Н. К. Сейдімбек 1

135
Н.К. Сейдімбек және т.б.
Берілген теңдеуді қанағаттандыратын мән
-
дер жиынтығы теңдеудің шешімдері (немесе 
түбірлері) деп аталады. Тригонометриялық 
теңдеудің шексіз шешімдері болуы мүмкін, олар 
келесідей жіктеледі:
1.
Негізгі шешім: "x" айнымалысы бар 
тригонометриялық теңдеудің шешімдері, олар 
үшін
негізгі шешімдер деп аталады. Мысалы, 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
2
теңдеуінің 
�
0;
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
�
аралығындағы 
шешімін табыңыз
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
1
2 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜋𝜋𝜋𝜋
6 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
 
Жауабы:
�
0;
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
�
аралығындағы берілген 
теңдеудің шешімі 
𝜋𝜋𝜋𝜋
6
-
ға тең. 
𝜋𝜋𝜋𝜋
6
теңдеудің негізгі шешімі.
2.
Жалпы шешім: тригонометриялық тең
-
деудің барлық мүмкін шешімдерінен тұратын 
шешім жалпы шешім деп аталады. Мысалы, 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−√
3
теңдеуінің шешімін табыңыз. 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−√
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡√
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
𝜋𝜋𝜋𝜋
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
 
 
Жауабы:
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
𝜋𝜋𝜋𝜋
3
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
 
−
𝜋𝜋𝜋𝜋
3
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
теңдеудің жалпы шешімі.
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің 
әртүрлі әдістері 
Тригонометриялық теңдеуді шешу екі ке
-
зеңнен тұрады: қарапайым форманы алу үшін 
теңдеуді түрлендіру және алынған қарапайым 
тригонометриялық теңдеуді шешу. Тригономет
-
риялық теңдеулерді шешудің он негізгі әдісі бар.
1)
Формула арқылы қарапайым
түрге 
келтірілетін тригонометриялық теңдеулер
2)
Рационал қарапайым тригонометриялық 
теңдеулер
3)
Жаңа айнымалы енгізу тәсілімен 
шығатын тригонометриялық теңдеулер
4)
Көбейткіштерге 
жіктеу 
тәсілімен 
шығатын тригонометриялық теңдеулер
5)
Дәрежені төмендету арқылы
шығатын 
тригонометриялық теңдеулер
6)
Біртектес тригонометриялық теңдеулер
7)
Қосындыны
көбейті түріне келтіру 
арқылы шығатын тригонометриялық теңдеулер
8)
Қосымша
бұрыш енгізу арқылы 
шығатын тригонометриялық теңдеулер
9)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜑𝜑𝜑𝜑
2
=
𝑡𝑡𝑡𝑡
жаңа айнымалысын енгізу тәсілі
арқылы шығатын тригонометриялық теңдеулер
10)
Әр
түрлі тәсілдермен шығатын 
тригонометриялық теңдеулер
 
Зерттеу нәтижелері мен талқылау
 
 
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің 
әртүрлі
әдістерін атап өттік. Енді әр әдіске 
есептер қарастырып өтер болсақ: 
1.
 
Формула арқылы қарапайым түрге 
келтірілетін тригонометриялық теңдеулер 
(
Шыныбеков, 2019: 72) [7].
Есеп 1.
4𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡3𝑥𝑥𝑥𝑥
2−2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
3𝑥𝑥𝑥𝑥
=
1
√3
теңдеуін шешейік. 
Шешуі.
Бөлшектің бөлімінен ортақ мүшені 
жақша сыртына шығарамыз
4
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
2(1
− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
) =
1
√
3
Теңдеудің сол жағын 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
=
2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
1−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝑡𝑡𝑡𝑡
өрнегіне 
келтіреміз
 
2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
1
− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
√
3
Қарапайым
тригонометриялық теңдеуді 
шығарамыз
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
6
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
√
3
6
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
1
√
3
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
6
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
6 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
36 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
6 ,
𝑠𝑠𝑠𝑠 ∈ 𝑛𝑛𝑛𝑛
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
36
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑛𝑛𝑛𝑛
6
,
𝑠𝑠𝑠𝑠 ∈ 𝑛𝑛𝑛𝑛
.
2.
 
Рационал қарапайым тригонометрия
-
лық теңдеулер
 
Есеп 2
. 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥
√2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥−1
= 0
 
теңдеуін шешейік. 
Шешуі. 
Алдымен бөлшектің алымын шы
-
ғарып
аламыз

136
Мектеп математика курсында тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қолдану
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
Бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмай
-
тындықтан, тең емес нөлге деп шығарамыз
√
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1
≠
0
√
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ≠
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ≠
1
√
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 ≠
(
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
1
√
2
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
𝑠𝑠𝑠𝑠 ≠
(
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜋𝜋𝜋𝜋
4 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
.
3.
 
Жаңа айнымалы енгізу тәсілімен шыға
-
тын тригонометриялық теңдеулер
 
Есеп 3. 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
2 = 0
 
теңдеуін 
шешейік. (Пак, 2019: 145) [8].
Шешуі. 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 1
 
өрнегінен
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
 
мәнін тауып аламыз
 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
(1
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
)
−
2 = 0
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
3 = 0
Жаңа айнымалы енгіземіз: 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎
2
+ 2
𝑎𝑎𝑎𝑎 −
3 = 0
Квадраттық теңдеуді шешеміз
𝐷𝐷𝐷𝐷
= 4
−
4
∙
(
−
3) = 16
𝑎𝑎𝑎𝑎
=
−
2 ±
√
16
2
=
−
2 ± 4
2
 
𝑎𝑎𝑎𝑎
1
= 1
, 
𝑎𝑎𝑎𝑎
2
=
−
3
 
Квадраттық теңдеудің мәнін 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎
орнына қойып теңдеудің мәнін табамыз
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 1
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2 + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
3
 
∅
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
+ 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
.
4.
 
Көбейткіштерге жіктеу тәсілімен 
шығатын тригонометриялық теңдеулер
 
Есеп 4. 
(
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠 −
3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 3 = 0
 
тең
-
деуін шешейік. 
Шешуі.
3 санын ортақ көбейткіш ретінде 
жақша сыртына шығарамыз
(
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠 −
3(
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1) = 0
Сосын 
sinx
−
1
өрнегін ортақ көбейткіш 
ретінде жақша сыртына шығарамыз
(
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1)(
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠 −
3) = 0
Әр
өрнекті жеке 
-
жеке нөлге теңестіріп 
шығарамыз
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1 = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 1
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
+ 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠 −
3 = 0
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
= 3
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
Жауабы: 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
+ 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
; 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
.
5.
 
Дәрежені төмендету арқылы шығатын 
тригонометриялық теңдеулер 
 
Есеп 5. 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
3
2
 
теңдеуін шешейік. 
Шешуі. 
Теңдеудің екі жағында екіге бөліп 
жібереміз
 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
3
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
өрнегін
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
=
1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑡𝑡𝑡𝑡
2
 
өрнегіне
теңестіріп аламыз

 
1
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
=
3
4
Ұқсас
мүшелерді біріктіріп, қарапайым 
тригонометриялық теңдеудің мәнін табамыз
1
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
3
2
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
3
2
−
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
1
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= ± arccos
�−
1
2
�
+ 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= ±(
π −
𝜋𝜋𝜋𝜋
3) + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 

137
Н.К. Сейдімбек және т.б.
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= ±
2
𝜋𝜋𝜋𝜋
3 + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
= ±
𝜋𝜋𝜋𝜋
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
= ±
𝜋𝜋𝜋𝜋
3
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
.
6.
 
Біртектес тригонометриялық тең
-
деулер
 
Есеп 
6. 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
 
теңдеуін шешейік. 
Шешуі. 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
= 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼
 
мәнін орнына 
қойып, теңдеудің екі жағында 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
-
ке бөлеміз
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0|÷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
Сонда берілген теңдеуге мәндес 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
4
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 3 = 0
теңдеуін аламыз. 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
-
ті 
𝑎𝑎𝑎𝑎
арқылы 
өрнектесек, 
𝑎𝑎𝑎𝑎
2
−
4
𝑎𝑎𝑎𝑎
+ 3 = 0
алгебралық теңдеуі 
шығады
𝐷𝐷𝐷𝐷
= 16
−
4
∙
3 = 4
𝑎𝑎𝑎𝑎
=
4 ±
√
4
2
=
4 ± 2
2
Соңғы теңдеудің шешімі
 
𝑎𝑎𝑎𝑎
1
= 3
, 
𝑎𝑎𝑎𝑎
2
= 1
 
сандары болады. 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
=
а
алмастыруын 
қолданып, 
𝑠𝑠𝑠𝑠
-
тің мәндерін табамыз: 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
= 3
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠
= 1
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
4 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
; 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
.
 
7.
 
Қосындыны
 
көбейтінді немесе көбей
-
тіндіні қосынды түріне келтіру арқылы шыға
-
тын тригонометриялық теңдеулер 
(
Шарыгин 
1995,93) [9].
 
Есеп 7. 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
 
теңдеуін 
шешейік. 
Шешуі. 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐
=
−
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑡𝑡𝑡𝑡+𝛽𝛽𝛽𝛽
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑡𝑡𝑡𝑡−𝛽𝛽𝛽𝛽
2
 
формуласын қолданып түрлендіреміз
(
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
3
𝑠𝑠𝑠𝑠
) +
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
Ортақ көбейткішті жақша сыртына шы
-
ғарған
соң, көбейтткіштерді нөлге теңестіріп 
теңдеуді шешеміз
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
(2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 1) = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 0
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
2 ,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 1 = 0
 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
1
2
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛+1
𝜋𝜋𝜋𝜋
6 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛+1 𝜋𝜋𝜋𝜋
6
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
.
 
8.
 
Қосымша
 
бұрыш енгізу арқылы шыға
-
тын тригонометриялық теңдеулер
 
Есеп 8. 
√
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
√
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
√
2
 
теңдеуін 
шешейік. 
Шешуі. 
𝑎𝑎𝑎𝑎
√𝑎𝑎𝑎𝑎
2
+𝑏𝑏𝑏𝑏
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑏𝑏𝑏𝑏
√𝑎𝑎𝑎𝑎
2
+𝑏𝑏𝑏𝑏
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑐𝑐𝑐𝑐
√𝑎𝑎𝑎𝑎
2
+𝑏𝑏𝑏𝑏
2
 
формуласын қолдана отырып, берілген теңдеуді 
екіге бөлу керектігін анықтаймыз. 
√
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
√
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
√
2|÷ 2
√
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
√
2
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
√
2
2
Сонда пайда болған теңдеуді 
sin(
𝛼𝛼𝛼𝛼
+
𝑐𝑐𝑐𝑐
) =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐
формуласы 
арқылы 
өрнектейміз және қарапайым тригонометриялық 
теңдеудің мәнін табамыз
 
sin
�
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝜋𝜋𝜋𝜋
4
�
=
√
2
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝜋𝜋𝜋𝜋
4 =
(
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜋𝜋𝜋𝜋
4 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜋𝜋𝜋𝜋
4
−
𝜋𝜋𝜋𝜋
4 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜋𝜋𝜋𝜋
8
−
𝜋𝜋𝜋𝜋
8 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
2 ,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
Жауабы: 
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
−
1)
𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜋𝜋𝜋𝜋
8
−
𝜋𝜋𝜋𝜋
8
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑛𝑛𝑛𝑛
2
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
. 
9.
 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜑𝜑𝜑𝜑
2
=
𝑡𝑡𝑡𝑡
 
жаңа айнымалысын енгізу 
тәсілі арқылы шығатын тригонометриялық 
теңдеулер
 
Есеп 9. 
3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 4
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
= 3
 
теңдеуін 
шешейік. 

138
Мектеп математика курсында тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қолдану
Шешуі. 
Қос
бұрыштар формуласы арқылы 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼
= 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
; 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2 𝑡𝑡𝑡𝑡
2
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2 𝑡𝑡𝑡𝑡
2
және 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
= 1
формуласы 
арқылы 
өрнектейміз
: 
 
6
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 + 4
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
−
 
−
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 = 3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 + 3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
6
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥𝑥𝑥
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥𝑥𝑥
2
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2 𝑥𝑥𝑥𝑥
2
−
7
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2 𝑥𝑥𝑥𝑥
2
= 0 
теңдеуін 
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2 𝑥𝑥𝑥𝑥
2
-
ке бөліп жібереміз. Сонда 
 
7
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2 𝑥𝑥𝑥𝑥
2
−
6
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑥𝑥
2
−
1 = 0
түріндегі теңдеу шы
-
ғады. 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑥𝑥
2
-
ті 
𝑡𝑡𝑡𝑡
арқылы өрнектейміз:
7
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
−
6
𝑡𝑡𝑡𝑡 −
1 = 0
𝐷𝐷𝐷𝐷
= 36
−
4
∙
7
∙
(
−
1) = 64
 
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
,
2
=
6 ±
√
64
2
∙
7
 
 
Соңғы теңдеудің шешімдері
 
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
= 1
; 
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
=
−
1
7
 
болады.
 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑥𝑥
2
=
𝑡𝑡𝑡𝑡
 
алмастыруын қолданып тең
-
деудің шешімдерін табамыз
 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 = 1
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 =
𝜋𝜋𝜋𝜋
4 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2 + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 =
−
1
7
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
2 =
−𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
1
7 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
2
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
1
7 + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
 
Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
2
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
1
7
+
2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
;
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
2
+ 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
,
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
10.
 
Әр
 
түрлі тәсілдермен шығатын триго
-
нометриялық теңдеулер 
(
Гусев 2013, 197) [10]
Есеп 10.
−
5
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
4
𝑠𝑠𝑠𝑠
= 2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 1
теңдеуін 
шешейік. 
Шешуі. 
Қос
бұрыштар формуласы арқылы 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
= 2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼 −
1
және дәрежені төмендету 
формуласы арқылы 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼𝛼𝛼
=
1+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑡𝑡𝑡𝑡
2
өрнектей
-
міз. Сонда 
−
5(2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
1) = 2
�
1 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
2
�
+ 1
теңдеуі шығады. Жақшаны ашып, ұқсас 
мүшелерді біріктіреміз:
−
10
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 5 = 2 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
Теңдеудің оң жақ бөлігіндегі мүшені сол жақ 
бөлігіне көшіреміз және ұқсас мүшелерді 
біріктіреміз:
10
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠 −
3 = 0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
-
ті 
𝑡𝑡𝑡𝑡
арқылы өрнектейміз: 
10
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
+
𝑡𝑡𝑡𝑡 −
3 = 0
𝐷𝐷𝐷𝐷
= 1
−
4
∙
10
∙
(
−
3) = 121
 
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
,
2
=
−
1 ±
√
121
2
∙
10
 
Теңдеудің шешімдері
 
𝑡𝑡𝑡𝑡
1
=
1
2
; 
𝑡𝑡𝑡𝑡
2
=
−
3
5
 
бола
-
ды.
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑡𝑡𝑡𝑡
 
алмастыруын қолданып теңдеудің 
шешімдерін табамыз: 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
2
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
1
2 + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
3 + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
6 +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−
3
5
 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= arccos
�−
3
5
�
+ 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
2
𝑠𝑠𝑠𝑠
= (
𝜋𝜋𝜋𝜋 −
arccos
3
5) + 2
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
2 (
𝜋𝜋𝜋𝜋 −
arccos
3
5) +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
 
Жауабы: 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
𝜋𝜋𝜋𝜋
6
+
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
; 
𝑠𝑠𝑠𝑠
=
1
2
(
𝜋𝜋𝜋𝜋 −
arccos
3
5
) +
𝜋𝜋𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠
 
 

жүктеу/скачать 0,57 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: