Начертательная геометрия

 

40 

Рис. 2 

сти,  будут  расположены  на  окружности,  в  которую  спроецируется  ци-

линдр на горизонтальную плоскость Н (рис. 2). 

Задача. Найти недостающие проекции точек M и K (рис. 2). 

Для того, чтобы найти горизонтальную проек-

цию  точки  М,  проведем  линию  связи  от  фронталь-

ной  проекции  М(m )  до  пересечения  с  горизонталь-

ной  проекцией  цилиндра  (окружностью).  Задача 

имеет два ответа: точки m

1 

и m

2

. 

Однозначно определить положение фронталь-

ной  проекции  точки  К  по  одной  только  горизон-

тальной  проекции  k  невозможно.  По  линии  связи, 

проведенной от горизонтальной проекции этой точ-

ки,  на  поверхности  цилиндра  может  находиться 

бесчисленное множество точек. В этом случае необходима дополнитель-

ная информация о положении точки К. 

При  пересечении  цилиндра  вращения  плоскостью,  параллельной 

оси вращения, в сечении получаются две прямые – образующие (рис. 3). 

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в резуль-

тате сечения получится окружность (рис. 4). 

В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси враще-

ния цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 5). 

Рис. 3 

Рис. 4 

Рис. 5 

 

(l, II) 

M (m ) 

K(k) 

m (m

1

 , m

2

 ) – ? 

k  (k

1

 , k

2

 ) – ? 

 

41 

 

Сечение цилиндра плоскостью 

В  общем  случае  построение 

линии  пересечения  поверхности 

плоскостью  заключается  в  нахож-

дении общих точек, то есть точек, 

принадлежащих  одновременно  се-

кущей плоскости и поверхности. 

Для  нахождения  этих  точек 

применяют  способ  дополнитель-

ных секущих плоскостей: 

1. Проводят  дополнительную 

плоскость. 

2. Строят  линии  пересечения  дополнительной  плоскости  с  поверх-

ностью и дополнительной плоскости с заданной плоскостью. 

3. Определяют точки пересечения полученных линий. 

Дополнительные  плоскости  проводят  таким  образом,  чтобы  они 

пересекали поверхность по наиболее простым линиям. 

Нахождение точек линии пересечения начинают с определения ха-

рактерных (опорных) точек. К ним относятся 

 

верхние и нижние, левая и правая и точки границы видимости; 

 

точки,  характеризующие  данную  линию  пересечения  (для  эл-

липса   точки большой и малой осей). 

Для более точного построения линии пересечения необходимо по-

строить еще и дополнительные (промежуточные) точки. 

Прямой круговой конус 

Сечение конуса плоскостью 

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении кону-

са вращения могут получиться различные линии. 

 

Рис. 6 

Рис. 7 

 

42 

 

Если  секущая  плоскость  проходит  через  вершину  конуса,  в  его 

сечении получается две прямые   образующие (треугольник) (рис. 8, а). 

 

В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной 

оси конуса, получается окружность (рис. 8, б). 

Если  секущая  плоскость  наклонена  к  оси  вращения  конуса  и  не 

проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, 

парабола или гипербола (рис. 8, в, г, д) – в зависимости от величины угла 

наклона секущей плоскости. 

 

Эллипс  получается в  том  случае,  когда  угол    наклона  секущей 

плоскости меньше угла наклона   образующих конуса к его основанию 

(0

    ), т.е. когда плоскость пересекает все образующие данного кону-

са (рис. 8, в). 

 

Если углы   и   равны (то есть секущая плоскость параллельна 

одной  из  образующих  конуса),  в  сечении  получается  парабола 

 (рис. 8, г). 

 

Если секущая плоскость направлена под углом, который изменя-

ется  в  пределах  90      ,  то  в  сечении получается  гипербола.  В  этом 

случае  секущая  плоскость  параллельна  двум  образующим  конуса.  Ги-

пербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двухполостная 

(рис. 8, д). 

а 

б 

в 

г 

д 

Рис. 8 

 

 

 

 

 

 

 

43 

SN

A

)

(

SM

A

)

(

Точка на конусе 

Для  конуса  наиболее  простыми  линиями 

являются прямые (образующие) и окружности. 

Горизонтальную проекцию точки  A найдем 

с помощью образующей. Проведем через точку A 

и  вершину  конуса  S  вспомогательную  фронталь-

но-проецирующую  плоскость  P(P

V

).  Она  пересе-

кает конус по двум образующим SM и SN. Их фрон-

тальные  проекции  совпадают.  Строим  горизон-

тальные  проекции  образующих.  Затем  проводим 

через  точку  a   линию  связи.  На  пересечении  ли-

нии  связи  и  горизонтальных  проекций  образую-

щих определим горизонтальную проекцию точки. 

Задача имеет два ответа: точки a

1 

и a

2 

(рис. 9). 

или 

Горизонтальную проекцию точки B найдем, 

построив окружность, на которой она лежит. Для 

этого  через  точку  проведем  горизонтальную 

плоскость T(T

V

),  которая  пересекает  конус  по  ок-

ружности радиуса r. 

 

Строим  горизонтальную  проекцию  этой  окружности.  Через  точку 

b  проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Задача также 

имеет два ответа   точки b

1

 и b

2

. 

жүктеу/скачать 1,88 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: