Определяем положение главных центральных осей инерции u и v
Угол наклона главных центральных осей u и v к центральным осям и соответственно определяем из следующей формулы:
.
Отсюда находим, что и .
Откладываем положительное значение угла от оси против хода часовой стрелки и проводим главные центральные оси u и v (см. рис. 8).
Ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет меньший угол с той из центральных осей или , относительно которой осевой момент больше. Поскольку см4 больше, чем см4, ось u является осью относительно которой момент инерции сечения максимален, то есть ось u – ось max. Соответственно, ось v является осью min.
Вычисляем значения главных центральных моментов инерции и для заданного поперечного сечения
Значения главных центральных моментов инерции всей фигуры определяются по формуле
.
Тогда
см4;
см4; см4.
Контролем правильности последних вычислений может служить следующее условие:
.
Имеем
, .
Условие задачи для самостоятельного решения по теме "геометрические характеристики плоских сечений"
Для заданного поперечного сечения стержня (рис. 9), состоящего из двух прокатных профилей и полосы, требуется найти положение центра тяжести сечения, направление главных центральных осей инерции u и v, а также вычислить главные центральные моменты инерции и . Данные взять из сортамента двутавров, уголков и швеллеров.
Варианты расчетных схем к задаче "геометрические характеристики плоских сечений" для самостоятельного решения
Рис.10 Расчетные схемы
Таблица 8 - Варианты исходных данных к задаче для самостоятельного решения
Номер схемы (рис. 10)
|
Номер
швеллера
|
Номер
двутавра
|
Размеры
уголка
|
Толщина
листа, мм
|
1
|
24
|
12
|
100×100×8
|
12
|
2
|
22
|
14
|
100×100×10
|
12
|
3
|
20
|
16
|
100×100×12
|
12
|
4
|
18
|
18
|
100×100×8
|
14
|
5
|
16
|
20
|
100×100×10
|
14
|
6
|
14
|
22
|
100×100×12
|
14
|
7
|
12
|
24
|
100×100×8
|
16
|
8
|
24
|
22
|
100×100×10
|
16
|
9
|
22
|
20
|
100×100×12
|
16
|
0
|
20
|
18
|
100×100×8
|
10
|
Условия и варианты заданий к выполнению РГР № 6
«Напряженное состояние в точке тела»
Условие задачи
Дано кН/см2, кН/см2, кН/см2 (рис. 11, а). Найти главные напряжения , направления главных площадок и максимальное касательное напряжение .
Расчетная схема
Рис.11 Расчетная схема
Решение примера задачи на напряженное состояние в точке тела
Напомним правила знаков для нормальных и касательных напряжений.
Нормальное напряжение, соответствующее растяжению, считается положительным, а сжатию – отрицательным.
Касательное напряжение считается положительным, если одновременно выполняются (или одновременно не выполняются) следующие два условия:
направление напряжения совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси;
внешняя нормаль к площадке, на которой оно возникает, направлена в ту же сторону, что и другая, соответствующая, координатная ось.
Определяем главные напряжения, возникающие на трех главных площадках, проходящих через рассматриваемую точку твердого тела
Для плоского напряженного состояния одно из главных напряжений, возникающее на площадке с нормалью x, равно нулю.
Вычисляем значения двух других главных напряжений:
кН/см2;
кН/см2.
Учитывая, что , окончательно имеем:
кН/см2, , кН/см2.
Делаем проверку ( ):
или , то есть верно.
Находим положение главных площадок
Углы и , определяющие положение двух взаимно перпендикулярных площадок, на которых возникают главные напряжения и , определяются из формулы
.
Отсюда: и .
Напомним, что угол считается положительным, если он отсчитывается от оси z против хода часовой стрелки.
Найденные углы (см. рис. 11, б) определяют и направления «действия» главных напряжений и .
Достарыңызбен бөлісу: |
