Взаимное положение двух плоскостей

 

29 

Рис. 6 

Рис. 7 

Плоскости пересекаются 

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо 

 

или  найти  две  точки,  каждая  из  которых  принадлежит  обеим 

плоскостям; 

 

или  найти  одну  точку,  принадлежащей  двум  плоскостям,  и  на-

правление линии пересечения. 

В  обоих  случаях  задача  заключается  в  нахождении  точек,  общих 

для двух плоскостей. 

Плоскости  в  пространстве  могут  занимать  различное  положение. 

рассмотрим три случая построения линии их пересечения. 

 

1. Линия пересечения двух проецирующих плоскостей 

Если  плоскости  занимают  частное  положе-

ние,  например,  как на  рис.  8,  являются  горизон-

тально-проецирующими,  то  проекцией  линии 

пересечения  на  плоскость  проекций,  которой 

данные  плоскости  перпендикулярны  (в  данном 

случае горизонтальной), будет точка. Фронталь-

ная  проекция  линии  пересечения  перпендику-

лярна оси проекций. 

 

 

 

Рис. 8 

 

2.  Линия  пересечения  плоскости  общего  положения  и  проецирую-

щей плоскости 

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с про-

екцией  проецирующей  плоскости  на  той  плоскости  проекций,  которой 

 

30 

она  перпендикулярна.  На  рис.  9  по-

казано  построение  проекций  линии 

пересечения 

горизонтально-

проецирующей  плоскости,  заданной 

следами,  c  плоскостью  общего  по-

ложения (треугольник ABC). 

На  горизонтальной  проекции 

(рис. 9) в пересечении следа плоско-

сти  P

Н

 

и  сторон  АС  и  ВС  треуголь-

ника  АВС  находим  горизонтальные 

проекции  n  и  m  линии  пересечения. 

По  линиям  связи  находим  фрон-

тальные  проекции  точек  M  и  N  ли-

нии пересечения. 

При  взгляде  по  стрелке  на 

плоскость V по горизонтальной про-

екции видно, что часть треугольника правее линии пересечения MN (mn) 

находится  перед  плоскостью  P,  то  есть  будет  видимой  на  фронтальной 

плоскости  проекций.  Остальная  часть    за  плоскостью  P,  то  есть  неви-

дима. 

Линия пересечения двух плоскостей общего положения 

Построение  линии  пересечения  двух  плоскостей  общего  положе-

ния  осуществляется  с  помощью  дополнительных  плоскостей-

посредников. 

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей за-

ключается  в  следующем.  Вводим  вспомогательную  плоскость  (посред-

ник)  и  строим  линии  пересечения  вспомогательной  плоскости  с  двумя 

заданными.  В  пересечении  построенных  линий  находим  общую  точку 

двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построе-

ние с помощью еще одной вспомогательной плоскости. 

Соединяем  полу-

ченные  точки  М  и  N  и 

определяем  взаимную 

видимость фигур. 

Рис. 9 

)

34

(

)

12

(

)

(

)

34

(

)

12

(

M

EFK

Q

ABC

Q

)

78

(

)

56

(

)

(

)

78

(

)

56

(

N

EFK

P

ABC

P

Рис. 10 

 

31 

При  решении  подобных  задач  удобнее  в  качестве  посредников 

применять проецирующие плоскости. 

Задача. Построить линию пересечения двух плоских фигур, задан-

ных треугольниками с координатами вершин: 

На  рис.  11  дано  построение  линии  пересечения  двух  треугольни-

ков.  Решение  выполняем  в  следующей  последовательности.  Проводим 

две  вспомогательные  горизонтально-проецирующие  плоскости    плос-

кость P через сторону ED и плоскость Q через сторону DF треугольника 

DEF. Плоскость P пересекает треугольник ABC по прямой 1-2. В пересе-

чении  фронтальных  проекций  1 -2   и  d e   находим  фронтальную  проек-

цию точки M(m ) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треуголь-

ник  ABC  по  прямой  3-4.  В  пересечении  фронтальных  проекций  3 -4   и 

b c  находим фронтальную проекцию точки N(n ) линии пересечения. Го-

ризонтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересече-

ния, находим, проводя линии связи. 

Соединяем  точки  M  и  N.  Взаимную  видимость  треугольников  на 

плоскостях проекций определяем с помощью конкурирующих точек. 

 

Рис. 11 

 

 

 

 

)

3

,

4

,

1

(

 

),

7

,

9

,

10

(

 

,

)

0

,

2

,

16

(

 

-

 

C

B

A

ABC

)

9

,

1

,

9

(

 

,

)

5

,

1

,

16

(

 

,

)

0

,

9

,

5

(

 

-

 

F

E

D

DEF

)

(

)

12

(

)

.(

3

)

12

.(

2

)

.(

1

ED

M

ABC

P

H

P

ED

)

(

)

34

(

)

.(

6

)

34

.(

5

)

.(

4

FD

N

ABC

Q

H

Q

FD

 

32 

Лекция 5. Поверхности 

жүктеу/скачать 1,88 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: