Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств
Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений
жүктеу/скачать 318 Kb.
|
1. Теория множеств
| Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений.
n-местным отношением или n-местным предикатом Р на множествах А1, А2,…, Аn называется любое подмножество прямого произведения . Другими словами, элементы х1, х2,…, хn (где хi є Ai) связаны соотношением Р тогда и только тогда, когда (х1, х2,…, хn) є Р. При n=1 отношение Р является подмножеством множества А1 и называется унарным отношением или свойством. При n=2 отношение Р называется бинарным отношением или соответствием. Пример: Если А={2,3,4,5,6,7,8}, то бинарное отношение Р={(x,y) | x,y є A, x делит y и х≤3} можно записать в виде Р = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6)}. Если Р={(x, y) | x, y є R, x≤y}, то запись xPy означает, что x≤y. idA = {(x,x) | x є A} – тождественное отношение, idA принадлежит А2. U = A2 – универсальное отношение. Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Областью определения отношения Р называется множество δР = {x | (x,y) є P для некоторого у}. Областью значений отношения Р называют множество ρР = {y | (x,y) є P для некторого х}. Обратным отношением называется множество Р-1 = {(y,x) | (x,y) є P}. Образом множества Х относительно предиката Р называется множество Р(Х)={y | (x,y) є P для некоторого х є Х} Прообразом множества относительно предиката Р называется множество Р-1(Х) или, другими словами, образ множества Х относительно предиката Р-1. Произведением бинарных отношений и или композицией Р1 и Р2 называется множество Р1•Р2 = {(x,y) | x є A, y є C, и найдется элемент z є B такой, что (x,z) є Р1 и (z,y) є P2}. Свойства: Ассоциативность композиции: (P•Q)•R=P•(Q•R) Доказательство: Пусть (x,y) є (P•Q)•R. Тогда для некоторых u и v имеем (x,u) є P, (u,v) є Q, (v,y) є R. Тогда (u,y) є Q•R и (x,y) є P•(Q•R). Включение P•(Q•R) є (P•Q)•R доказывается аналогично. (P•Q)-1=Q-1•P-1 Доказательство: Предположим, что (x,y) є (P•Q)-1. Тогда (y,x) є P•Q, и, следовательно, (y,z) є P и (z,x) є Q для некоторого элемента z. Значит (x,z) є Q-1, (z,y) є P-1 и тогда (x,y) є Q-1•P-1. Обратное включение доказывается аналогично. P•Q ≠ Q•P (P-1)-1=P Доказательство: Если (x,y) є P, то (y,x) є Р-1, но тогда (x,y) є (Р-1)-1. жүктеу/скачать 318 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|