«Функцияның шегі және үзіліссіздігі» тақырыбын оқыту әдістемесі

«Функцияның шегі мен үзіліссіздігі» тақырыбын ойлау қабілеттері дамыған жоғарғы сынып оқушыларына түсіндіргенмен, бұл ұғымдарды ғылыми қалыптастыру ерекше әдістемелік шеберлікті қажет етеді. Функцияның шегі мен үзіліссіздігі ұғымдары абстрактілі. Функцияның үзіліссіздігін оқыту нақты мысалдар қарастырудан басталады.

Үзіліссіз және үзілісі бар әртүрлі функциялардың графиктері көрсетіледі. Функцияның шегі мен үзіліссіздігінің анықтамалары көрнекі графиктік кескіндеудің көмегімен беріледі. Функцияның үзіліссіздігін шектің ұғымын пайдаланбай, одан бұрын беруге болады. Кейде керісінше алдымен шек ұғымы енгізіледі. Әрине, әрбір жағдайдың артықшылығы да кемшілігі де бар. Солай болғанмен үзіліссіздікті функцияның шегінен кейін оқытқан ұтымды болады. Бұл ұғымдарды бір-бірінен ұзақ уақыт алшақтатпай оқытқан жөн. Функцияның шегінің анықтамасын берер алдында оқушылармен бірнеше мысал қарастырылады.

1 м ы с а л. f (х) = х функциясын х = 3 нүктесінің аймағында (3- ,3+ ) қарастырайық. Бұл функция барлық сандар осінде анықталған. Таблица құрамыз:

Егер алдын ала берілген   0 саны үшін   0 саны табылып, функцияның анықталу облысындағы х тің а - дан ерекше барлық мәндері үшін |х - a|   болғанда |f(х) - А|   теңсіздігі орындалса, А саны х а - ға ұмтылғандағы f(х) функциясының шегі деп аталады да былай жазылады:

Бұл анықтамада f(х) функциясының а нүктесінде анықталған болуы талап етілмейді. f(х) функция ха ұмтылғанда шекке ұмтылу үшін оның анықталу облысында а - ға жақын, а - дан ерекше нүктелер болу қажет.

Функцияның шегін есептеуден бұрын, функцияның шегі теориясының негізгі мағлұматтарына тоқталайық. Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен функциялар.

1. Егер теңдігі орындалса, f(х) функциясы ха ұмтылғанда ақырсыз кішкене функция деп аталады.

2. Егер ; тендіктерінің бірі орындалса, f(х) функциясы х а ұмтылғанда ақырсыз үлкен функция деп аталады.

3. Егер а санының аймағындағы х- тің барлық мәндері үшін А оң саны табылып, /f(х)/  А теңсіздігі орындалса f(х) функциясы х а ұмтылғанда шектелген деп аталады.

2. Функцияның үзіліссіздігі.

Х облысында анықталған х₀х нүктесі жинақталу нүктесі болатын у=f(х) функциясын қарастырайық.

1. Анықтама: у= f(х) функциясы х=х₀ нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер ол төмендегі үш шартты қанағаттандыратын болса: 1) у = f(х) функциясы нүктесінде анықталған.

2) у = f(х) функциясы ақырлы шегі бар. 3 Егер осы үш шарттың біреуі орындалмаса, у  f(х) функциясы нүктесінде үзілісі бар деп атайды.

2. Анықтама: Егер кезкелген    саны үшін,    саны табылып,   болғанда барлық х-тер үшін   теңсіздігі орындалатын болса, онда f(х) функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.