Москва 2001 г тайный язык информатики Чарльз Петцольд ббк 32. 973. 26–018

424

Глава двадцать третья

дополнения до двух) можно хранить в 8-, 16- и 32-разрядных

ячейках памяти.

Число

Диапазон целых

Диапазон целых

битов

положительных чисел

отрицательных чисел

8

От 0 до 255

От –128 до 127

16

От 0 до 65 535

От –32 768 до 32 767

32

От 0 до 4 294 967 295

От –2 147 483 648

до 2 147 483 647

На этом мы и остановились. Но, помимо целых, в матема-

тике есть также рациональные числа, которые можно предста-

вить в виде дроби, т. е. отношения двух целых чисел. Напри-

мер, 3/4 — рациональное число, так как оно является отноше-

нием 3 и 4. В форме десятичной дроби это же число записыва-

ется так: 0,75. Несмотря на иную форму записи, это тоже ра-

циональное число, равное отношению 75 и 100.

В десятичной системе счисления слева от десятичного раз-

делителя стоят цифры-множители целых положительных сте-

пеней десяти. Цифры справа от десятичного разделителя яв-

ляются множителями отрицательных степеней десяти. Скажем,

число 42 705,684 можно записать так:

4 

´ 10 000 +

2 

´ 1000 +

7 

´ 100 +

0 

´ 10 +

5 

´ 1 +

6 

¸ 10 +

8 

¸ 100 +

4 

¸ 1000

Здесь я использовал знаки деления, но можно обойтись и без

них — с помощью десятичных дробей:

4 

´ 10 000 +

2 

´ 1000 +

7 

´ 100 +

0 

´ 10 +

5 

´ 1 +

6 

´ 0,1 +

8 

´ 0,01 +

4 

´ 0,001

425

Фиксированная точка, плавающая точка

или степеней десяти:

4 

´ 10

4

 +

2 

´ 10

3

 +

7 

´ 10

2

 +

0 

´ 10

1

 +

5 

´ 10

0

 +

6 

´ 10

–1

 +

8 

´ 10

–2

 +

4 

´ 10

–3

Некоторые рациональные числа не так-то легко предста-

вить в виде десятичной дроби. Самый простой пример — 1/3.

Разделив 1 на 3, получим:

0,3333333333333333333333333333333333333...

и так без конца. Нужно признать, что в форме десятичной дро-

би число 1/3 выглядит несколько неуклюже, и все же это пол-

ноценное рациональное число, являющееся отношением двух

целых чисел. Существуют и более сложные периодические

десятичные дроби, например, 1/7:

0,142857142857142857142857142857142857142857...

Числа, которые нельзя представить в виде отношения це-

лых чисел, называются иррациональными. Они записываются

в виде бесконечных десятичных дробей без каких бы то ни

было повторений. Примером может служить квадратный ко-

рень из 2 — решение алгебраического уравнения х

2

 – 2 = 0:

2~

~1.4142135623730950488016887242096980785696718...

Иррациональное число, которое не является решением ал-

гебраического уравнения с целочисленными коэффициента-

ми, называется трансцендентным. Все трансцендентные чис-

ла иррациональны, но не все иррациональные числа трансцен-

дентны. К трансцендентным числам относится знаменитое

число 

p, равное отношению длины окружности к ее диаметру:

3,14159265358979328462643383279502884...

Другое трансцендентное число — е, к которому стремится зна-

чение выражения:

426

Глава двадцать третья

1 +

n

1

n

при  n, стремящемся к бесконечности. Оно приблизительно

равно:

2,718281828459045235360287471352662497757247...

Вместе рациональные и иррациональные числа называют-

ся действительными или вещественными числами. Противо-

положность им — мнимые числа: квадратные корни из отри-

цательных величин. Комплексные числа являются комбинаци-

ей реальных и мнимых чисел. Несмотря на подозрительное

название, мнимые числа существуют и даже активно исполь-

зуются в решении многих научных и практических задач.

Мы привыкли думать о непрерывном ряде чисел. Дайте мне

два рациональных числа, и я всегда найду между ними третье,

например, их среднее арифметическое. Но цифровые компью-

теры не имеют дела с непрерывностью. Бит равен либо 0, либо

1 и никаких промежуточных значений не допускает. По самой

своей сути компьютеры обречены работать с дискретными ве-

личинами. Количество таких величин, представимых с помо-

щью битов, напрямую зависит от количества последних. Так, в

32-битовой ячейке памяти можно хранить положительные це-

лые числа от 0 до 4 294 967 295. Чтобы записать в память компь-

ютера значение 4,5, нужно придумать что-то другое.

Можно ли представить в двоичном виде дробные величи-

ны? Можно. Самый простой способ — прибегнуть к двоично-

десятичному коду (ВСD), о котором мы говорили в главе 19.

Код ВСD предназначен для записи в двоичной системе деся-

тичных чисел. Каждой десятичной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

и 9) сопоставлено 4-битовое двоичное число:

Десятичная цифра

Двоичная число

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

427

Фиксированная точка, плавающая точка

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

Код ВСD, в частности, удобно применять в компьютерных про-

граммах, работающих с денежными суммами, когда в дроб-

ных числах в основном достаточно двух знаков после запя-

той.

Две десятичные цифры, представленные кодом ВСD, часто

хранят в 1 байте. Такая система записи называется уплотнен-

ным кодом ВСD (packed ВСD). Дополнение до двух в уплотнен-

ном коде ВСD не применяется, поэтому для хранения знака

обычно нужен дополнительный бит знака (sign bit). Поскольку

под число в коде BCD удобно отводить целое число байтов, бит

знака фактически занимает в памяти 4 или 8 битов.

Рассмотрим пример. Допустим, вашей программе никогда

не приходится встречаться с суммами, превышающими 10 млн.

долларов, ни в положительном, ни в отрицательном балансе.

Иначе говоря, вам нужно представлять суммы в диапазоне от

–9 999 999,99 до 9 999 999,99. Для хранения каждой суммы в

памяти нужно отвести 5 байт. Скажем, число –4 325 120,25 пя-

тью байтами представляется так:

00010100   00110010   01010001   00100000   00100101

или в шестнадцатеричном формате:

14h 32h 51h 20h 25h

Заметьте: первая слева тетрада равна 1, т. е. число отрицатель-

ное. Это и есть бит знака. Если бы число было положитель-

ным, первая тетрада равнялась бы 0. Для представления каж-

дой цифры требуется 4 бита; десятичные цифры совпадают с

шестнадцатеричными.

Чтобы хранить в памяти значения от –99 999 999,99 до 99

999 999,99, вам потребуется 6 байт: 5 для 10 цифр и еще байт

для бита знака.

(продолжение)

428

Глава двадцать третья

Такой тип записи дробных чисел называется записью с

фиксированной точкой (fixed-point)

1

, так как десятичный раз-

делитель всегда находится в определенном месте числа. В на-

шем примере после него всегда стоят две цифры. Вы вольны

отводить под дробную часть числа любое количество знаков и

использовать в одной и той же программе числа с разным ко-

личеством знаков после запятой. Но заметьте: информация о

положении разделителя вместе с числом не хранится, поэто-

му программа должна как-то узнавать, где он находится.

Формат с фиксированной точкой хорош, если вы знаете,

что числа не «перерастут» ту область памяти, которую вы для

них отвели, и что вам не понадобится увеличить количество

знаков после запятой. Но он пасует, если числа становятся

слишком большими или маленькими. Представьте, что вам

нужно предусмотреть в памяти место для записи разнообраз-

ных расстояний. Но что это будут за числа? Расстояние от Зем-

ли до Солнца составляет 150 000 000 000 метров, а боровский

радиус атома водорода — 0,00000000005 м. Чтобы заранее пре-

дусмотреть место для хранения любых промежуточных зна-

чений в формате с фиксированной точкой, вам придется от-

вести для них 12 байт памяти.

Мы, вероятно, выработаем лучший способ хранения по-

добных чисел, если вспомним о  научной нотации, которую

широко применяют ученые и инженеры. В ней длинные ряды

нулей заменяются на степень десяти, благодаря чему удобно

представлять очень большие и очень маленькие числа. В на-

учной нотации число:

150 000 000 000

выглядит как:

1,5 

´ 10

11

а число:

0,00000000005

— как:

5 

´ 10

–11

1

Вообще-то в России в качестве десятичного разделителя традиционно используется

запятая. С другой стороны, описываемые форматы записи десятичных чисел

применяются при составлении программ, а в языках программирования в качестве

разделителя практически всегда используется точка. Поэтому в книге используются

термины «фиксированная точка» и «плавающая точка». — Прим. перев.

429

Фиксированная точка, плавающая точка

Число перед степенью 10 (в наших примерах 1,5 и 8) иногда

называют мантиссой (хотя этот термин уместней применять

по отношению к логарифмам). Я буду называть его значащей

частью числа (significand) в соответствии с компьютерной тер-

минологией.

Порядком (exponent) называется степень, в которую возво-

дится 10. В первом примере порядок равен 11; во втором –11.

Порядок позволяет узнать, на сколько знаков смещен десятич-

ный разделитель по сравнению с записью числа в формате с

фиксированной точкой.

Традиционно в научной нотации значащая часть заключе-

на между 1 (включительно) и 10. Числа, приведенные ниже,

равны:

1,5 

´ 10

11

 = 15 

´ 10

10

 = 150 

´ 10

9

 = 0,15 

´ 10

12 

= 0,015 

´ 10

13

но первый вариант наиболее предпочтителен. Преобразова-

ние числа в научной нотации к стандартному виду называется

нормализацией.

Заметьте: знак показателя степени указывает на порядок

числа, но не на его положительность или отрицательность. Вот

как выглядят в научной нотации отрицательные числа:

–5,8125 

´ 10

7

 = –58 125 000

–5,8125 

´ 10

–7

 = –0,00000058125

В компьютерах научная нотация стала основой для записи

чисел в формате с плавающей точкой (floating point). В отли-

чие от формата с фиксированной точкой он идеален для хра-

нения маленьких и больших чисел. Важное отличие от тради-

ционной научной нотации в том, что в компьютерах формат с

плавающей точкой используется для двоичных  чисел. Для на-

чала разберемся, как в двоичном формате выглядят дроби.

Вообще-то все проще, чем кажется. В десятичной записи

цифры справа от десятичного разделителя соответствуют от-

рицательным степеням 10. В двоичной записи цифры справа

от двоичного разделителя соответствуют отрицательным сте-

пеням 2. Например, двоичное число 101,1101 преобразуется в

десятичное так:

430

Глава двадцать третья

1 

´ 4 +

0 

´ 2 +

1 

´ 1 +

1 

¸ 2 +

1 

¸ 4 +

0 

¸ 8 +

1 

¸ 16

Заменяем знаки деления отрицательными степенями 2:

1 

´ 2

2

 +

0 

´ 2

1

 +

1 

´ 2

0

 +

1 

´ 2

–1

 +

1 

´ 2

–2

 +

0 

´ 2

–3

 +

1 

´ 2

–4

Отрицательные степени двух записываем в виде десятичных

дробей:

1 

´ 4 +

0 

´ 2 +

1 

´ 1 +

1 

´ 0,5 +

1 

´ 0,25 +

0 

´ 0,125 +

1 

´ 0,0625

В результате получаем, что двоичное число 101,1101 экви-

валентно десятичному 5,8125.

В десятичной форме нормализованная значащая часть чис-

ла заключена между 1 и 10. Это верно и в двоичной системе:

нормализованная значащая часть всегда больше либо равна 1

и меньше 10 (2 в десятичной системе). Поэтому в двоичной

нотации число 101,1101 записывается как:

1,011101 

´ 2

2

Отсюда интересный вывод: в нормализованном двоичном

числе с плавающей точкой слева от разделителя всегда стоит 1

и только 1.

В большинстве современных компьютеров и программ для

чисел с плавающей точкой применяется стандарт, введенный

431

Фиксированная точка, плавающая точка

в 1985 г. Институтом инженеров по электротехнике и радио-

электронике (Institute of Electrical and Electronics Engineers,

IEEE) и признанный Американским национальным институ-

том по стандартизации (American National Standards Institute,

ANSI), — стандарт IEEE для двоичной арифметики с плаваю-

щей точкой (IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic).

Его описание занимает всего 18 страниц, но основы кодирова-

ния двоичных чисел с плавающей точкой изложены в нем

очень ясно.

В стандарте IEEE определены два основных формата: фор-

мат с простой точностью (single precision), в котором для за-

писи числа отводится 4 байта, и формат с двойной точностью

(double precision), занимающий 8 байт.

Сначала рассмотрим формат с простой точностью. В нем

число разделяется на 3 части: 1 бит для знака (0 для положи-

тельных чисел и 1 для отрицательных), 8 бит для порядка и 23

бита для дробной значащей части числа, в которой самый млад-

ший бит стоит справа:

1 бит знака (s)

8 битов порядка (e)

23 бита дробной

значащей части (f)

Всего получается 32 бита, или 4 байта. Поскольку знача-

щая часть нормализованного двоичного числа с плавающей

точкой всегда начинается с 1, соответствующий бит в запись

числа в формате IEEE не включается. Хранится только 23-би-

товая дробная часть, хотя это не мешает говорить, что число

хранится с точностью 24 бита.

8-битовый порядок может принимать значения от 0 до 255.

Он является смещенным (biased), т. е. для нахождения истин-

ного значения порядка — с учетом знака — вы должны вы-

честь из e число, называемое смещением (bias). Для чисел про-

стой точности с плавающей точкой оно равно 127.

Порядки 0 и 255 имеют особый смысл, о котором чуть поз-

же. Если значение порядка заключено в пределах от 1 до 254,

число, представленное конкретными значениями s (бита зна-

ка), e (порядка) и f (дробная часть), равно:

(–1)

s

 

´ 1.f ´ 2

е–127

Знак числа вычисляется по формуле (–1)s. Если s равно 0, чис-

ло положительно (так как любое число в степени 0 равно +1),

432

Глава двадцать третья

если s равно 1, число отрицательно (так как –1 в степени 1 рав-

но –1).

Следующая часть выражения — 1.f — символизирует 23-

битовую дробную часть числа, стоящую после 1 и двоичного

разделителя (в стандарте IEEE — точка). Все это умножается

на 2 в степени e – 127.

Кроме того, в стандарте IEEE предусмотрено несколько

специальных случаев.

•

Если е равно 0, а f — 0, число равно 0. Обычно 0 представ-

ляется нулевыми значениями всех 32 битов. Если бит зна-

ка равен 1, число называется отрицательным 0. Он симво-

лизирует очень маленькое число, для записи которого цифр

и степени в простой точности недостаточно, но которое,

однако, меньше 0 (не равно ему).

•

При е = 255 и f  = 0 число, в зависимости от значения s сим-

волизирует положительную или отрицательную бесконеч-

ности.

•

Если е = 255, а f  не равно 0, значение считается недопусти-

мым числом и называется NaN ( Not a Number, не число).

Величина NaN часто возникает в результате некорректно-

го математического вычисления.

Самое маленькое нормализованное положительное или

отрицательное двоичное число простой точности, которое

можно представить в формате с плавающей точкой, равно:

1,00000000000000000000000

два

  

´ 2

–126

После запятой стоят 23 двоичных нуля. Самое большое нор-

мализованное положительное или отрицательное двоичное

число простой точности, которое можно представить в фор-

мате с плавающей точкой, равно:

1,11111111111111111111111

два

  

´ 2

127

В десятичном выражении эти числа приблизительно равны

1,175494351 

´ 10

-38

 и 3,402823466 

´ 10

38

. Это и есть диапазон

чисел простой точности, которые можно представить в фор-

мате с плавающей точкой.

Вы, возможно, еще не забыли, что 10 двоичных цифр при-

близительно эквивалентны 3 десятичным. Я хочу сказать, что

двоичное число, состоящее из 10 единиц (3FFh в шестнадцате-

433

Фиксированная точка, плавающая точка

ричной системе и 1023 в десятичной), примерно равно деся-

тичному числу, состоящему из трех девяток. Иначе говоря:

2

10

 

» 10

3

То есть 24-битовое двоичное число простой точности в фор-

мате с плавающей точкой приблизительно эквивалентно 7-

значному десятичному числу. Поэтому говорят, что число

простой точности с плавающей точкой имеет точность до 24

двоичных или до 7 десятичных знаков. Что это значит?

Точность числа с фиксированной точкой легко определить

по его внешнему виду. В денежной сумме, например, число с

фиксированной точкой и двумя знаками после разделителя

определяется с точностью до цента. В отношении чисел с пла-

вающей точкой ничего подобного сказать нельзя. В зависимо-

сти от порядка число с плавающей точкой может быть точ-

ным до долей пенса или до нескольких тысяч долларов.

Правильнее сказать, что число простой точности с плава-

ющей точкой точно до 1 части из 2

24

 или приблизительно до

6 частей из ста миллионов. В первую очередь это значит, что

если вы запишете в виде чисел простой точности с плаваю-

щей точкой величины 16 777 216 и 16 777 217, их представле-

ния будут абсолютно одинаковы! Более того, тем же значени-

ем будет представлено любое число, заключенное между ними,

например, 16 777 216,5. Все три десятичных числа будут хра-

ниться в памяти как 32-битовое значение 4В800000h. Если его

разделить на биты знака, порядка и значащей части, оно будет

выглядеть так:

0 10010111 00000000000000000000000

или:

1,00000000000000000000000

два

 

´ 2

24

За ним в сторону увеличения следует число:

1,00000000000000000000001

два

 

´ 2

24

соответствующее десятичному 16 777 218. Чаще всего хране-

ние двух близких десятичных чисел в виде одного и того же

двоичного особых трудностей не вызывает, но и забывать о

такой возможности не следует.

Допустим, вы написали для банка программу, в которой

для хранения денежных сумм в долларах и центах использу-

434

Глава двадцать третья

ются числа простой точности с плавающей точкой. Узнав, что

с точки зрения программы 262 144,00 долларов не отличаются

от 262 144,01 долларов, вы возможно, испытаете глубокое по-

трясение. Действительно, оба числа представляются в компь-

ютере так:

1.00000000000000000000000

два

 

´ 2

18

Вот почему при работе с долларами и центами формат с фик-

сированной точкой более предпочтителен. Разрешив точке

плавать, вы рискуете нарваться и на другие мелкие, но весьма

досадные неприятности. Например, иногда в программе вме-

сто 3,5 будет получаться 3,4999999. При работе с плавающей

точкой такие фокусы случаются довольно часто, и поделать с

этим ничего нельзя.

Если вас не устраивает простая точность, но применение

плавающей точки неизбежно, воспользуйтесь двойной точно-

стью. Числа в этом формате занимают по 8 байт памяти, рас-

пределенных так:

1 бит знака (s)

11 бит порядка (e)

52 бита дробной

значащей части (f)

Смещение порядка равно 1023 или 3FFh, поэтому число двой-

ной точности записывается так:

(–1)

s

 

´ 1.f  ´ 2

е–1023

Для значений 0, бесконечности и NaN применяются те же

правила, что и в простой точности.

Самое маленькое положительное или отрицательное чис-

ло двойной точности с плавающей точкой равно:

1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000

два

´ 2

-1022

После двоичной точки стоит 52 нуля. Самое большое число

равно:

1.1111111111111111111111111111111111111111111111111111

два

´ 2

1023

Соответствующий диапазон десятичных чисел — приблизи-

тельно от 2,2250738585072014 ххх 10

–308

 до 1,797693138623158

´ 10

308

.

53 бита значащей части числа (с учетом неуказываемого пер-

вого бита, который всегда равен 1) примерно эквивалентны 16

435

Фиксированная точка, плавающая точка

десятичным цифрам. Это, конечно, намного больше, чем в

простой точности, но все равно от одинакового представле-

ния двух близких десятичных чисел нам никуда не деться. На-

пример, в двоичном представлении число 140 737 488 355 328,00

не отличается от 140 737 488 355 328,01. Оба хранятся как

64-битовая величина 42Е0000000000000h, равная:

1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000

два

´ 2

47

Разумеется, разработка формата для хранения чисел с пла-

вающей точкой в памяти компьютера — лишь небольшая

часть работы по практическому использованию этих чисел в

ассемблерных программах. Если бы вы создавали компьютер

на необитаемом острове, то столкнулись бы с необходимос-

тью написания программ для сложения, вычитания, умноже-

ния и деления чисел с плавающей точкой. К счастью, их мож-

но разбить на функции для сложения, вычитания, умножения

и деления целых чисел, работать с которыми вы уже умеете.

Например, сложение двух чисел с плавающей точкой за-

ключается в сложении их значащих частей; труднее всего здесь

разобраться с порядками. Рассмотрим пример:

(1,1101 

´ 2

5

) + (1,0010 

´ 2

2

)

Здесь нужно сложить 11101 и 10010, но не просто, а с прира-

щением разрядности первого числа на величину, определяе-

мую по разности порядков. Первый порядок на 3 больше вто-

рого, поэтому добавляем к первому числу 3 нуля и складыва-

ем 11101000 и 10010. Итоговая сумма равна 1,1111010 

´ 2

5

. Иног-

да порядки различаются столь существенно, что сумма совер-

шенно не отличается от большего из слагаемых. Так произой-

дет, например, при сложении расстояния от Земли до Солнца

с радиусом атома водорода.

Умножение чисел с плавающей точкой равносильно умно-

жению их значащих частей и сложению порядков. Обе опера-

ции не выходят за рамки целочисленной арифметики.

Следующий уровень сложности в вычислениях с плаваю-

щей точкой — вычисление корней, логарифмов, показатель-

ных и тригонометрических функций. Но все эти функции так-

же можно разложить на четыре основные операции: сложе-

ние, вычитание, умножение и деление. Так, синус вычисляет-

ся с помощью ряда:

436

Глава двадцать третья

sin(

x) = x -

x

3

3!

+

x

5

5!

-

x

7

7!

+...

Здесь аргумент х измеряется не в градусах, а в радианах (360°

равно 2

p радиан), а восклицательным знаком обозначен фак-

ториал числа, равный произведению всех целых чисел от еди-

ницы и до этого числа. Например, 5! = 1 

´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5. Таким

образом, при вычислении числителя и знаменателя в каждом

члене ряда мы используем умножение, делим числитель на

знаменатель, а затем складываем и вычитаем результаты. Про-

сто? Да не совсем. Самая неприятная часть этого выражения

— многоточие в конце. Оно означает, что теоретически вы-

числение продолжается  бесконечно. Но на практике вычис-

лять это выражение для любого x не нужно. Синус — перио-

дическая функция, поэтому его достаточно рассчитать для x в

пределах от 0 до 

p/2, а затем  по простым формулам получить

значения синуса для произвольного x. Чтобы рассчитать sin x

при x в пределах от 0 до 

p/2 с точностью до 53 бит, достаточно

учесть в этом разложении с десяток слагаемых.

«Что же получается? — скажете вы. — Компьютеры при-

званы облегчать людям жизнь, а мы вопреки этому постоян-

но сталкиваемся с необходимостью написания все новых и

новых программ!» Но в этом-то и прелесть программирова-

ния.  Как только кто-то написал программы для вычислений с

плавающей точкой, их могут использовать и другие. А с напи-

санием таких программ заминки не возникает. Расчеты с пла-

вающей точкой жизненно важны в научных и инженерных

программах, поэтому их реализации всегда придается самое

большое значение. В начале компьютерной эпохи написание

программ для вычислений с плавающей точкой всегда было

одной из первых задач, стоявших перед создателями новой

модели компьютера.

На самом деле имеет смысл создать для работы с плаваю-

щей точкой специальные машинные команды! Если выпол-

нять операции с плавающей точкой на аппаратном уровне, как

умножение и деление в 16-битовых микропроцессорах, слож-

ные математические расчеты будут проводиться гораздо быс-

трее. Конечно, сказать легче, чем сделать. Но вычисления с

плавающей точкой настолько важны, что специальное обору-

дование для них создано уже давно.

437

Фиксированная точка, плавающая точка

В 1954 г. выпущен IBM 704 — первый коммерческий ком-

пьютер, имевший аппаратное обеспечение для работы с пла-

вающей точкой. Все числа в нем хранились как 36-битовые

величины: 27 битов под значащую часть, 8 битов для порядка

и 1 бит для знака. В процессоре имелись схемы для сложения,

вычитания, умножения и деления чисел с плавающей точкой.

Другие функции реализовывались программно.

В настольных компьютерах аппаратное обеспечение для

арифметики с плавающей точкой появилось в 1980 г., когда

компания Intel выпустила микросхему 8087. В наши дни мик-

росхемы этого типа называют математическими сопроцессо-

рами. Название сопроцессор (coprocessor) означает, что приме-

нять эту микросхему отдельно от процессора нельзя. Сопро-

цессор 8087 работал с первыми 16-разрядными микропроцес-

сорами Intel 8086 и 8088.

Сопроцессор 8087 — микросхема с 40 выводами, в кото-

рой используются многие из сигналов микросхем 8086 и 8088.

Посредством этих сигналов процессор и сопроцессор взаимо-

действуют друг с другом. Когда процессор считывает специ-

альную команду (ESC), управление берет на себя сопроцессор,

выполняющий следующий за этой командой машинный код

— одну из 68 команд для вычисления логарифма, тригономет-

рических функций, возведения в степень и пр. Типы данных

основаны на стандарте IEEE. В свое время сопроцессор 8087

считался самой сложной интегральной схемой.

Можете считать сопроцессор маленьким самостоятельным

компьютером. Получив команду на выполнение определенно-

го расчета с плавающей точкой (например, команду FSQRT для

вычисления квадратного корня), сопроцессор запускает набор

собственных команд, записанных в ПЗУ. Внутренние команды

сопроцессора называются  микрокодом. Обычно выполнение

микрокода сопряжено с вычислениями в цикле, поэтому резуль-

тат готов не сразу. И все же сопроцессор позволяет ускорить

вычисления по крайней мере в 10 раз по сравнению с программ-

ной реализацией операций с плавающей точкой.

На материнской плате первого IBM PC рядом с микросхе-

мой 8088 имелось 40-контактное гнездо для сопроцессора 8087.

К сожалению, при продаже компьютера оно пустовало.

Пользователи, нуждавшиеся в высокой скорости вычислений,

покупали и устанавливали сопроцессор 8087 самостоятельно.

438

Глава двадцать третья

Но даже после его установки не все приложения начинали ра-

ботать быстрее. Текстовому редактору, например, арифмети-

ка с плавающей точкой почти ни к чему. Но даже программы

с обильными математическими расчетами, например, элект-

ронные таблицы, зачастую благотворного влияния сопроцес-

сора на себе не испытывали.

Мы уже убедились, что для сопроцессора программист дол-

жен вставлять в программу специальные машинные коды. Но

сопроцессор не был стандартным оборудованием, и потому

многие программисты себя этим не утруждали. Им ведь все

равно приходилось писать подпрограммы для работы с пла-

вающей точкой для тех пользователей, у которых не было со-

процессора, поэтому микросхема 8087 не избавляла их от ра-

боты, а, напротив, усложняла ее. Позже программисты научи-

лись писать приложения так, что, если сопроцессор был на

компьютере, он использовался, а если нет — его работа моде-

лировалась программно.

Позже Intel выпустила сопроцессор 287 для процессора 286

и сопроцессор 387 для процессора 386. В 1989 г. сопроцессор

наконец перестал был отдельным элементом оборудования,

устанавливаемым по желанию, — в процессор Intel 486DX он

был встроен! Правда, в 1991 г. Intel снова вернулась к старой

схеме, выпустив дешевый процессор 486SX без встроенного

сопроцессора и сопроцессор 487SX к нему. Однако в 1993 г. с

появлением процессоров серии Pentium сопроцессор снова

стал частью процессора, теперь, вероятно, уже навсегда. Ком-

пания Motorola объединила сопроцессор с микропроцессором

68040 в 1990 г. До этого сопроцессоры 68881 и 68882 для мик-

ропроцессоров семейства 68000 продавались отдельно. Встро-

енное оборудование для работы с плавающей точкой имеется

и в процессорах PowerPC.

Аппаратное обеспечение для арифметики с плавающей

точкой — хороший подарок для человека, уставшего програм-

мировать на языке ассемблера. Но его значение меркнет в срав-

нении с другим усовершенствованием, начало которому было

положено в 1950-е годы. Наша следующая остановка — языки

программирования.

жүктеу/скачать 3,29 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: