Н. В. Куцубина системный анализ при принятии решений

120 
Тогда 
30
≥
,
где 
β
≤ 1,0 – коэффициент, учитывающий влияние на низшую собственную 
частоту колебаний вала 
ω
01
(по первой форме колебаний) 
упругой податливости цапф, опор; 
α
= 0,7 – коэффициент, учитывающий максимально возможное при-
ближение частоты вращения вала к его низшей собственной 
частоте колебаний 
ω
0
, определяемой как балки на шарнирной 
опоре по формуле 
=
,
откуда 
30
+
≥
.
(4.27)
 
Технологические ограничения на минимальную толщину стенки ру-
башки вала: 
δ
≥ 

δ

;
для сплошного вала δ = d
Н
/ 2, следовательно 
δ ≤ d
ср
,
≥
≥ [ ]. (4.28)
Наружный диаметр рубашки вала ограничивается неравенствами: 
d
H
min 
≤ 
d
H
≤ 
d
H
max
. 
Следовательно, 
≤
+
≤
. (4.29)
Итак, задача оптимизации представляется нелинейной целевой функ-
цией (4.24), ограничениями (4.25; 4.26; 4.27) и пределами (4.28) и (4.29).
Из целевой функции (4.24) вытекает: минимизация массы рубашки 
вала обеспечивается на минимально допустимых значениях среднего диа-
метра 
d
ср
и толщины стенки 
δ
. Оптимальное соотношение между 
d
ср
и 
δ
может быть определено из функции ограничений. Из ограничения (4.25) 
вытекает, что минимальные значения 
d
ср
и 
δ
обеспечиваются при макси-
мально допустимом значении нормального напряжения 
σ
= [
σ
]. При этом 
условии ограничение (4.25) представляется в виде функции
=
+
− 1, (4.30)
где 
=
[ ]
−
2
;
=
[ ]
−
2
.
Электронный
архив
УГЛТУ

121 
Из ограничения (4.25) следует, что минимальные значения 
d
ср
и 
δ
будут при максимально возможном относительном прогибе рубашки

≤ [

]. Уравнение (4.26) представляется в виде функции
=
+
− 1, (4.31)
где 
=
[

]48
(12 − 7 );
=
[

] 48
(12 − 7 ).
Ограничение (4.27) свидетельствует, что 
d
ср
и 
δ
уменьшаются с по-
нижением скорости машины 
V
M
. Но при проектировании вала нужно 
обеспечить работу машины на максимальной скорости 
V
M
 = V
max
. Ограни-
чение (4.27) в виде функции будет иметь вид
=
+
− 1, (4.32)
где 
=
30
8
.
Таким образом, неравенства (4.25), (4.26), (4.27) преобразованы в
равенства (4.30), (4.31), (4.32).
Определение оптимальных значений 
d
ср
и 
δ 
могло быть проведено, 
например, по методу Лагранжа. Функция Лагранжа в этом случае приняла 
бы вид
=
+
+
− 1 +
+
− 1 +
+ (
(
+
))
,
где 
λ
1, 2, 3
– множители Лагранжа. 
Минимум функции нашелся бы из системы алгебраических уравне-
ний, образованных частными производными функции Лагранжа по каждой 
переменной 
но применение метода последовательной частной оптимизации упрощает 
решение задачи. Анализ функций (4.29), (4.30), (4.31) показывает, что 
функции 
λ
1
, 
λ
2
уменьшаются, а функция 
λ
3
увеличивается с увеличением 
среднего диаметра рубашки более интенсивно, чем с увеличением толщи-
ны стенки 
δ
. Следовательно, оптимальным является решение при макси-
мально возможном наружном диаметре рубашки вала 
d
H
max
. Подставив в 
функции 
λ
1
, 
λ
2
и 
λ
3
значение среднего диаметра 
d
ср
= d
H
max
– 
δ
, получим 
Электронный
архив
УГЛТУ

122 
следующие формулы для определения толщины стенки по прочности, 
жесткости и виброустойчивости вала: 
(
− )
+
(
− )
− 1 = 0
; 
(
− )
+
(
− )
− 1 = 0; (4.33)
[(
− )
+ (
− )
− 1 = 0
.
Выбирается наибольшее из трех найденных значений δ.
В тех случаях, когда расчетное δ меньше 
δ
min
по всем трем критериям 
в функции (4.30), (4.31) и (4.32), подставленной 
δ
min 
= 
δ
, находят по всем 
трем критериям 
d
ср
. Для реализации применяется максимальное из трех 
значений
. 
В заключение отметим, что оптимизация – ключевое направление 
системного анализа при принятии технических и управленческих решений. 
В разделе приведены лишь общие сведения по оптимизации решений. По 
математическому аппарату оптимизации, методам линейного программи-
рования имеются обширные исследования и публикации, в которых можно 
при необходимости найти теорию и практические рекомендации по реше-
нию конкретных технических и управленческих задач посредством опти-
мизации. 

жүктеу/скачать 6,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: