Операторлар. Операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функциясы

Операторлар. Операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функциясы

ЖОспары:

• Операторлардың меншікті мәндері және меншікті функциялары.
• Спектрі дискретті оператордың меншікті функцияларының қасиеттері.

Кванттық механикада әрбір физикалық шамаға сызықтық, әрі эрмитті оператор сәйкес қойылатыны жөнінде жоғарыда айтылды. Енді осы операторлардың нақты түрлерін анықталық. Координат операторының әсері толқындық функцияны осы координатқа көбейту ретінде анықталады, яғни

• Кванттық механикада әрбір физикалық шамаға сызықтық, әрі эрмитті оператор сәйкес қойылатыны жөнінде жоғарыда айтылды. Енді осы операторлардың нақты түрлерін анықталық. Координат операторының әсері толқындық функцияны осы координатқа көбейту ретінде анықталады, яғни

Ал басқа физикалық шамалардың операторлары сәйкескік принципінің негізінде осы координат пен импульс операторлары арқылы анықталады. Ол үшін қарастырып отырған физикалық шаманың классикалық өрнегін осы координат және импульс арқылы жазады да, оларды сәйкес операторлармен алмастырады. Яғни мынадай өзгертулер жасайды.

• Ал басқа физикалық шамалардың операторлары сәйкескік принципінің негізінде осы координат пен импульс операторлары арқылы анықталады. Ол үшін қарастырып отырған физикалық шаманың классикалық өрнегін осы координат және импульс арқылы жазады да, оларды сәйкес операторлармен алмастырады. Яғни мынадай өзгертулер жасайды.

Егер потенциялдық энергия уақыттан айқын тәуелді болмаса, онда толық энергияның өрнегі классикалық Гамильтон операторы деп аталады. Гамильтон операторы кванттық механикада маңызды роль атқарады. Потенциялдық энергия уақыттан тәуелді болған жағдай үшін де Гамильтон операторы оңай жалпыланады.

• Егер потенциялдық энергия уақыттан айқын тәуелді болмаса, онда толық энергияның өрнегі классикалық Гамильтон операторы деп аталады. Гамильтон операторы кванттық механикада маңызды роль атқарады. Потенциялдық энергия уақыттан тәуелді болған жағдай үшін де Гамильтон операторы оңай жалпыланады.

Кванттық жүйелердің қасиеттерін тәжірибе жүзінде зерттеу барысында қандай да бір физикалық шамалар өлшеніп, нәтижесінде нақтылы сандар алынады. Енді осы сұрақтарға жауап беріп көрелік.

• Кванттық жүйелердің қасиеттерін тәжірибе жүзінде зерттеу барысында қандай да бір физикалық шамалар өлшеніп, нәтижесінде нақтылы сандар алынады. Енді осы сұрақтарға жауап беріп көрелік.
• Ол үшін алдымен ΔҒ = Ғ-Ғ шамасы енгізіледі. Бұл шамаға сәйкес келетін оператор ΔҒ = Ғ-Ғ түрінде анықталады. Мұндагы Ғ-берілеп Ғ шамасының ψ (£, t) толқындық функциясымен сипатталып күйдегі орташа мәпі. Бұл өрнектегі Ғ шамасы заттық сан болғандықтан, егер Ғ әріптті оператор болса, онда ΔF операторы да эрмитті оператор больш табылады. Енді осы Ғ шамасының орташа мәнінен орташа квадраттық ауытқуын, яғни дисперсиясын анықталық. Ол мынағап тең:

Оператордың меншікті мәндерінің жиынын оның, спектрі деп атайды. Егер оператордың меншікті мәндері дискретті болса, онда спектр дискретті, ал ол үздіксіз тұтас. Әр түрлі меншікті мәндерге сәйкес келетін меншікті функцияларды бір-бірінен ажырату үшін ол функцияларды сәйкес меншікті мәндермен мына түрде номірлеп жазады ψ (£, t). Дискретті спектр үшін меншікті функцияларды ғана емес, сонымеи катар меншікті мәндерді де номірлеуге болады, яғни Ғ1, F2, Ғ3. Әдетте дискреті спектрін, меншікті функцияларының ішдексі ретінде сол спектрдің номірін жазады, яғни ψFn = ψn. Мұндағы меншікті мәндері мен меншікті функцияларды анықтайтын п бүтін саны, кванттық сан деп аталады.

• Оператордың меншікті мәндерінің жиынын оның, спектрі деп атайды. Егер оператордың меншікті мәндері дискретті болса, онда спектр дискретті, ал ол үздіксіз тұтас. Әр түрлі меншікті мәндерге сәйкес келетін меншікті функцияларды бір-бірінен ажырату үшін ол функцияларды сәйкес меншікті мәндермен мына түрде номірлеп жазады ψ (£, t). Дискретті спектр үшін меншікті функцияларды ғана емес, сонымеи катар меншікті мәндерді де номірлеуге болады, яғни Ғ1, F2, Ғ3. Әдетте дискреті спектрін, меншікті функцияларының ішдексі ретінде сол спектрдің номірін жазады, яғни ψFn = ψn. Мұндағы меншікті мәндері мен меншікті функцияларды анықтайтын п бүтін саны, кванттық сан деп аталады.