральные числа. - Делимость чисел. - Обыкновенные дроби. - Десятичные дроби. - Положительные и отрицательные числа, а также и в факультативный курс для 10-11 классов по теме: «Элементы теории чисел» (Приложения 3, 4) . В настоящее время, элементы теории чисел включаются во все учебники и учебные пособия по курсу математики 5-6 классов (как дей¬ствующие, так и альтернативные) [6, 7, 22, 23, 75, 76, 84, 85, 133, 134, 144] . Действующе учебники и учебные пособия по математике для 5-6 классов в своей основе имеют единую программу для средней обще¬образовательной школы, хотя и различаются по структуре. Из перечисленных учебников, для проведения нашего исследования мы выбрали учебники И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой: «Математика - 5» и «Математика - 6» [6, 7] . Все вопросы теории делимости в учебниках этих авторов изучаются в 5 классе, а в учебниках других авторов ма¬териал делится между 5 и 6 классами. Ниже (в Таблице 2) на основании этих учебников показано в какие темы, содержащих элементы теории чисел, можно включить историко- научный материал на основе хронологии. В первом столбце таблицы ука¬зан класс, во втором - название параграфа, а в третьем - историко- научный материал, который можно включить в данную тему. При состав¬лении данной таблицы использовалось и тематическое планирование по курсу математики 5, 6 классов указанных учебников [78, 79] . Таблица 2 Класс Название параграфа Исторический материал 5 Вводный урок к главе I «Натуральные числа и число нуль» История устной и пись¬менной нумерации 5 Математические знаки Египетская нумерация 5 Натуральные числа Вавилонская нумерация 5 Натуральные числа Римская нумерация 5 Десятичная нумерация Славянская нумерация 5 Десятичная нумерация Десять индусских цифр 5 Заключительный урок к главе I «Натуральные числа и число нуль» История развития нату-ральных чисел 5 Делители натурального числа 0 происхождении терми¬нов : «делитель», «дели¬мое», «частное», «деле¬ние» 5 Признаки делимости 0 происхождении призна¬ков делимости 5 Простые и составные числа Древнегреческие ученые 5 Простые и составные числа. Таблицы простых чисел Вклад российских ученых 5 Разложение натуральных чисел на множители Совершенные числа 5 Разложение натуральных чисел на множители Дружественные числа 5 Разложение натуральных чисел на множители Проблема Гольдбаха 5 Наибольший общий делитель Алгоритм Евклида 5 Наименьшее общее кратное Происхождение термина «кратное» и использова¬ние этого понятия в жизненной практике (високосный год) 5 Заключительный урок по главе IV «Делимость натуральных чи¬сел» 0 нерешенных задачах теории делимости 5 Дроби. Чтение и запись дробей История появления дро¬бей 6 Заключительный урок к главе I «Десятичные дроби» Происхождение и разви¬тие десятичных дробей 6 Положительные и отрицательные числа История появления отри-цательных чисел Рассмотрим основные положения общих методических рекомендаций: а. Введение историко-научного материала может осуществляться, как планомерное включение его на уроках отдельных тем школьного кур¬са математики, так и использование этого материала в разнообразных формах внеклассной работы (историко-математические кружки, выпуск специальных газет, календарей, альбомов, оформление стендов, прове¬дение историко-математических вечеров, экскурсий в музеи, по городу и т.д. ). б. Больше всего интересует учащихся 5-6 классов и лучше усваи¬вается тот историко-научный материал, где есть действия, движение, который наиболее эмоционально окрашен [73] . Поэтому историко-научный материал организован в нашем исследовании на основе учета хронологии (т.е. науки об изучении времени), которая позволяет передать динами¬ку развития математики. Хронология, как было показано выше, обладает большими возможностями в формировании представления о развитии мате¬матики. Как было показано в § 2 главы I, организация историко-научного материала на основе учета хронологии предполагает прежде всего разъ¬яснение таких понятий как: единицы измерения исторического времени, хронологическая последовательность, движение времени. Рассмотрим общие методические рекомендации по формированию этих представлений й понятий, необходимых для изложения историко-научного материала на основе учета хронологии. в. При рассмотрении единиц измерения исторического времени ос-тановимся на наиболее трудных для учащихся - «эра» и «век», пользо¬ваться которыми учащиеся 5-6 классов, как правило, не умеют, в чем мы убедились, проводя констатирующий эксперимент. Так, например, учащиеся часто неправильно определяют век по году (например, 1066 г. относят к X в., а 1215 г. - к XII в.), а также часто неправильно оп¬ределяют начало и конец века (800-ый г. для них не последний год VIII в., а первый год IX в.) Вводная беседа о летоисчислении может быть проведена в начале учебного года в 5 классе в конце первого урока по теме «деловой луч», а в конце второго урока по этой теме решить несколько %адач на исчисление времени. Цель беседы о летоисчислении состоит во введении единиц измерения исторического времени. Учитель сообщает ученикам, что у времени нет ни начала, ни кон¬ца, после чего чертит «линию времени»: он проводит мелом линию от одного края доски до другого и стрелку, указывающую направление движения времени, жирной поперечной линией отмечает начало эры, ко¬торое принято условно считать «годом рождения Христа», и от него откладывает равные отрезки в одном направлении. Эти равные отрезки соответствуют целому веку (100 лет) . Затем откладывает отрезки такой же величины в другую сторону от жирной поперечной линии (См. рис. 1). ЛИНИЯ ВРЕМЕНИ —1 1 1 ! 1 1 1 1 1 1 i 1 1 h—И*- Год рождения Христа Рис. 1 Далее, учитель продолжает: «Время исчисляемое от рождения Хри¬ста принято называть нашей (новой) эрой и обозначать, например, III в. н.э., XIX в., 19 в. Время, до рождения Христа принято называть старой эрой (до нашей эры) и обозначать, например, V в. до н.э.». На рисунке учитель может сделать соответствующие записи. VI V IV III II I 1 2 3 4 20 21 1 1 1 1 1—ь—I 1 1 1 i h Ч 1— До нашей эры Наша эра Рис. 2 Можно провести аналогию со шкалой термометра (выше и ниже нуля), что поможет осознать принцип обратного счета для событий до нашей эры. После изучения темы «Положительные и отрицательные числа» можно предложить учащимся рассказать о шкале времени на языке положительных и отрицательных чисел: а) каким математическим знаком можно заменить слова «до нашей эры», «нашей эры»? б) каким числом можно заменить год рождения Христа? На определение времени можно решить для проверки понимания уча-щимися несколько задач, в том числе и с переходом через эру. Напри¬мер: 1. Архимед - знаменитый греческий математик, родился в 287 г. до н.э. и жил 75 лет. Как записать дату его смерти? 2. Древнегреческий историк Геродот рассказывает, что Фалес предсказал солнечное затмение в Малой Азии в 585 г. до н.э. Солнеч¬ные затмения повторяются в данной точке Земли каждые 1244 года. Предскажите, в каком году в Малой Азии состоится очередное затмение? 3. Пифагор был не только знаменитым ученым, но и выдающимся ат-летом, победителем Олимпийских игр. Олимпийские игры в Древней Гре¬ции проводились каждые 4 года. Первые игры состоялись в 776 г. до н.э., а последние в 393 г. до н.э. а) Сколько всего раз проводились Олимпийские игры в Древней Греции? б) Неизвестно, победителем какой именно Олимпиады был Пифагор. Если считать, что он выиграл Олимпийские игры, когда ему было больше 20, но меньше 40 лет, то каким мог быть порядковый номер этих игр? 4. Древнегреческий ученый Аристотель родился в 384 г., а умер в 322 г. Пифагор родился в 570 г. и умер в 500 г. Историк Плутарх ро¬дился в 46 г., умер в 127 г. Кто из этих ученых родился раньше? Сколько лет прожил каждай из них? 5. Римский император Август (его именем назван последний месяц лета) жил с 63 г. до н.э. по 14 г. н.э. В каком возрасте умер импе¬ратор? Решение задач полезно сочетать с меловым рисунком «линии време¬ни», который допускает наглядность и тем самым облегчает восприятие представлений о времени. Дидактическая ценность задач не только в обучении учащихся умению оперировать датами (как нашей эры, так и до нашей эры), но и в знакомстве с именами великих ученых, исторических деятелей., ВЕКА И ГОДЫ НЙШЕЙ ЭРЫ ВЕКА И ГОДЫ ДО ШШЕЙ ЭРЫ Для прочного усвоения «векового исчислении» необходимо много¬кратно упражняться в «переводе» дат в века и обратно. При упоминании даты следует непременно спрашивать о веке и, обратно, называя век, указывать годы. Лучшим средством для разъяснения этого вопроса явля¬ется составление таблиц. Таблица 3 I в. 1-100 VI в. 501-600 XI в. 1001-1100 XVI в. 1501-1600 Ив. 101-200 VI 1в. 601-700 ХИв. 1101-1200 XVI1в. 1601-1700 Шв. 201-300 VI Ив 701-800 ХШв. 1201-1300 XVI Ив 1701-1800 IV в. 301-400 IX в. 801-900 XIV в. 1301-1400 XIX в. 1801-1900 V в. 401-500 X в. 901-1000 XV в. 1401-1500 XX в. 1901-2000 Таблица 4 VI в. до н.э. от 600 г. до 501 г. до н.э. V в. до н.э. от 500 г. до 401 г. до н.э. IV в. до н.э. от 400 г. до 401 г. до н.э. Шв. до н.э. от 300 г. до 201 г. до н.э. II в. до н.э. от 200 г. до 101 г. до н.э. I в. до н.э. от 100 г. до 1 г. до н.э. Для разъяснения правильного определения века по году, можно ис-пользовать любую дату при введении историко-научного материала. При¬мер: фрагмент урока в б классе «Положительные и отрицательные чис¬ла», на котором учитель сообщает ученикам историю появления отрица¬тельных чисел. «Признанию отрицательных чисел способствовали работы француз¬ского математика, физика и философа Рене Декарта, который рЬдился в 1596 году. Т Учитель пишет на доске - 1596. Подчеркивает полное количество веков в написанной дате, 1596 (пятнадцать веков прошло, идет шестна¬дцатый) . Следовательно, продолжает учитель, Декарт родился в 16 ве¬ке». Подобное подчеркивание в начертании года цифрами, дает ученикам еще один наиболее простой способ быстро определить, к какому веку какой год относится. Для определения века по году можно использовать и неравенство. Разъяснение приведенных понятий, связанных с обозначением вре¬мени историко-научных событий, обеспечит сознательное отношение уча¬щихся к хронологической терминологии, без которой невозможно разме¬щение событий во времени. г. Следующее понятие, которое мы используем для включения исто- рико-научного материала на основе хронологии - хронологическая по-следовательность . Основой хронологической последовательности являет¬ся логический ряд (смысловое расположение событий в один ряд - «раньше и после») . Здесь нет точных дат, но между событиями установ¬лены логические связи, благодаря чему события расставлены во време¬ни. Исторические события протекают во времени. Поэтому дети должны усваивать не отрывочные исторические факты, а цепь фактов в их хро-нологической последовательности. Например, на уроке в 6 классе по теме «Положительные и отрица¬тельные числа» учитель, рассказывая историко-научный материал «Как появились отрицательные числа» демонстрирует таблицу. Событие Место Ученый Годы Век Первые сведения Китайские II в. до об отрицатель¬ Китай математики н.э. ных числах Правила сложе¬ ния и вычитания Индия Брамагупта 598-660 VII в. положительных и отрицательных чисел Правила умноже¬ ния и деления Индия Бхаскара 1114-1178 XII в. положительных и отрицательных чисел Начали пользо¬ с XIII в. ваться отрица¬ Европа тельными числа¬ ми Геометрическое истолкование Франция Рене Декарт 1596-1650 XVII в. положительных и отрицательных чисел В приведенном примере основой таблицы является следующая хроно-логическая последовательность исторических событий. Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чи¬сел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н.э. Крупнейший ин¬дийский математик Брамагупта (598-660) в своих трудах дал правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Другой ин¬дийский математик - Бхаскара (1114-1178) дал правила умножения и де¬ления положительных и отрицательных чисел. В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XIII века, но до XVI века, как и в древности, они понимались как долги, большинство ученых считали их «ложными» в отличие от положительных чисел - «истинных». Признанию отрицательных чисел способствовали работы фращузско- го математика Рене Декарта (1596-1650) . Подробно изложение Историко- научного материала по этой теме дано в Приложении 3. Итак, историко-научный материал можно упорядочить в событийно- хронологический ряд. В хронологии запечатлевается последовательность событий, а исторические события нельзя рассматривать оторвано одно от другого, их надо изучать во взаимосвязи. д. Следующим понятием, используемым для включения историко- научного материала на основе учета хронологии, будет понятие «движение времени». Для понимания движения времени ребенку необходимо не только осознать продолжительность исторического времени, отделяющего собы¬тия друг от друга (См. с.313), но ему нужно иметь определенный, по¬знанный на своем личном опыте, масштаб. Без него ребенок не поймет большой отрезок времени. В самом деле, дети совершенно не могут представить такое понятие, как «сто лет», «триста лет», «тысячелетие», «пятьсот тысяч лет назад» и т.п. Эти понятия трудно осознать и почувствовать даже взрослому че¬ловеку, а для ребенка тем более. А между тем, история оперирует большими отрезками времени и для понимания их учитель может дать де¬тям определенный масштаб, который помог бы учащимся представить про¬должительность временного отрезка и постоянно устанавливать продол¬жительность того или иного события. Основой общепринятого масштаба времени является год [57]. Про-должительность года 10-11 летний ребенок вполне может осознать, но большой отрезок времени по собственным ощущениям дети представить себе не могут. Чем больше отрезок времени, тем труднее его осмыс¬лить. Надо насколько это возможно конкретизировать его, так как «время воспринимается ребенком опосредованно, через конкретизацию временных единиц и отношений» [106, с. 3] . Этому может помочь, на¬пример, меловой рисунок, сделанный учителем на доске. 100 лет 100 лет 1 1 1 дед отец сын Рис. 3 Зная, что за сто лет сменяется три поколения, детям легче пред-ставить, что на протяжении двухсот лет сменяются б человеческих по-колений. Для разъяснения понятия «движение времени» желательно также постоянно устанавливать продолжительность временного интервала между различными событиями. Например, учащимся можно предлагать задачи следующего вида: 1. Первая в мире женщина-профессор, вьщаюшийся русский матема¬тик, С.В.Ковалевская (1850-1891) в 1874 году была удостоена Геттин- генским университетом научной степенью доктора философии с высшей похвалой, а в 1889 году она была избрана членом корреспондентом Пе¬тербургской академии наук. Сколько времени прошло между этими собы¬тиями? 2. Грузины, свою письменную алфавитную нумерацию (из 37 букв) выработали независимо от греческой еще в VII в. до н.э., а в XIII в. н.э. они стали употреблять десятичную систему. Сколько лет прошло между этими событиями? Дидактическая ценность подобных задач была отмечена выше. 5.2 Рассмотрим методику использования хронологических таблиц, содержащих историко-научный материал по элементам теории чисел в 5-6 классах. При этом остановимся на следующих вопросах: перечислим функции, которые могут выполнять хронологические таблицы при включе¬нии историко-научного материала в процесс изучения элементов теории чисел, после чего, разберем каждую из названных функций. Основной формой изложения историко-научного материала является рассказ учителя, сопровождающийся показом хронологических таблиц, которые выполняют одну из ниже перечисленных функций: - функция иллюстрации; - функция источника визуальной информации; - функция средства познания в проблемном обучении. Технологической базой для изготовления визуальных пособий, ча¬стным видом которых являются хронологические таблицы, являются сред¬ства современных информационных технологий - простейшие компьютерные редакторы, энциклопедии стандартных изображений, элементы компьютер¬ной полиграфии. Здесь не место ее оценивать, но совершенно очевидно, что даже в имеющихся трудных материальных условиях жизни школе впол¬не доступно обзавестись необходимым оборудованием и научиться его эффективно использовать. 5.2.1 Рассмотрим случай, когда хронологическая таблица выполня¬ет функцию иллюстрации. В этом случае рассказ учителя предваряет по¬каз хронологической таблицы ученикам. При этом, рассказ учителя дол¬жен удовлетворять ряду требований: 1. Так как учащееся данного возраста не умеют долго внимательно слушать однообразное изложение, то рассказ учителя должен быть в пределах 5-7 минут. 2. Основные моменты сообщаемого материала необходимо выделять логическими ударениями. 3. Для выяснения понимания излагаемого материала во время объ¬яснения можно задавать учащимся вопросы. 4. Речь учителя должна быть логически безупречной и доступной пониманию учащихся. На рассказах учителя ученики должны учиться связно излагать свои ответы [69, с. 56]. Рассмотрим как, например, может быть проиллюстрирован хроноло-гической таблицей историко-научный материал при знакомстве учащихся с понятием «совершенные числа», которое возможно ввести в 5 классе при изучении темы «Делимость натуральных чисел». После сообщения историко-научного материала (Приложение 3) учи¬тель предлагает вниманию учеников следующую хронологическую таблицу. Таблица 6 Век Годы жизни Ученый Место ро-ждения Что сделано VI в. до н.э. 580-500 до н.э. Пифагор Самосский Древняя Греция Рассматривали совер¬шенные числа. Знали три совершенных числа: 6, 28, 496. IV в. до н.э. 365-300 до н.э. Евклид Ц Древняя Греция Четность совершенных чисел. Правило нахож¬дения совершенных чи¬сел: (2 -1)2 - совер¬шенное число, если 2 -1 простое число II в. н.э. Никомах из Герасы Древняя Греция Совершенные, недоста-точные, избыточные числа XVI- XVI1вв. 1588-1648 Марен Мерсенн Франция Числа вида 2 * - 1 на-зываются числами Мер- сенна XVII в. 1596-1650 Рене Декарт Франция Сформулировал утвер¬ждение обратное утвер¬ждению Евклида: совер¬шенное число имеет вид 2 •(2 -1), где 2-1 - простое число ХУШв. 1707-1783 Леонард Эйлер Швейцария Доказал утверждение, сформулированное Р.Декартом Учитель может свой рассказ завершить так: «Таким образом, на протяжении нескольких веков изучались совершенные числа. Но и до сих пор совершенные числа остаются загадкой для математиков. Во-первых, все найденные совершенные числа - четны и не известно, могут ли су¬ществовать нечетные совершенные числа. Во-вторых, хотя найдено уже несколько совершенных чисел, но неизвестно, конечно их число или бесконечно». Учитель также может отметить, глядя на хронологическую таблицу, что в разработку теории совершенных чисел внесли свой вклад такие ученые, как Пифагор, Евклид, Никомах, Мерсенн, Декарт, Эйлер, т.е. математику делают люди. Если взглянуть на математику пошире, то она оказывается очень человеческой (как и любая другая наука) . 5.2.2 Рассмотрим случай, когда хронологическая таблица является источником визуальной информации. В этом случае рассказ учителя мо¬жет осуществляться синхронно показу хронологической таблицы, т.е. сообщая историко-научный материал учитель привлекает данные таблицы. Проиллюстрируем это на примере историко-научного материала по теме «Дружественные числа», которая может рассматриваться в 5 клас¬се при изучении темы «Делимость натуральных чисел». Сообщая истори- ко-научный материал, учитель использует хронологическую таблицу 7. Подробное изложение историко-научного материала по этой теме дано в Приложении 3. Таблица 7 Год Математики Количество пар VI в. до н.э. Пифагор 1 ок. 1300 ибн аль Банна 1 1638 Декарт 1 1747-1750 Эйлер 59 1830/1851 Лежандр/Чебыпев 1 1866 Паганини 1 1884 Зеельхофф 2 1911 Диксон 2 1921 Мэйсон 14 1929-1948 Пуле 108 1932 Жерардэн 9 1939 Браун 1 1946 Эскотт 219 1950 Вульф 4 1957 Гарсия 153' 1965 Рольф 1 1967 Ope, Аланен, Стемпл 9 1967-1974 Боро 41 1968-1972 Ли 390 1968 Брэтли, Мак-Кей 14 1970 Коэн " 62 1971-1972 Дэвид 12 1974 те Риле 4 1979 Боро, Хоффманн, Небген, Рекков 25 Приведенный выше историко-научный материал' позволяет вскрыть картину возникновения и развития понятия «дружественные числа». Учитель демонстрирует ученикам таблицу, в которой перечислены мате¬матики, отыскавшие пары дружественных чисел, указаны количества най¬денных пар и год открытия. В конце своего рассказа учитель может предложить учащимся, на¬пример, определить обладателей рекордов по нахождению пар дружест¬венных чисел в 19 веке, в 20 веке; в какие года эти рекорды были ус¬тановлены, а также длину временного интервала, их разделяющего. По¬лучить информацию по интересующим вопросам учашиеся смогут глядя на предложенную таблицу. Информация, полученная учениками из хронологических таблиц, по¬может ученикам воспринимать математику ни как нечто застывшее, а как развивающееся и динамичное. 5.2.3 Рассмотрим случай, когда хронологическая таблица выполня¬ет функцию средства познания в проблемном обучении. В этом случае демонстрируется хронологическая таблица по кото¬рой учитель ведет рассказ. Историко-научный материал организован так, что при его изложении можно проследить за процессом добывания знаний по конкретному вопросу в науке, выдвинуть гипотезу (проблему), показать, как было найдено решение вопроса. В процессе такого рассказа ученики вместе с учителем должны пройти основные моменты открытия:, проследить логику открытия. Проиллюстрируем на примере историко-научного материала по теме «Проблема Гольдбаха», которая может рассматриваться в 5 классе при изучении темы «Делимость натуральных чисел». Учитель предлагает учащимся выписать все простые числа от 1 до 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Затем предлагает любое число от 4 до 50 представить в виде сум¬мы двух или трех простых чисел. Ученики могут взять несколько чисел наугад: 12 - 5 + 7 ; 15 = 3 + 5 + 27 = 7 + 9 + 32 - 29 + 3 } 46 = 43 + 3 г 50 - 47 + 3 Как видим, поставленную задачу мы выполним без труда. всегда ли это возможно? Любое ли натуральное число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И, если можно, то скольких: двух? трех? десяти? Далее вниманию учащихся предлагается историко-научный материал (Приложение 3) и хронологическая таблица, которая позволит ответить на поставленные вопросы. Таблица 8 Годы жизни Ученый Результаты решения 1690-1764 Х.Гольдбах Высказал предположение, что каждое целое число, большее шести, может быть представлено в виде суммы не более, чем трех простых чисел (1742г.) 1845-1918 Г.Кантор Проверил все натуральные числа до 1000 1905-1938 Л. Г. Шнирельман Доказал: всякое целое число п(п>1), может быть представлено в виде суммы не более, чем примерно 800 000 слагаемых, которые являют¬ся либо простыми числами, либо ну¬лями 1907 - Н.П.Романов Установил, что число слагаемых не превосходит 2208 (1935г.) 1877-1938 Э.Ландау Улучшил верхнюю границу до 71 1891-1938 И.М.Виногра — дов В 1937 г. новым методом решил про-блему Гольдбаха для нечетных чи¬сел, доказав теорему: существует такое число Ыо, что всякое нечет¬ное число п > N0, представляется суммой трех простых чисел. Сообщение историко-научного материала учителем может вестись по следующему плану: 1. Появление проблемы Гольдбаха. 2. О методе Л.Г.Шнирельмана по решению проблемы Гольдбаха. 3. О ученых, которые работали над улучшением результата Л.Г. Шнирельмана. 4. О решении проблемы Гольдбаха И. М. Виноградовым. Приведенный историко-научный материал подтверждает сказанное в § 2 главы I о том, что весь научный прогресс сводить к влиянию толь¬ко практики ни в коем случае нельзя. Огромную роль играет также стремление людей к полноте знаний, любознательность, желание форму¬лировать результаты во всей общности. Имеются явления, которые сего¬дня не познаны, но пройдет какое-то время и человечество сможет их изучить и познать. Это положение о принципиальной познаваемости явлений может стать естественным выводом после сообщения историко-научного мате¬риала по рассмотренному выше вопросу. 5.3 Как было сказано, историко-научный материал должен быть ис-пользован и на уроках. Приведем фрагменты уроков, на которых при изучении элементов теории чисел были использованы хронологические таблищл- Остановимся на уроках темы «Делимость натуральных чисел» [6], так как вопросы делимости чисел представляют собой благодатнейший материал, где можно использовать вопросы истории науки для формиро¬вания представлений о развитии математики. При этом подробно рассмотрены будут только исторические коммен¬тарии. Тема: Делители натурального числа. Кратные натуральные числа (2 урока) . Урок I. Цель: - ввести понятие «делитель числа»; - ознакомить учащихся с происхождением терминов: «делитель», «делимое», «частное», «деление»; - показать, как можно находить все делители данного числа и располагать их в порядке возрастания и убывания. В начале урока целесообразно рассмотреть несколько примеров на деление с остатком и без остатка, включив их в устные упражнения. Например: 100 : 25; 99 : 11; 99 : 2; 37 : 1; 100 : 24; 87 : 43; 99 : 33; 37 : 37; 42 : 20. На примерах такого типа следует повторить с учащимися названия компонентов деления; ввести понятие «делитель числа»; показать, что число может иметь несколько делителей; особое внимание уделить числу 1 и данному числу как делителям. После чего, дать учащимся историче¬ские комментарии. Затем предложить ученикам прочитать по учебнику первую часть § 35 и перейти к выполнению упражнений 424 (а, б), 425, 426(1), 427. Из упражнений для повторения выполнить 435, 437 (1) . Домашнее задание: 424 (1) (в, г), 424 (2), 426 (2), 436 (1). Исторические комментарии Сегодня на уроке мы часто употребляли термины «деление», «делимое», «делитель», «частное». Когда же люди стали употреблять их? Делить числа люди научились гораздо позже, чем складывать, вы¬читать и умножать. У древних даже не было понятия «частное». У римских ученых Витрувия (I в. до н.э.) и Боэция (ок. 480-524) деление означало раздробление числа на части и обозначалось термином с1лл7±з:1о. Значение деления, в нашем смысле слова, термин с1гу±з1о приобре¬тает только у европейского математика Герберта (940-1003) и одновре¬менно появляются производные термины: делимое, делитель. Результат деления долго назывался «сумма деления», латинский термин «частное» появляется в XIII в. - у Леонардо Пизанского (1180¬1240) . Делитель, делимое, частное как русские термины впервые появи¬лись в учебнике Л.Ф.Магницкого «Арифметика сиречь наука числитель¬ная» (1703). История математического просвещения в нашей стране знает немало славных имен. Среди них имя Леонтия Филипповича Магницкого занимает особо почетное место. Уже с детских лет Леонтий многообразием умст¬венных интересов стал выделяться из среды своих сверстников. Он са¬мостоятельно научился читать, писать и считать. Желание знать как можно больше, читать не только русские рукописи и книги, но и ино¬земные побудило Леонтия изучать иностранные языки. В итоге упорных занятий он овладел несколькими языками: латинским, греческим, немец¬ким и итальянским. Знания Леонтия Филипповича в области математики удивляли многих. Им заинтересовался и царь Петр I. При встрече, Ле¬онтий Филиппович произвел на царя очень сильное впечатление неза¬урядным умственным развитием и обширными познаниями. В знак призна¬ния достоинств Леонтия царь Петр I пожаловал ему фамилию Магницкий. Этим он хотел сказать многочисленным противникам образования, что развитый ум и знания привлекают к человеку других льсдей с такой же силой, с какой магнит притягивает к себе железо. «Арифметика» Маг¬ницкого положила начало печатанию математических учебников в России. Один из экземпляров «Арифметики» хранится в нашем городе в Кун-сткамере - первом русском музее. На этом уроке рассказ учителя осуществляется синхронно с пока¬зом хронологической таблицы. Век Годы жизни Ученый Что сделано I в. до н.э. вв. 480-524 Витрувий Боэций В их работах деление означало раздробле¬ние на равные части. X в. 940-1003 Герберт Термин «деление» приобретает совре¬менное звучание, по¬являются термины: делимое, делитель. ХП-ХШ вв. 1180-1240 Л. Пизанский Ввел термин «част¬ное» . ХУП-ХУТИ вв. 1669-1739 Л.Ф.Магницкий В учебнике «Арифме¬тика» появляются русские термины: де¬литель, делимое, ча¬стное . На этом уроке историко-научный материал был использован после объяснения нового материала. Иногда исторические комментарии полезно дать перед объяснением нового, как например, в следующем случае. Тема: Признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 3, 9 (3 урока) Урок I. Цель: - сформулировать признаки делимости на 2, 5 и 10; ознакомить учащихся с историко-научным материалом; - показать применение признаков делимости при решении конкрётных задач. В начале урока ^полезно дать задачи, имеющие целью определить, делится ли некоторое число на данное число при использовании ранее установленных свойств суммы и произведения (представить число в виде суммы или произведения нескольких чисел) . Например, определить, делится ли: 87 на 3; 415 на 4; 909 на 9; 369 на 3; 4545 на 15; 56 на 14; 183 на 5; 500 на 10; 222 на 2; 262 на 13. Далее отметить, что существуют цравила для определения делимо¬сти на некоторое число, не требующе применения установленных свойств делимости. После этого предложить исторические комментарии, а затем перейти к рассмотрению признаков делимости на 2, на 5 и на 10, используя материал учебника. В классе выполняются упражнения 456, 457, 458, 459(1,2), 460, 461, 462, 463(1) и провести самостоя¬тельную работу, обучающего характера. Из упражнений для повторения выполнить 468(1,2). Домашнее задание: 459(3), 463(2), 464, 467(1). Исторические комментарии Вы знаете, что деление не всегда выполняется надело. На практи¬ке возникает необходимость, не выполняя деления предсказать делится ли одно число на другое нацело или нет. Вот почему, в математике особое внимание уделяется делимости чисел, исследуются условия дели¬мости, выводятся определенные правила и признаки. Признаки делимости на 2, на 3 и на 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтя¬не еще во II в. до н.э., а признак делимости на 9 был известен гре¬кам в III в. н.э. Впервые признаки делимости на 2, на 3 и на 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардом Пизанским (1180-1240) . Вьщаюшийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел обший признак делимости чи¬сел, из которого следуют все частные признаки. Сегодня на уроке вы узнаете признаки делимости на 2, на 5 и на 10. На следующих уроках - на 3 и на 9. А те, кто посещают математический кружок, узнают другие признаки делимости. На этом уроке рассказу учителя предшествует показ хронологиче¬ской таблицы, которую он использует при сообщении историко-научного материала в качестве иллюстрации. Время Ученые Что сделано II в. до н.э. Древние египтяне Признак делимости на 2 III в. Греки Признак делимости на 9 1228 г. Леонард Пизанский (1180-1240) Обстоятельно изложил при-знаки делимости на 2, на 3 и на 5 1654 г. Влез Паскаль (1623-1662) Вывел общий признак дели-мости На рассмотренных уроках, для сообщения историко-научного мате¬риала требовалось 3-5 минут урока. Иногда целесообразно увеличить время на сообщение историко-научного материала, так как это способ¬ствует более глубокому и прочному усвоению математики, как, напри¬мер, в следующем случае. Тема: Общие делители, наибольший общий делитель нескольких на-туральных чисел (3 урока) . Урок III. Цель: - проверить навык нахождения общего делителя нескольких чисел при помощи определения НОД и разложения чисел на простые множители; - ознакомить учащихся с алгоритмом Евклида; - показать учащимся, как находить НОД при помощи алгоритма Евклида. Этапы урока Организационный момент. Самостоятельная работа, с целью текущего контроля. Изучение алгоритма Евклида. Решение задач. Подведение итогов урока. Домашнее задание. I. II. III. IV. V. VI. II. Самостоятельная работа Вариант I Вариант II 1. Найдите все общие делители чисел и подчеркните их наибольший общий делитель: 1) 24 и 36; 2) 35 и 38. 1) 30 и 40; 2) 34 и 25. 2. Найдите наибольший общий делитель данных чисел. Подчеркните пару взаимно простых чисел. 1) 77 и 22; 2) 76 и 27; 1) 150 и 75; 2) 72 и 49; 3) 170 и 85. 3) 52 и 65. 3. Найдите наибольший общий делитель при помощи разложения чисел на простые множители: 1) 360 и 840. 1) 455 и 312. III. Изучение алгоритма Евклида На предыдущих уроках мы обсудили понятие наибольшего общего де¬лителя двух натуральных чисел и выяснили, как его можно найти. Однако, для больших чисел эта процедура не всегда легко осуще¬ствима. Попробуйте, например, таким способом, найти наибольший общий делитель чисел: 1 381 955 и 690 713. К счастью, существует другой метод, позволяющий вычислить НОД двух чисел, который был указан еще Евклидом ( IV в. до н.э. ) . Он называется алгоритмом Евклида. Прави¬ло нахождения НОД двух чисел, обоснованное Евклидом, состоит в сле¬дующем: большее из двух данных чисел делится на меньшее, затем мень¬шее число делят на первый полученный остаток, первый остаток на вто¬рой и т.д. Последний, не равный нулю остаток, при таком делении и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Найдем, например, НОД чисел 455 и 312. 455 312 143 26 т.е. НОД (455 и 312) = 13. Последовательно имеем: 312 = 1 (ост. 143), отсюда 455 = 312 • 1 + 143; 143 = 2 (ост. 26), отсюда 312 = 143 • 2 + 26 26 = 5 (ост. 13), отсюда 143 = 26 • 5 + 13 13 = 2 (ост. 0), отсюда 26 = 13 • 2, Пояснить почему 13 будет наибольшим общим делителем, можно ис- пользуя ряд равенств » (: - деление нацело) : 26 = 13-2 г 26 : 13; 143 = 26-5 + 13 г 143 : 13; 312 =143-2 + 26 г 312 : 13; 455 =312-1 + 143 г 455 : 13. Последовательное деление обычно располагают в следующем виде: 455 312 312 312 143 286 2 143 26 130 5 26 13 26 2 О
IV. Решение задач Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел: 1) 360 и 840; 2) 150 и 210; 3) 147 и 343; 4) 174 и 936; 5) 383 и 864. Решения: 210 150 150 840 720 2) 360 1) 150 120 60 2 120 360 360 _ 60 30 60| 2 0 0 НОД (840; 360) = 120; НОД (210; 150) = 30; 147 _ 147 147 О 3) 343 294 49 3 4) 936 870 66 2 174 174 132 42 1 66 42 НОД (147; 343) = 49; 42 24
5) 384 18 1 24 18 6 4 18 18 0 864 768 384 384 0 НОД(864;384)=96. НОД (174; 936) = 6; V. Подведение итогов урока В каких случаях удобно применять алгоритм Евклида для нахожде¬ния НОД двух чисел? В чем состоит алгоритм Евклида? В каком веке жил Евклид? VI. Домашнее задание: № 509, № 514. Алгоритм Евклида, несмотря на свою простоту, является важным элементом математического образования. Поэтому, нам кажется, ему стоит посвятить отдельное занятие. Итак, в данном параграфе описана методика включения историко- научного материала на основе использования хронологических данных. В § 6 опишем проведение и анализ результатов экспериментальной работы по проверке эффективности предлагаемой методики. жүктеу/скачать 212,88 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|