Есептің қойылуы:Мына функцияның
(1)
мұндағы тұрақтылар,
(2)
шарты сақталатындай ең кіші мәнін табу керек.
Геометриялық тұрғыдан қосындысы ұзындықтары |x|¸ |y| және |z| болатын үш кесіндінің қосындысын кескіндейді.
Т алдау: Айталық, x>0, y>0, z>0 , ендеше d>0 . Берілген функциядағы және өрнектерінің әрқайсысы геометриялық тұрғыдан катеттері берілген тікбұрышты үшбұрышты салу есебі болып табылады. x, y, z катеттері өзара параллель болатындай етіп осы үшбұрыштарды бір-біріне жалғастыра салайық (сурет 6) . Сонда ал . AEDC сынық сызығының әрбір үзбесінің ұзындықтарының қосындысы – u -ға тең. Сынық сызықтың ұзындығы кесінді ұзындығынан кем бола алмайды. Ендеше AE + ED + DC ≥ AC. Теңдік белгісі E, D нүктелері AC кесіндісінде жатқан жағдайда ғана орындалады. Демек min(u)=AC .
Салу. Катеттері – ға және (a+b+c) - ға тең тікбұрышты үшбұрыш саламыз. Сонда берілген x+y+z=dшарты сақталатындай u функциясының ең кіші мәні АС – гипотенузасының ұзындығы болады.
Зерттеу: а) x<0, y<0 және z<0 . Бұл жағдайда d<0 болады да салу жұмысы қарастырылған жағдайға келеді.
ә) x, y, z сандарының екеуінің таңбасы бірдей, ал үшіншісінің таңбасы өзгеше болсын. Айталық x<0, y<0, z>0 болсын. Бұл жағдайда бір-біріне жалғастыра салынатын тікбұрышты үшбұрышты 7-суретте көрсетілгендей етіп орналастырамыз. Сонда Ендеше пайда болған AEDC сынық сызығының ұзындығы осы сынық сызықтың ұштарын қосатын АС кесіндісінің ұзындығынан кем бола алмайды. Яғни .
О лай болса, ұзындығы z - ке тең АВ кесіндісін алып, В нүктесінен бастап ВА кесіндісіне ұзындықтары |x| және |y| кесінділерін жалғастыра салып, – нүктесін табамыз. Енді салу есебі катеттері AB' және (a+b+c)- ға тең тікбұрышты үшбұрыш салу есебіне келеді.
Қорытынды: Берілген (1) , (2) есепті шешу, геометриялық тұрғыдан, катеттерінің ұзындықтары d және (a+b+c) болатын тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасын табу есебіне келеді.
Ендеше Пифагор теоремасы бойынша
min(u)==. Мысал. функциясының x+y+z=8 шарты сақталатындай ең кіші мәнін тап.
Шығару жолы. . Ал, Олай болса ,
min(u)== .
Жауабы : 12,8.
