Қабылданған кодтық комбинация

380
белгіленген жүйе бойынша орналасатын жəне кодтық комбина-
цияларда əрқашанда қатаң белгіленген орынға ие болатын кодтар. 
Жүйелік кодтар бірқалыпты кодтар болып саналады жəне берілген 
түзетушілік қабілеттерімен бүкіл комбинациялар бірдей ұзындыққа 
ие болады. Топтық кодтар сондай-ақ жүйелік топтық бола алмай-
ды. Травиальді жүйелік кодтар, туындатушы матрица негізінде, 
топтық сияқты құрылуы мүмкін. Əдетте туындатушы матрица, 
рангі ақпараттық разрядтар санымен жəне бағаналар саны кодтың 
бақылау разрядтарының санымен анықталатын қосымша саны-
мен анықталатын бірлік матрица көмегімен құрылады. Қосымша 
матрицаның əрбір жолы аз дегенде d
0
-1 бірліктен тұруы, ал кез кел-
ген жолдар үшін модуль бойынша жиыны аз дегенде d
0
-2 бірлік бо-
луы тиіс (мұндағы d
0
-ең аз кодтық қашықтық). Туындатушы матри-
ца, барлық мүмкін тіркестерде туындатушы матрица жолдары үшін 
модуль бойынша қосындылаумен бүкіл қалған кодтық комбинация-
ларды табуға мүмкіндік береді.
Хэмминг коды жүйелік кодтың типтік мысалы болып саналады. 
Бірақ оны құру кезінде əдетте матрицаларға жүгірмейді. Кодтың 
негізгі параметрлерін есептеу үшін, я ақпараттық символдар саны, 
я 
k
n
2
N
=
  ақпараттық комбинациялар саны беріледі. (192) жəне 
(193) көмегімен n
A
 жəне n
K
  есептеледі. Хэмминг үшін n,  n
A
 жəне 
n
K
 арасындағы арақатынас 8-қосымшаның 1-кестесінде берілген. 
Түзетуші кодтың негізгі параметрлерін біле отырып, дабылдардың 
қандай позициялары жұмысшы, қандай позициялары бақылаушы бо-
латынын анықтайды. Тəжірибе көрсеткендей, бақылау символының 
нөмірлерін 2
i
 заңы бойынша таңдаған ыңғайлы болады, мұндағы i=0, 
1, 2 жəне т.б. – сандардың натурал қатары. Осы жағдайдағы бақылау 
символдарының нөмірі тиісінше: 1, 2, 4, 8, 16, 32 жəне т.б. болады. 
Содан кейін: бақылау позицияларындағы бірліктер жиыны жұп 
болуы тиіс ережесін басшылыққа алып, бақылау коэффициенттері 
(0 немесе 1) анықталады. Егер бұл қосынды жұп болса, онда бақылау 
коэффициентінің мəні – 0, оған керек жағдайда – 1.
Тексерілетін позициялар мына түрде таңдалады: натурал сандар 
қатары үшін екілік кодта кесте құрылады. Кесте жолдарының саны: 
n = n
A
 + n
K
.
Бірінші жолға a
1
 тексерілетін коэффициент, екінші жолға a
2
 жəне 
т.б. сəйкес келеді. Содан кейін, коэффициенттерді мына қағидат 
бойынша жазып, тексерілетін позициялар анықталады: бірінші 

381
 
тексеруге, 1 кіші разрядтағы коэффициенттер кіреді, яғни a
1
,  a
3
, 
a
5
,  a
7
,  a
9
,  a
11
 жəне т.б. екіншіге – екінші разрядтағы 1-ден тұратын 
коэффициенттер, яғни a
2
, a
3
, a
5
, a
7
, a
10
, a
11
 жəне т.б.; үшінші тексе-
руге – үшінші разрядтағы 1-ден тұратын, коэффициенттер кіреді. 
Тексерілетін коэффициенттердің нөмірлері тексерілетін позициялар 
нөмірлеріне сəйкес келеді жəне бұл тексерулердің жалпы кестесін 
жасауға мүмкіндік береді. Разрядтардың үлкеюі солдан оңға қарай 
саналады, ал тексеру кезінде жоғарыдан төменге қарай саналады. 
Тексеру тəртібі, сондай-ақ алынған екілік кодта разрядтар алуда раз-
рядтарды қолдану тəртібін көрсетеді.
Егер қабылданған кодта қате болса, онда бақылау позицияла-
ры бойынша тексерулер нəтижелері, қате позициялардың нөмірін 
көрсететін екілік санды құрайды. Қате позициялар символын кері 
позициямен алмастырып, қатені түзетеді. 
Бір қатені түзету жəне екілік қатені анықтау үшін, бақылау пози-
циялары бойынша тексерулерден өзге, əрбір код үшін жұптылыққа 
тағы бір тексеру жүргізу көзделеді. Осындай тексеруді жүзеге 
асыру үшін, əрбір кодқа кодтық комбинациялардың соңынан, 
алынған комбинациялардағы бірліктер жиыны əрқашанда жұп 
болатындай бақылау символын қосу керек болады. Сол уақытта 
позициялар бойынша тексерудегі жалғыз қате қателердің бар 
екенін растайды. Егер позицияларды тексеру қателердің бар 
екенін көрсетсе, онда жұптылыққа тескеру қателерді тіркемейді, 
яғни кодта екі қате бар.
Код комбинацияларының ондағы бөлігі, я бүкіл комбинациялары 
бір немесе бірнеше комбинация кодын циклдік жылжыту жолымен 
алынатындығынан,  циклдік кодтар деп аталған. Циклдік жылжы-
ту оңнан солға қарай жүзеге асырылады, əрі шекті сол жақ символ 
əрбір ретте комбинациялардың соңына ауыстырылады. Циклдік 
кодтар, тəжірибеде, барлығы жүйелік кодтарға жатады, ондағы 
бақылау жəне ақпараттық разрядтары қатаң белгіленген орындар-
да орналасқан. Бұдан өзге, циклдік кодтар блоктық кодтарға жата-
ды. Əрбір блок (бір əріп блоктың жеке жағдайы болып саналады) 
өздігінен кодталады. 
Циклдік кодтар құру идеясы екілік сандар өрісінде келтірілмейтін 
көпмүшелерді пайдалануға негізделеді. Жай сандар өзге сандардың 
көбейтіндісімен көбейтіле алмайтын, сондай өрістердегі коэффици-
енттермен төмен дəрежелердегі көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде 

382
көрсетілуі мүмкін емес көпмүшелер келтірілмейтін деп аталады. 
Басқаша айтсақ, келтірілмейтін көпмүшелер қалдықсыз өзіне ғана 
немесе бірлікке бөлінеді. 
Келтірілмейтін көпмүшелер циклдік кодтар теориясында 
көпмүшелерді құрушылық (генераторлық, туындатушылық) 
рөл атқарады. Егер берілген кодтық комбинацияны таңдалған, 
келтірілмейтін көпмүшеге көбейтсек, онда түзетушілік қабілеті 
келтірілмейтін көпмүшемен анықталатын циклдік код аламыз. 
Төртмəнді екілік код комбинацияларынан біреуін кодтау та-
лап етіледі деп жорамалдаймыз. Сондай-ақ, бұл комбинация – 
U(x)=x
3
+x
2
+1
→1101 деп жорамалдайық. Өзіміздің таңдауымызды 
негіздемей тұрып, келтірілмейтін көпмүшелер кестелерінен 
құраушы ретінде K(x)=x
3
+x+1
→1011 көпмүшені аламыз. Содан 
кейін  U(x)-ны, құраушы көпмүшедегідей дəрежедегі бірмүшеге 
көбейтеміз. Көпмүшені n дəрежедегі көпмүшеге көбейтіп, 
көпмүшенің əрбір мүшесінің дəрежесі n-ге артады жəне бұл 
көпмүшенің кіші разрядтары жағынан n  нөлдерді қосып жазуға 
эквивалентті болады. Өйткені таңдалған келтірілмейтін көпмүше 
дəрежесі үшеуге тең, сондықтан алғашқы ақпараттық комбина-
ция үшінші дəрежедегі бір мүшеге көбейтіледі:
U(x)·x
n
=(x
3
+x
2
+1) )·x
3
 = x
6
+x
5
+ x
3
=1101000
Бұл ақырында осы нөлдердің орнына түзетуші разрядтарды 
жазуға болатындығы үшін жасалады. 
Түзетуші разрядтардың мəні нəтиже бойынша U(x)·x
n
-ны K(x)-ға 
бөлумен табылады:

383
 
ɭ
ɞ
x
6
+x
5
+0+x
3
+0+0+0
  x
3
+x+1
 
 
x
6
+0+x
4
+x
3
 
 
x
3
+x
2
+x+1+
1
x
x
1
3


 
 
x
5
+x
4
+0+0
   
 
x
5
+0+x
3
+x
2
 
 
x
4
+x
3
+x
2
+0
 
 
x
4
+0+x
2
+x
   
 
x
3
+0+x+0
   
 
x
3
+0+x+1
   
ɧɟɦɟɫɟ
 
1101000 1011  
1011   1111+
1011
001
 1100 
 
 1011 
 
 1110 
 
 1011 
 
 1010 
 
 1011 
 
 001 
 
Ɉɫɵɥɚɣɲɚ
, 
1
x
x
1
1
x
x
x
)
x
(
K
x
)
x
(
U
3
3
3
3






 
˜
, 
ɧɟɦɟɫɟ
 ɠɚɥɩɵ ɬԛɪɞɟ 
)
x
(
K
)
x
(
R
)
x
(
Q
)
x
(
K
x
)
x
(
U
n

 
˜
,    
 
 
  
(208)
мұндағы,  Q(x)-жеке, ал R(x)-U(x)·x
n
-ны  K(x)-ға бөлуден алған 
қалдық. 
Өйткені екілік арифметикада 1
⊕1=0, яғни -1=1, онда екілік сан-
дарды қосу кезінде қосылғыштарды таңбаны өзгертусіз (егер осы-
лай ыңғайлы болса), теңдіктің бір бөлігінен екіншісіне ауыстыруға 
болады, сондықтан a
⊕b=0 түрдегі теңдікті a=b жəне a-b=0 сияқты 
жазуға болады. Аталған жағдайда бүкіл үш теңдік, я a жəне b 0-ге 
тең, я a жəне b 1-ге тең екенін білдіреді, яғни бірдей жұптылыққа ие. 

384
Осылайша, (208) өрнекті былайша жазуға болады 
F(x)=Q(x)·K(x)=U(x)·x
n
+R(x), 
 
   (209)
біздің мысалымыздағы жағдайда мынаны береді:
F(x)-( x
3
+x
2
+x+1)( x
3
+x+1)-( x
3
+x
2
+1)x
3
+1
немесе
F(x)=1111´1011=1101000+001=1101001
Көпмүше 1101001 жəне бұл ізделетін комбинация болып са-
налады, мұндағы 1101 - ақпараттық бөлік, ал 001 - бақылау сим-
волдары. Ізделетін комбинацияны біз, толық төрттаңбалы екілік 
код комбинацияларының бірін (екілік жағдайда 1111) құраушы 
көпмүшеге көбейту, сол сияқты берілген комбинацияны, таңдалған 
құраушы көпмүше (біздің жағдайымызда, осылайша 1101000 ком-
бинация алынған болатын) кейіннен алынған көбейтіндіге осы 
көбейтіндіні құраушы көпмүшеге бөлуден алған қалдықты (біздің 
мысалымызда қалдық 001 түрге ие болған болатын) алынған 
көбейтіндіге кейіннен қосумен, сондай дəрежеге ие бірмүшеге 
көбейту нəтижесінде алатынымызды байқаймыз. 
Осылайша, біз, оған циклдік кодтар жатқызылатын, сызықтық 
жүйелік кодтар комбинацияларының пайда болуының екі тəсілін 
білетін боламыз. Бұл тəсілдер кодтайтын жəне декодтайтын 
құрылғыларды құру үшін теориялық негіз болып саналады. 
Циклдік кодтар шифраторлары қандай да бір түрде екілік 
көпмүшелерді көбейту қағидаты бойынша құрылған. Кодтық ком-
бинациялар 2 модуль бойынша көрші комбинацияларды қосу 
нəтижесінде алынады жəне төменде біз, бірінші комбинацияны x+1 
екі мүшеге көбейтуге эквивалентті екенін көреміз. 
Сонымен, циклдік кодтар комбинацияларын көпмүше түрінде 
көрсетуге болады жəне ондағы х дəрежелерінің көрсеткіштері раз-
рядтар нөміріне сəйкес келеді, х кезіндегі коэффициенттер, 0 неме-
се 1, осы көпмүшені көрсететін кодтық комбинациялар разрядында 
тұрғандығына қатысты. 0 немесе 1-ге тең болады. Мысалы, 
000101
→0· x
5
+0· x
4
+0· x
3
+1· x
2
+0· x
1
+1· x
0
=x
2
+1;
001010
→0· x
5
+0· x
4
+1· x
3
+0· x
2
+1· x
1
+0· x
0
=x
3
+1;
010100
→0· x
5
+1· x
4
+0· x
3
+1· x
2
+0· x
1
+0· x
0
=x
4
+1;
101000
→1· x
5
+0· x
4
+1· x
3
+0· x
2
+0· x
1
+0· x
0
=x
5
+1.

385
 
Кодтық комбинациялардың циклдік ығысуы тиісті көпмүшені 
x-ға көбейтуге ұқсас:
( x
3
+1)· x=x
3
+x
→001010;
( x
2
+x)· x=x
4
+x
2
→010100;
( x
4
+x
2
)· x=x
5
+x
3
→101000.
Егер көпмүше дəрежесі кодтың разрядтылығына жетсе, онда х 
кезінде нөлдік дəрежеге «ауысы» болады. Циклдік кодтардың шиф-
раторларында бұл операция үлкен разряд ұялары шығуының, нөлдік 
разряд ұяларының кіруімен қосылу жолымен жүзеге асырылады. 
Егер осындай мүшелерді келтіру 2 модуль бойынша жүзеге 
асырылса, циклдік кодтың кез келген екі көрші комбинацияларын 
2 модуль бойынша қосу x+1 көпмүшеге бірінші қосылғыштың 
тиісті комбинацияларының көпмүшесін көбейту операциясына 
эквивалентті болады:
000101
x
2
+0+1
→ 000101
⊕
⊗
001010
x+1
001111
x
2
+0+1
x
3
+0+x
→ 001010
x
3
+x
2
+x+1
→ 001111
яғни, сондай құраушы көпмүшені кейбір өзге көпмүшеге көбейту 
жолымен циклдік кодтың кез келген кодтық комбинацияларын 
алудың принципті мүмкіндігі қолданылады. 
Бірақ циклдік кодты құру аз болуы керек. Одан болуы мүмкін қате 
разрядтарды бөліп көрсете білу, яғни бүкіл басқалардан қате блок-
ты бөліп алатындай, қателердің кейбір анықтап танушыларын енгізу 
керек. Мəселен, циклдік кодтар – блоктық сияқты, сондықтан əрбір 
блок өзінің анықтап танушыларына ие болуы тиіс. Жəне бұл жерде 
К(х) көпмүшені құраушы қажет шешуші рөл атқарады. Циклдік код-
ты құру əдістемесі мынадай: құрушы көпмүше əрбір кодтық ком-
бинацияны құруға қатысады, сондықтан циклдік кодтың кез келген 
көпмүшесі құраушыға қалдықсыз бөлінеді. Бірақ осы кодқа жата-
тын көпмүшелер ғана қалдықсыз бөлінеді, яғни құраушы көпмүше 
бүкіл мүмкіндіктерінің ішінен шешілген (рұқсат етілген) комбина-
цияларды таңдауға мүмкіндік береді. Егер циклдік кодты құраушы 
көпмүшеге бөлетін болсақ, онда қалдық алынатын болады, яғни бұл 

386
кодта қате кеткенін, я бұл қандай да бір өзге кодтың комбинациясы 
(тыйым салынған комбинация) екенін білдіреді. Қалдық бойынша 
тыйым салынған комбинациялардың бар екендігі, яғни қатенің бар 
екені анықталады. Көпмүшені бөлуден қалған қалдықтар циклдік 
кодтардың қателерін анықтап танушылар болып саналады. 
Екіншіден, бірліктерді нөлдермен құраушы көпмүшеге бөлуден 
алынған қалдықтар циклдік кодтарды құру үшін қолданылады 
(осындай мүмкіндікті (209) өрнектеп көруге болады.
Бірліктерді нөлдермен құраушы көпмүшеге бөлу кезінде 
қалдықтың ұзындығы бақылау разрядтарының санынан аз болмауы 
тиіс екенін естен шығармау керек, сондықтан қалдықта разрядтардың 
жетпеуі жағдайында қалдыққа оң жағынан нөлдердің қажетті саны 
қосып жазылады. Мысалы, 
10000000000
1011
1011
11111+
1011
1
1
01100
1011
Қалдықтар
1110
011
1011
110
1010
111
1011
101
1000
001
1011
010
11
100
011
110
жəне т.б., сегізіншіден бастап, қалдықтар қайталанатын болады.
Бөлуден қалған қалдықтар, туынды комбинацияларды алудың 
көрнекілігі мен ыңғайлылығы арасында циклдік кодтар құру үшін 
кең тарауға ие болған, құраушы матрицаларды құру үшін пайда-
ланылады. Құраушы матрицаларды құру элементтері бірліктерді 
нөлдермен құраушы K(x) көпмүшелерге бөлуден қалған қалдықтар 
болып көрсетілетін, бірліктік транспонирленген жəне қосымша 

387
 
матрицаларды құруға саяды. Бірліктік транспонирленген матрица 
барлық элементтері – нөлдер болатын (жоғарыдан төмен қарай сол 
жаққа оң жақтағы диагональдар бойынша орналасқан элементтер-
ден өзге) квадраттық матрица болып көрсетілетінін еске саламыз. 
Қосымша матрицалар элементтері бірліктік транспонирленген ма-
трицалардан оң жаққа қосып жазылады. 
Бірақ бірліктерді нөлдермен құраушы көпмүшелерге бөлуден 
қалған бүкіл қалдықтар қосымша матрицалар элементтері ретінде 
пайдалануға келмейді. Салмағы W
≥d
0
-1 болатын қалдықтар ғана 
пайдаланылуы мүмкін, мұндағы d
0
 ең аз кодтық қашықтықтар жəне 
қалдықтарының ұзындығы бақылау разрядтары санынан аз болмауы 
тиіс, ал қалдықтар саны ақпараттық разрядтар санына теңелуі қажет.
Матрицалары құраушы комбинациялары болып көрсетіледі. 
Кодтың қалған комбинациялары матрицаларды құраушы жолдардың 
бүкіл мүмкін тіркесімдерінің 2 модулі бойынша қосындылау 
нəтижесінде алынады.
Құраушы матрицаларды құрудың ілгеріде сипатталған 
əдісі жалғыз болып есептелмейді. Құраушы матрица бірлік 
матрицаларының элементтерін құраушы көпмүшелерге тікелей 
көбейту нəтижесінде құрылуы мүмкін. Бұл бөлуден қалған 
қалдықтарды табуға қарағанда, көбінесе ыңғайлырақ болады. 
Алынған кодтар қосымша матрица бірліктерді нөлдермен құраушы 
көпмүшеге бөлуден қалған қалдықтардан тұратын, құраушы матри-
цалар бойынша құрылған кодтардан ешқандай өзгешеленбейді. 
Құраушы матрица n
M
 рангтің бірлік матрицаларының жолдарын 
құраушы көпмүшеге көбейту нəтижесінде алынған комбинациялар-
ды циклдік жылжыту жолымен құрылуы мүмкін. 
Қорытындылай келе, циклдік кодтарды құрудың тағы бір 
əдісін ұсынамыз. Кодтаушы жəне декодтаушы құрылғыларды 
сұлбалық жүзеге асырудың ерекше қарапайымдылығы осы əдістің 
артықшылығы болып саналады. 
Циклдік кодтың комбинацияларын алу үшін бұл жағдайда, 
оны айнадағыдай бейнесі болып саналатын құраушы матрицалар 
мен комбинациялар жолдарының циклдік жылжуын жүзеге асыру 
жеткілікті. d
0
=3, n
M
=4, n
K
=3 кодтарды құру кезінде құраушы матри-
цалар жолдарының бүкіл мүмкін тіркесімдерінің 2 модулі бойынша 
қосындылаумен алынған комбинациялар саны құраушы матрица-
лар мен оның айнадағыдай комбинацияларының жолдарын циклдік 

388
жылжыту нəтижесінде алынған комбинациялар санына тең бола-
ды. Бірақ бұл тəсіл ақпараттық разрядтардың саны кіші кодтарын 
алу үшін пайдаланылады. n
M
=5 кезінің өзінде циклдік жылжыту 
нəтижесінде алынатын комбинациялар саны, құраушы матрицалар 
жолдарының бүкіл мүмкін тіркесімдерін қосындылау нəтижесінде 
алынатын комбинациялар санына қарағанда аз болады. 
Құраушы матрицалардың бүкіл мүмкін екі жолының 2 модулі 
бойынша қосындылау нəтижесінде алынған нөлдік емес комбина-
циялар саны,
M
M
M
M
M
M
n
n
1
n
n
2
n
1
n
s
C
C
...
C
C
P
+
+
+
+
=
−
,              (210)
мұндағы, n
M 
- кодтың ақпараттық разрядтарының саны.
Құраушы матрицалар мен оның айнадағыдай комбинацияларының 
кез келген жолдарын циклдік жылжыту нəтижесінде алынған нөлдік 
емес комбинацияларының саны, 
P
C
=2n                                              (211)
мұндағы, n – кодтық комбинациялар ұзындығы. 
Ақпараттық разрядтың n³6 саны кезінде құраушы матрицалар 
жолдарын қосындылауда алынған комбинациялар саны, құраушы 
матрицалар мен оның айнадағыдай матрицаларының жолдарын 
циклдік жылжыту нəтижесінде алынған комбинациялар саны-
на қарағанда, анағұрлым тезірек өсетін болады. Соңғы жағдайда 
кодтар артық алынады (өйткені, кодтың сондай ұзындығы кезінде 
хабарлардың көбірек санын басқалай тəсілмен беруге болады), 
тиісінше ақпараттарды берудің салыстырмалы жылдамдығы 
төмендейді. Осындай жағдайларда кодтаудың қандай да бір əдісін 
қолданудың дұрыстығы нақты техникалық шарттардан анықталуы 
мүмкін. 
Циклдік кодтардағы қателер алынған комбинацияларды құраушы 
көпмүшеге бөлуден қалған қалдықтардың көмегімен анықталады 
жəне түзетіледі. Бөлуден қалған қалдықтар қателерді анықтап 
танушылар болып саналады, бірақ циклдік кодтағы қатенің орнын 
тікелей нұсқап көрсетпейді. 
Қателерді түзету идеясы, қате комбинация белгілі бір циклдік 
жылжулардың санынан кейін, қалдығы бар сомада ол түзетілген ком-
бинацияны беретін, қалдыққа «дəлдестіруге» негізделеді. Қалдық 
бұл ретте, бұрмаланған жəне дұрыс символдар арасындағы айыр-

389
 
мадан басқа ештеңе емес болып көрсетіледі, қалдықтағы бірліктер, 
циклдік ығыстырумен дəлденген комбинациялардың бұрмаланған 
разрядтарының орындарында тұрады. Бұрмаланған комбинация 
қалдықтағы санына тең болғанға дейін дəлдестіру жүргізіледі. Бұл 
ретте, бірліктер санының, я осы кодпен түзетілетін (код 3 қатені 
түзетеді жəне бұрмаланған комбинациялардағы 3 қатені түзетеді) s 
қателердің қателер санына тең болуы мүмкін екені, я s-тен кіші бо-
луы мүмкіндігі (код 3 қатені, қабылданған комбинацияда – 1 қатені 
түзетеді) заңды болып саналады. 
Кодтық комбинациялардағы қателер орны маңызға ие емес. 
Егер 
2
n
n
K
≥
 болса, онда жылдамдатулардың белгілі бір санынан 
кейін барлық қателер құраушы көпмүшенің «бір реттік» əсеріне 
ұшырайды, яғни салмағы W
≤  s бір қалдық алу жеткілікті болады 
жəне бұрмаланатын комбинацияларды түзету үшін де осы жеткілікті. 
 

жүктеу/скачать 8,17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: