Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств
Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности
жүктеу/скачать 318 Kb.
|
1. Теория множеств
| Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.
Отношение называется функцией или отображением из множества А в множество В, если и из (x,y1) є f, (x,y2) є f следует y1=y2. Если вместо выполняется , то f называется частичной функцией. Функция f из А в В обозначается через или . Если (x,y) є f, то пишем y=f(x) или . Функция называется разнозначной инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией если из условия, что выполняется х1≠х2, следует y1≠y2. Функция называется функцией из А на В или сюръекцией, если . Функция называется взаимно однозначным соответствием между множествами А и В или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно. Биекция называется подстановкой. Утверждения: Если , , то Если , то Если f и g - инъекции, то f•g – инъекция. Доказательство: Предположим противное, т.е. найдутся элементы x1, x2, y такие, что х1≠х2, (x1,y) є f•g и (x2,y) є f•g, т.е. g(f(x1))=y=g(f(x2)). В силу разнозначности f имеем f(x1)≠f(x2). Отсюда в силу разнозначности g получаем g(f(x1))≠g(f(x2)), а это противоречит предположению. Если f,g – сюръекции, то f•g – сюръекция Доказательство: Нужно доказать, что для любого с существует а такое, что f•g(a)=c. Т.к. g – сюръекция, то существует b, для которого g(b)=c, а т.к. f – сюръекция, то для любого b существует а такое, что f(a)=b. Тогда f•g(a)=g(f(a))=c Если f и g – биекции, то f•g – биекция Если , то Функция называется последовательностью. Её можно представить в виде f(0)=b0, f(1)=b1,…, f(n)=bn. жүктеу/скачать 318 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|