Понятие функции

• 
  y=f(x) – это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
  
• 
  x – переменная величина, или, аргумент;
  
• 
  y – зависимая величина – изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле f, отражающей зависимость одной величины от другой.
  

• 
  аналитический (с помощью формул);
  
• 
  табличный;
  
• 
  графический;
  
• 
  словесное описание.
  

• 
  линейная функция: y=kx+b, где k, b – действительные числа;
  
• 
  квадратичная функция: y=ax2+bx+c, где a≠0;
  
• 
  обратная пропорциональность: y=kx, где k≠0.
  

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь  . Как вы знаете, на ноль делить нельзя:  , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде    и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:

Пример 1

Найти область определения функции

Полученное уравнение имеет два корня:  . Данные значения не входят в область определения функции. Действительно, подставьте   или   в функцию   и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.

Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений  ». Напоминаю, что значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание, а фигурные скобки – множество. Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов:

Кому как нравится.

В точках   функция терпит бесконечные разрывы, а прямые, заданные уравнениями   являются вертикальными асимптотами для графика данной функции. Впрочем, это уже немного другая тема, и далее я на этом не буду особо заострять внимание.

Пример 2

Найти область определения функции

Задание, по существу, устное и многие из вас практически сразу найдут область определения. Ответ в конце урока.

Всегда ли дробь будет «нехорошей»? Нет. Например, функция   определена на всей числовой оси. Какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен:  . Таким образом, область определения данной функции:  .

Рекомендую запомнить, при любом значении «икс» и положительной константе  :
 

Все функции наподобие   определены и непрерывны на  .

Чуть более сложнА ситуация, когда знаменатель оккупировал квадратный трёхчлен:

Пример 3

Найти область определения функции

Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.

Найти область определения функции

Поскольку коэффициент  , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах   выполнено неравенство   (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке   ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству  :

Обратите внимание, что сами точки   выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.