Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

46
?
A
D
C
B
4
A
D
C
6 cм
5 cм
B
x
 cм
5
6
C
A
B
3
x
 cм
4
x
 cм
5 cм
Сұрақтар,­есептер­мен­тапсырмалар
 1. 
1) Пифагор теоремасына кері теореманы өрнектеңдер.
 
2) Көлбеудің түзудегі проекциясы дегенде  нені түсінеміз? 
 
3) Катет гипотенузадан кіші екені дұрыс па?
 2. 
Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары төмендегі сандарға тең болуы 
мүмкін бе: 1) 11 cм, 7  cм, 17 cм; 2)  3 cм, 1,6 cм, 3,4 cм; 3) 3 cм, 4  cм, 6 
cм;  4) 2 cм, 
 cм, 
 cм? Жауабыңды негізде.
 
3. 
ABC
­дa 
AB
 = 13  cм, 
BC
 = 20  cм, 
BD 
–  үшбұрыштың  биіктігіне  және 
12  см­ге  тең. 
AB, BC
  қабырғалардың 
AC
  қабырғағa  тү сірілген  про­
екцияларының  ұзын дық тарын  және 
AC
  қабырғаның  ұзын дығын 
табыңдар (4­сурет). Бос орындарға сәйкес жауаптарды қойыңдар.
  
Шешуі.
 
ABD
 
және 
BCD
 
– 
тікбұрышты,  өйткені 
∠
ADB
 = 
∠
BDC
 = 90°. 
AB 
және 
BC
 қабырғалардың 
AC
 қабырғадағы 
проек циялары  сәйкесінше 
AD
  және 
CD
  ке­
сінділерінен тұрады.
 
ABD
­дан Пифагор теоремасына орай: 
AD
2
 = 
AB
2
 – 
BD
2
 = 13
2
 – ...
2
 = ... – ... = ... (cм). 
Бұдан 
AD
 = ...  cм.  
BCD
­дан  Пифагор 
теоремасына орай: 
 CD
2
 = 
BC
2
 – 
BD
2
 = ...
2
 – 12
2
 = ... – ... = ... (cм). Бұдан 
CD
 = ... cм.
 
AC
 = ... + 
DC
 = ... + ... = ...(cм). 
      
Жауабы:
 
 
AD
 = ... cм, 
CD
 = ... cм, 
AC
 = ... cм.
  4. 
Белгісіз ұзындықтарды тап (5–6­суреттер).
 
  5. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  екі  қабырғасы  6  см  және  8  см­ге  тең.
Үшінші қабырғаның ұзын дығын табыңдар. Есептің шешімі нешеу?
 6. 
Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары төмендегі сандарға тең болуы 
мүмкін бе: 1) 
a
 = 12, 
b
 = 35, 
c
 = 37; 2) 
a
 = 11, 
b
 = 20, 
c
 = 25; 3) 
a
 = 18, 
b
 = 24, 
c
 = 30; 4) 
a
 = 9, 
b
 = 12, 
c
 = 15? 
http:eduportal.uz

47
19. ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫНЫҢ КЕЙБІР ҚОЛДАНЫЛУЛАРЫ
Үш қабырғасы бойынша үшбұрыштың биіктігін табу.
Берiлген 
ABC
 үшбұрыштың қабыр ғалары 
a
, 
b
 және 
c
 болсын. Оның 
C
 
төбесiнен 
AB
 қабырғасына түсiрiлген 
CD
 = 
h
c
 биiктiгiн табайық (1­
а
­ сурет).
Биiктiктiң табаны 
D
 нүктенiң 
AB
 ке сiндiге қарағанда қалай орналасуына 
қарай  үш түрлі жағдай болады. Осы жағдайларды қарастырайық.
1­жағдай.­
D
 нүкте 
AB
 кесiндiнiң iшкi нүктесi болсын. Егер 
AD
 = 
x
 бел­
гiлеу енгiзсек, онда 
DB
 = 
c
 – 
x
 болады (1­
а
­ сурет). 
ADC
 және 
BDC-
лар тiк 
бұрышты. Пифагор теоремасы бойынша:
h
c
2
 = 
b
2
 − 
x
2 
 (1)  және 
 h
c
2
 = 
a
2
 − (
c
 − 
x
)
2
  (2).
Бұдан мынадай теңдiк келiп шығады: 
  
b
2
 − 
x
2
 = 
a
2
 − (
c
 − 
x
)
2
.
Бұл теңдiктен:
 
b
2
 − 
x
2
 = 
a
2
 − 
c
2
 + 2
cx
 − 
x
2
, немесе  
b
2
 = 
a
2
 − 
c
2
 + 2
cx
 .
Соңғы теңдіктен 
x
­тi табамыз:
+
−
=
2
2
2
2
b
c
a
c
x
   немесе  
(
)
+
−
=
2
2
2
2
2
2
4
b
c
a
c
x
.
х
­т
i
ң бұл мәнiн (1) теңдiкке қойсақ:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
.
c
b
c
a
b c
b
c
a
c
c
h
b
+
−
−
+
−
=
=
−
Бұл бөлшектiң алымын көбейтiндiлерге бөлсек, төмендегiнi шыға рамыз:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
4
4
c
bc
b
c
a
bc
b
c
a
bc b
c
a
bc b
c
a
c
c
h
−
+
−
+
+
−
−
−
+
+
+
−
=
=
Шығарылған өрнектiң алымындағы екi көбейтiндiнi түрлендiрсек: 
2
bc 
− 
b
2
 − 
c
2
 + 
a
2 
= 
a
2
 − (
b
 − 
c
)
2
 = (
a
 − 
b
 + 
c
)(
a
 + 
b
 − 
c
)  және
2
bc 
+ 
b
2
 + 
c
2
 − 
a
2 
= (
b
 + 
c
)
2
 − 
a
2
 = (
b
 + 
c
 − 
a
)(
b
 + 
c
 + 
a
).
Ол жағдайда
− +
+ −
+ −
+ +
=
2
2
(
)(
)(
)(
)
,
4
c
a b c a b c b c a b c a
c
h
  бұдан 
=
+ +
− +
+ −
+ −
1
2
(
)(
)(
)(
)
c
c
h
a b c a b c a b c b c a
 
Үшбұрыштардың жарты периметрiн 
р
 деп белгiлесек,  онда:
C
C
A
B
h
c
x
c 
−
 x
b
a
c
D
h 
=
 a
A
B 
=
 D
c
b
a
б
1
C
D
A
B
b
a
h
c
x
c
ә
http:eduportal.uz

48
a 
+ 
b 
+ 
c 
= 2
p
,
a
 − 
b
 + 
c 
= 
a 
+ 
b 
+ 
c 
− 2
b
 = 2
p
 − 2
b
 = 2(
p  
− 
b
),
a 
+ 
b
 − 
c 
= 
a
 + 
b 
+ 
c 
− 2
c
 = 2
p
 − 2
c
 = 2(
p  
− 
c
),
b 
+ 
c
 − 
a 
= 
a 
+ 
b 
+ 
c 
− 2
a
 = 2
p
 − 2
a
 = 2(
p  
− 
a
).
Бұл өрнектi түбiр астындағы өрнекке қойсақ: 
=
−
−
−
=
⋅
−
−
−
=
1
1
2
2
16 (
)(
)(
)
4
(
)(
)(
)
c
c
c
h
p p a p b p c
p p a p b p c
2
(
)(
)(
)
c
p p a p b p c
=
−
−
−
.
Нақ сол сияқты
=
−
−
−
2
(
)(
)(
)
a
a
h
p p a p b p c
 
 және 
 
2
(
)(
)(
)
b
b
h
p p a p b p c
=
−
−
−
.
 
2-жағдай. D
 нүкте 
AB
­ның жалғасында жатады,  яғни 
DB
 = 
c
 + 
x
.  Бұнда 
да дәлелденген нәтиже келiп шығады (1­
б
 сурет).
3-жағдай. D
   нүкте 
B
  нүктемен,  яғни
 h
 = 
a
  биiктiк  катетпен  беттеседi. 
Үшбұрыш тiк бұрышты болады (1­
д
 сурет).
 1. 
Қабырғалары: 1) 10 см, 10 см, 12 см; 2) 17 дм, 17 дм, 16 дм; 3) 4 дм, 13 
дм, 15 дм болған үшбұрыштардың биiктiктерiн тап.
 2. 
Биiктiгi 
h
­қа тең болатын тең қабырғалы үшбұрыштың қабыр ғасының 
ұзындығын  тап.  Егер:  1) 
h
  =  6  см;  2) 
h
  =  1,5  см  болса,  қабырғалары 
қан дай болатынын табыңдар.
 3. 
Үшбұрыштың қабырғалары: 1) 
a
 = 5  cм, 
b
 = 7  cм, 
c
 = 6  cм; 2) 
a
 = 13 дм, 
b
 = 14 дм, 
c
 = 15 дм; 3) 
a
 = 24 cм, 
b
 = 25 cм, 
c
 = 7 cм. Үлкен қабырғасына 
жүргiзiлген биiктiктi тап.
 4. 
Егер  тең  қабырғалы  үшбұрыштың  қабырғасы  12  см­ге  тең  болса, 
оның биiктiгiн тап.
 5. 
Үшбұрыштың қабырғалары 8 см­ге, 10 см­ге және 12 см­ге тең. Осы 
үшбұрыштың  ең  үлкен  және  ең  кiшi  биiктiк­
терiн тап.
 6. 
Қабырғалары: 1)  17, 65, 80; 2)  8,  6,  4; 
3) 24, 25, 7;  4) 30, 34, 16; 5)  15, 17, 8­ге тең бо­
латын үшбұрыштың кiшi биiктiгiн тап.
 7.
 
Үшбұрыштың  қабырғалары 
а
  =  16  см, 
б
  =  12  см    және    с  =  8  см.  Үшбұрыштың  кіші 
биік ті гін табыңдар.
 
8. 
Сатының 
ұзындығын 
табыңдар 
(2­сурет). 
C
A
B
6 м
2,5 м
x
 м
2
Сұрақтар,­есептер­мен­тапсырмалар
http:eduportal.uz

49
Теорема.
1. Негізгі тригонометриялық қағидаттар.
Бір  бұрыштың  тригонометриялық  функциялары  арасындағы  байла­
нысты бейнелейтін қағидаттарды қарастырамыз.
Кез келген  α  сүйір бұрышы үшін  
sіn²α + cos²α = 1  теңдігі орынды.
Дәлелдеу.  А 
төбесіндегі бұрышы
  α 
­ға тең сүйір бұрышты кез келген 
АВС 
үшбұрышын аламыз (1­сурет).
Пифагор теоремасына орай:  
 
  BC
2
 + 
AC
2
 = 
AB
2
.
Теңдіктің екі жағын да  АВ²­қа бөліп, төмендегі 
теңдікке ие боламыз:  
2
2
1
BC
AC
AB
AB












+
=
.
Бірақ 
sin
BC
AB
=
α
, 
cos
AC
AB
=
α
. Сонымен,
 
sin
2
α
 + cos
2
α
 = 1
. 
(1)
(1)  теңдік  
тригонометрияның  негізгі қағидаты
  деп аталады. 
Бізге  бір  бұрыштың  тригонометриялық  функциялары  арасындағы 
байланысты бейнелейтін үш теңдік белгілі:
sin
cos
tg
α
α
α =
  (2),  
cos
sin
ctg
α
α
α =
  (3),   tgα · ctgα = 1  (4).
(1)  теңдіктің  екі  бөлігін  де  соs²α­ға  бөліп,  (5)  қағидатты  шығарып 
аламыз:
 
+ =
2
2
2
sin
1
cos
cos
1
α
α
α
  немесе  
+
=
2
2
1
cos
1 tg
α
α
. 
(5)
(1) теңдіктің екі жағын да sin²α ­ға бөліп,  (6)  қағидатты айқын даймыз:
 
+
=
2
2
2
cos
1
sin
sin
1
α
α
α
  немесе  
+
=
2
2
1
sin
1 ctg
α
α
. 
(6)
2. Негізгі тригонометриялық қағидаттан туындайтын салдарлар. 
Кез келген  α  сүйір бұрышы үшін төмендегі теңдіктер орынды:
 
= −
⇒
=
−
2
2
2
sin
1 cos
sin
1 cos
α
α
α
α
. 
(7)
 
= −
⇒
=
−
2
2
2
cos
1 sin
cos
1 sin
α
α
α
α
. 
(8)
A
C
B
a
b
c
α
1
 § 5.
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ҚАҒИДАТТАР
20–21. НЕГІЗГІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ 
ҚАҒИДАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ САЛДАРЛАРЫ
4  – Геометрия, 8­сынып
http:eduportal.uz

50
1-есеп. 
Егер 
2
3
cos
α =
  болса,  sinα,  tgα  және  ctgα­ның  мәндерін  есеп­
теңдер.
Шешуі.
 1) 
2
2
4
5
2
5
9
3
3
9
sin
1 cos
1
1
 
 
 
α =
−
α =
−
=
− =
=
.
2) 
sin
5
2
5
cos
3
3
2
tg
:
α
α
α =
=
=
;     3) 
cos
2
5
2
2 5
sin
3
3
5
5
ctg
:
α
α
α =
=
=
=
.
Жауабы:  
 
5
3
sin
α =
, 
5
2
tg
α =
, 
2 5
5
ctg
α =
.
2-есеп. 
Өрнекті ықшамдаңдар:  1)
2
2
1 sin
sin
1
−
α
α
+
;  2) 
2
2
cos
1
cos
1
α −
α
−
.
Шешуі.
 1) Екі санның қосындысы квадратының формуласын және (6)  
негізгі тригонометриялық қағидатты пайдаланып, өрнекті ықшамдаймыз:  
             
2
2
2
2
2
2
2
1 sin
sin
1 sin
1
sin
sin
sin
1
1 ctg
−
α
α+ −
α
α
α
α
+
=
=
= +
α
.     
Жауабы:
  
 1 + ctg
2
α.
2)  Айырманы  жалпы  түбірге  (махражға)  келтіреміз,  содан  соң  алым­
дағы  ұқсас  мүшелерді  ықшамдаймыз  және  (5)  қағидатты  пайдалана 
отырып табамыз:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
1
cos
(cos
1)
cos
cos
1
1
cos
cos
cos
cos
1
1 tg
α−
α−
α−
α−
α+
α
α
α
α
−
=
=
=
= +
α
. 
Жауабы:
  
1 + tg
2
α.
3-есеп. 
Өрнекті ықшамдаңдар:  sin
4
α + cos
4
α + 2sin
2
α cos
2
α.
Шешуі.
 Екі санның қосындысының квадраты формуласын және не гіз гі 
тригонометриялық қағидатты пайдаланып, өрнекті ықшамдаймыз:  
          sin
4
α + cos
4
α + 2sin
2
α cos
2
α = (sin
2
α + cos
2
α)
2
 = 1           
Жауабы:
  
 1.
?
 1.
  1) Қайсы теңдік тригонометрияның негізгі қағидаты деп аталады? 
   2)  Тригонометриялық  қағидаттарды  өрнектейтін  теңдіктердің  қайсы­
сын білесіңдер?
   3)Негізгі  тригонометриялық қағидаттан қандай салдарлар туындайды?
 2.
  Егер:  1) 
12
13
sin
α =
  болса,  cosα  ,  tgα    және  ctgα    ­ны;      2)  cosα  =  0,8  
болса, sinα  ­ны, tgα ­ны  және  ctgα ­ны;  3)  cosα = 0,28 болса, sinα­ны,  
tgα­ны  және ctgα­ны табыңдар.
 
3. 
Егер 
5
12
tg
α =
 болса,  sinα  мен  cosα­ны табыңдар. 
 
Үлгі. 
Егер 
4
3
tg
α =
 болса, sinα мен cosα­ны табыңдар. 
 
Шешуі.
  
2
2
2
1
16
25
4
9
9
3
cos
1 tg
1
1
 
 
 
α
= +
α = +
= +
=
. Демек,
α =
2
9
25
cos
.
   Бұдан 
3
9
5
25
cos
α =
=
. 
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
http:eduportal.uz

51
 
Енді  sinα­ны есептейміз:  
sin
4 3
4
cos
3 5
5
tg
sin
tg
cos
α
α
α =
⇒
α = α ⋅
α = ⋅ =
.
 
Жауабы:  
α =
4
5
sin
;  
3
5
cos
α =
 .
 
4. 
Өрнекті ықшамдаңдар:
  
1) 1 + sin
2
α + cos
2
α;  2) 
2
2
sin
1 cos
α
−
α
;
 3) 
2
2
1 sin
cos
−
α
α
. 
 
Үлгі. 
Өрнекті ықшамдаңдар:
 
 1 + sin
2
α − cos
2
α.
 
Шешуі.
 Ықшамдау үшін қосылғыштарды топтастырып, жасаймыз:
 
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1+ sin
cos
1 cos
sin
sin
sin
2 sin
α
α −
α = −
α +
α =
α +
α =
α
.
 
Жауабы:  
 2sin
2
α.
 5.
  Өрнекті ықшамдаңдар:   1) 
2
(1 sin )(1 sin )
sin
−
α +
α
α
; 2) 
2
sin cos
cos
α
α
α
; 3) 
tg
sin
α
α
.
 
6. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  катеттері  7  см­ге  және  24  см­ге  тең.  Үш­
бұрыштың ең кіші бұрышының тригонометриялық функциялары мән­
дерін табыңдар.
 
7. 
Егер:  1)  tg
A
 = 2;  2) 
3
2
sin
α =
;  3) 
15
17
cos
α =
  болса, 
А
  сүйір  бұрышы 
триго нометриялық функцияларының мәндерін табыңдар.
 
8.
  Өрнекті ықшамдаңдар: 
2
4
2
1 tg
tg
cos
−
α+
α
α
.
 
Шешуі. 
 
(
)
(
)
(
)
2
4
2
4
2
4
6
2
2
1 tg
tg
1
2
cos
cos
1 tg
tg
1 tg
1 tg
tg
1 tg
−
α+
α
α
α
=
−
α +
α =
+
α
−
α +
α = +
α
.
 
Ықшамдау  кезінде  (5)  қағидат  және 
a
3
 + 
b
3
 = (
a
 + 
b
)(
a
2
 − 
ab
 + 
b
2
)  форму­
ласы пайдаланылды.          
                                     
Жауабы:
  
 1 + tg
6
α.
 
9. 
Егер: 1) 
8
17
sin
α =
 болса, cosα , tgα,  ctg α ­ны; 2) cosα =  0,6 болса, sinα, 
tgα  және ctgα­ны табыңдар. 
10. 
Бір  бұрыштың  синусы  мен  косинусы  сәйкесінше  төмендегі  сандарға 
тең болатынын немесе тең болмайтынын анықтаңдар: 1) 
1
2
 және 
3
2
;  
2) 
1
3
 және 
3
4
.
11. 
Бір бұрыштың тангенсі мен котангенсі сәйкесінше төмендегі сандарға 
тең болатынын немесе тең болмайтынын анықтаңдар: 
 
1) 0,4 және  2,5; 
2) 1,1 және  0,9;  3) 
+
5 2
 және 
5 2
−
.
12.
  Өрнекті ықшамдаңдар:  1)
 
tgα · ctgα − cos
2
α;   2) cosα − cosα · sin
2
α.    
13. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  катеттері  8  см­ге  және  15  см­ге  тең. 
Үшбұрыштың  ең  кіші  бұрышы  тригонометриялық  функцияларының 
мәндерін табыңдар.
14.
  Өрнекті ықшамдаңдар:   1) (1 − cosα)(1 + cosα);  2) sinα − sinα cos
2
α.
http:eduportal.uz

52
Теорема.
Толықтырғыш бұрыштардың тригонометриялық функцияларына 
арналған формулалар.
Қосындысы  90º-қа  тең  екі  бұрышты  толықтырғыш  бұрыштар  деп 
атайды.
  Тікбұрышты  үшбұрыштың  сүйір  бұрыштары  толықтырғыш  бұ­
рыштарға мысал бола алады, өйткені олардың қосындысы 90º­қа тең.
Біз  қарастырған  тригонометриялық  қағидаттар  бір  бұрыштың  түрлі 
тригонометриялық  функциялары  арасында  өзара  байланыстар  орнатуға 
мүмкіндік  береді.  Енді  тікбұрышты  үшбұрыштың  екі  сүйір  бұрышы 
ортасындағы байланыстарды қарастырайық.
 
Кез келген тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы – α  үшін  
sin(90° 
−
 
α
) 
=
 cos
α
; cos(90° 
−
 
α
) 
=
 sin
α 
 теңдіктері орынды.
Дәлелдеу. 
Гипотенузасы
  АВ 
бол ған  тік­
бұрышты
  АВС 
үшбұрышын  қа рас   тырамыз 
(1­сурет).  Егер
  <А  =  α 
бол са,  онда
  <В  = 
90º­қа  тең  болады.
 
Үшбұрыштың  сүйір  бұ­
рыштарын си нус тар мен косинустар ар қылы 
өрнек тейміз. Анықтамаға орай:
             
sin
AC
AB
B
=
 және  
cos
AC
AB
A
=
, 
яғни  sin(90° − α) = cosα; 
sin
BC
AB
A
=
  және  
cos
BC
AB
B
=
,  яғни cos(90° − α) = sinα.
Теорема дәлелденді.
Дәлелденген теоремадан мынадай салдар келіп шығады:
Салдар. 
 Кез келген сүйір бұрыш үшін    
                       tg(90° 
−
 
α
) 
=
 ctg
α
;   ctg(90° 
−
 
α
) 
=
 tg
α 
 теңдіктері орынды.
Бұл  теңдіктердің  дұрыстығын  жоғарыда  келтірілген  формулаларды 
пайдаланып дәлелдеуді өздеріңе қалдырамыз.
А
  және 
В
  сүйір  бұрыштары  –  бірін­бірі  90º­қа  толықтырып  тұратын 
бұрыштар.  Осыны  ескере  отырып,  жоғарыда  шығарылған  формулаларды 
төмендегідей етіп оқу керек: 
– берілген бұрыштың синусы толықтырғыш бұрыштың косинусына тең; 
– берілген бұрыштың косинусы толықтырғыш бұрыштың синусына тең; 
–  берілген  бұрыштың  тангенсі  толықтырғыш  бұрыштың  котан генсіне 
тең; 
– берілген бұрыштың котангенсі толықтырғыш бұрыштың тан генсіне 
тең.
22. ТОЛЫҚТЫРҒЫШ БҰРЫШТЫҢ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ 
            ФУНКЦИЯЛАРЫНА АРНАЛҒАН ФОРМУЛАЛАР
C
A
90°
−
 
α
B
α
1
http:eduportal.uz

53
1-есеп.
 
А 
және
  В
 
бұрыштары  –  тікбұрышты  үшбұрыштың  сүйір  бұ­
рыш тары делік. Егер  
1
5
sin
B
=
 болса, анда  tg
A
­ны табыңдар.
Шешуі.
  sin
B
 = cos
A
,  демек, 
1
5
cos
sin
A
B
=
=
.  Енді 
А
  бұрышының  
синусын  негізгі  тригонометриялық  қағидаттың  салдарын  пайдалана  оты­
рып табамыз: 






=
−
α =
−
=
− =
=
2
2
1
2
1
4
5
5
5
5
sin
1 cos
1
1
A
.
Бұрыштың тангенсін синус пен косинус арқылы табамыз: 
                                   
sin
2
1
cos
5
5
tg
:
2
A
A
A
=
=
=
.                            
 
Жауабы: 
 
 2.
2-есеп. 
Егер ctg
x 
= tg20° болса, сүйір 
 х
  бұрышты табыңдар.
Шешуі.
 
tg20°
 
= ctg(90°
 
− 20°)
 
= ctg70°, демек, ctg
x 
= ctg70°. 
Бұдан 
x 
= 70°. 
Жауабы:  
 
x 
= 70°.
 1. 
1) Толықтырғыш бұрыштар деп нені айтады?
 
2) Тікбұрышты үшбұрыштардың екі сүйір бұрышы арасындағы қандай 
байланыстарды білесіңдер? Сәйкес формуланы табыңдар.  
 
2. 
Егер: 1) sin
x 
= cos40°; 2) cos
x 
= sin76°; 3) tg
x 
= ctg56°; 4) ctg
x 
= tg16° 
болса, сүйір 
х
 бұрышты табыңдар.
 
3. 
A
 және  
B
 бұрыштары – тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштары. 
Егер соsA = 0,6 болса,  sin
B
  мен соs
В
­ны табыңдар. 
 
4. 
Бір  бұрыштың  синусы  мен  косинусы  сәйкесінше  төмендегі  сандарға 
тең екенін яки тең еместігін анықтаңдар:  
 
1) 
1
5
 және  
2
5
; 2) 0,3 және  0,4.
 5. 
А 
және
 В 
бұрыштары – тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштары. 
Егер sin
B
 = 0,5 болса,   cos
A
 және  tg
A
­ны табыңдар. 
 
6. 
Белгісіз  ұзындықтарды  табыңдар  (2­сурет)  және  сүйір  бұрыштардың 
синусын, косинусын, тангенсі мен котангенсін есептеңдер.
 
7. 
Егер  sin(90°
 
− α)
 
= 0,8 болса, cosα мен  sinα­ны табыңдар.
 8.
  Өрнекті ықшамдаңдар: 1) 
cos
ctg
α
α
; 2) ctg
2
α(2sin
2
α
 
+ cos
2
α
 
−1).       
 
A
C
B
A
B
C
x
 cм
 
12 cм
(
x
 + 6) cм
x
 cм
12 cм
(
x
– 6) cм
2
a
ә
?
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
http:eduportal.uz

54
1.  30°-тық  бұрыштың  синусын,  коси-
нусын, тангенсін және котангенсін есептеу.
Тең  бүйірлі 
АВС
  үшбұрышын  алайық 
(1­сурет).  Оған 
BD
  биіктігін  жүргізсек,  ол 
биссектриса  мен  медиананың  міндетін  ат­
қа  рады.  Сол  себепті 
ABD
  үшбұрышы 
B
 
төбесіндегі  сүйір  бұрышы  30º­қа  тең  тік­
бұрышты  (
∠
D
 = 90°)  үшбұрыш  болып  табы­
лады.  Тең  бүйірлі  үшбұрыштың  қабыр­
ғасы 
а
­ға  тең  болсын  делік.  Ондай  жағдайда   
2
=
a
AD
. Пифагор теоремасына орай:
 
 
 
=
−
=
−
=
−
=
2
2
2
2
2
2
4
2
a
a
BD
AB
AD
a
a
2
3
3
4
2
a
a
=
=
.
Анықтамаларға орай:
 
1
2
2
sin 30
:
AD
a
AB
a
° =
=
=
;                   
3
3
2
2
cos 30
:
BD
a
AB
a
° =
=
=
; 
 
3
1
3
2
2
3
3
tg30
:
AD
a
a
BD
° =
=
=
=
;       
3
2
2
ctg30
:
3
BD
a
a
AD
° =
=
=
.
Толықтырғыш  бұрыштың  тригонометриялық  функциялары  үшін  шы­
ғарылған  формулалардың  көмегімен 
60º-тық  бұрыштың  тригоно мет-
риялық функцияларының мәнін 
табамыз:
3
2
sin 60
sin(90
30 )
cos 30
° =
° − ° =
° =
;   
tg60
tg(90
30 )
ctg30
3
° =
° − ° =
° =
;
1
2
cos 60
cos(90
30 )
sin 30
° =
° − ° =
° =
;     
3
3
ctg60
ctg(90
30 )
tg30
° =
° − ° =
° =
.
2.  45º-тық бұрыштың синусын, косинусын, тангенсін және котан-
генсін есептеу.
45º­тық  бұрыштың  тригонометриялық 
функцияларын  есептеу  үшін  тең  бүйірлі  тік­
бұрышты
 
АВС
 
үшбұрышын  қарастырамыз 
(2­су рет). Бұл үшбұрышта 
АС = ВС = а
, 
∠
А = 
∠
В 
= 45º болсын. Пифагор теоремасына орай, 
гипотенуза
 
=
2
AB
a
-
ға  тең  болады.  Сүйір 
бұрыштың тригонометриялық функ ция сының 
анықтамасы бойынша:
 
1
2
2
2
2
sin45
sin
BC
a
AB
a
A
° =
=
=
=
=
;
B
D
C
A
a
30°
1
23. 30°, 45°, 60°-ТЫҚ  БҰРЫШТАРДЫҢ СИНУСЫН, КОСИНУСЫН,
 ТАНГЕНСІН ЖӘНЕ КОТАНГЕНСІН ЕСЕПТЕУ
A
a
C
B
a
45°
2
http:eduportal.uz

55
1
2
2
2
2
cos45
cos
AC
a
AB
a
A
° =
=
=
=
=
;
tg45
tg
1
BC
a
AC
a
A
° =
=
=
=
; 
ctg45
ctg
1
AC
a
BC
a
A
° =
=
=
=
.
30º  ­тық,  45º­тық  және  60º­тық  бұрыштардың 
синусы,  косинусы,  тангенсі  және  котангенсі  мән­
дерінің кестесін жасаймыз.
Сүйір  бұрышты  тригонометриялық  функция­
лардың  мәндерін,  сандардың  квадраттарын  және 
олардан  шығарылған  арифметикалық  квадрат 
түбірді  арнайы  кестелерден  білуге  немесе 
калькуляторды пайдаланып есептеуге болады.
Есеп. 
Тікбұрышты
 
ABC
  үшбұрышының 
АВ
 
гипотенузасы     
4 3
  см  және 
  ∠
A
 = 60°  (3­сурет). 
Осы бұрыштың катеттерін табыңдар.  
Шешуі.
  Бізге  аян  болғанындай,  α    бұрыштың 
қара ма­қарсысындағы катет гипотенуза мен  α  бұ­
рыш синусының көбейтіндісіне тең. Осыған орай: 
3
2
sin
4 3 sin 60
4 3
6
BC
AB
A
=
=
⋅
° =
⋅
=
 (cм).
Бізге белгілісі сол, α  бұрышқа жанасқан катет 
гипотенуза  мен  α  бұрыш  косинусының  көбей­
тіндісіне тең. Сол себепті:
1
2
cos
4 3 cos 60
4 3
2 3
AC
AB
A
=
=
⋅
° =
⋅ =
 (cм). 
Жауабы:
  
 
BC
 = 6 cм, 
2 3
AC
=
 cм. 
 1. 
Есептеңдер:
 
1) sin30° + tg45°;  2) cos30° · tg60°;  3) 
2 sin 45
cos 60 .
° −
°
 2. 
Тең  қабырғалы  үшбұрыш  сал  және  оның  биіктігін  жүргіз.  Қажетті  өл­
шеулерді орындап, 30º­тық және 60º­тық бұрыштардың тригоно метриялық 
функцияларын есепте, алынған нәтижелерді кестедегілермен салыстыр. 
 
 
3. 
ABCD
  параллелограмының 
BD
  диагоналі 
AB
  қабырғаға  перпенди­
куляр және 16 см­ге тең. Егер 
BDA 
бұрышы 30º­қа тең болса, парал­
лелограмның қабырғаларын тап. 
 
4. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  бір  катеті 
6 3
­ға,  ал  бұл  катеттің  қарсы­
сындағы бұрыш 60º­қа тең. Гипотенуза мен екінші катетті табыңдар. 
 5. 
Өрнекті ықшамдаңдар:
 
1) tg
2
α(2cos
2
α + sin
2
α − 1);   2) tg
2
α − sin
2
αtg
2
α.  
 
6. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  бір  катеті  2­ге,  ал  бұл  катеттің  қарсы­
сындағы бұрыш 60º­қа тең. Гипотенуза мен екінші катетті табыңдар.
 
7. 
Өрнекті ықшамдаңдар: 
 
  (sinα + cosα)
2
 + (sinα − cosα)
2
.    
 8.
  Есептеңдер:  1)  cos45° · sin45°;   2) sin60° · tg30°;    3) 
3 cos 30
cos 60 .
° −
°
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
 α
30° 45° 60°
sin
α
cos
α
tg
α
ctg
α
1
1
1
60°
A
C
B
3
cм
http:eduportal.uz

56
Оқулықтың  соңында  бүтін  санды  градустар  мен  1º­тан  89º­қа 
дейінгі  бұрыштарға  сәйкес  келген  тригонометриялық  функциялар  (он 
мыңнан  бірге  дейінгі  дәлдікпен)  көрсетілген  кесте  келтірілген.  Бұл 
кесте  төмендегідей  түзілген:  сол  жақтағы  бірінші  бағанаға  (жоғарғы 
жағына  “градустар”  деп  жазылғанына)  градустардың  сандары  1º,  2º, 
3º,  ...45º­қа  дейін  орналастырылған;      екінші  бағанаға  (жоғарғы  жағына 
“синустар”  деп  жазылғанына)  синустардың  бірінші  бағанада  көрсетілген 
бұрыштарға  сәйкес  келетін  мәндері қойылған;    3­бағанаға тангенстердің, 
одан  соң  котангенстердің  және  одан  кейін  косинустардың  мәндері 
орналастырылған.  Ең  соңғы  6­бағанаға  тағы  да  градустардың  сандары: 
яғни 45º, 46º, 47º, ... және ары қарай 89º­қа дейін орналастырылған. Ал бұл 
(орынды  үнемдеу  үшін)  төмендегіге  негізделіп  жасалған:  толықтырғыш 
бұрыштың  тригонометриялық  функцияларына  арналған  формулаларға 
сәйкес sina = cos(90° ­ 
α
), cos
α
 = sin (90° ­ 
α
) және тағы басқалар. Демек, 
sin1° = cos89°, sin2° = cos88° және т.б. Сондықтан жоғарыдағы “синустар” 
деп жазылған бағананың астына “косинустар”;  жоғарыдағы “тангенстер” 
деген  жазуы  бар  (сол  жақтан  3­)  бағананың  астына  “котангенстер”  деп 
жазылған және т.б. Осылайша 1º­тан  45º­қа дейінгі бұрыштар үшін градус 
сандарын  сол  жақтағы  бірінші  бағанадан  бастап,  ал  тригонометриялық 
функциялардың  аттарын  жоғарыдан  бастап  оқу,  ал  45º­тан  89º­қа  дейінгі 
бұрыштар  үшін  градус  сандарын  оң  жақтағы  соңғы  бағанадан  бастап, 
функциялардың  аттарын  бағаналардың  астынан  бастап  оқу  керек. 
Мәселен, кестеден тангенстің мәнін табайық:  tg35° = 0,7002.  
1. Берілген бұрыш бойынша тригонометриялық функцияларды табу.
1-есеп.
 sin20°­ты табыңдар.
Шешуі.
  1° ≤ 20° ≤ 45°  болғандығы  үшін 
сол  жақтағы
  “градустар” 
сөзі жазылған бағанадан 20­ны аламыз және оған сәйкес жолдағы екінші  
(«sin
α
»)  бағанадан  0,3420  мәнін  табамыз.  Міне,  осы  сан  sin20º­тың  мәні 
болып табылады.  Демек, sin20° ≈ 0,3420.
2-есеп.
 sin75° ­ты табыңдар. 
Шешуі.
  45° ≤ 75° ≤ 89°  болғандығы  үшін   
оң  жақтағы
  “градустар” 
сөзі жазылған бағанадан 75­ті алдамыз және оған сәйкес жолдың төртінші 
(төмендегі    «sin
α
»)  бағанасынан  0,9659  мәнін  табамыз.  Міне,  осы  сан 
sin75º­тың мәні болып табылады.  Демек, sin75° ≈ 0,9659.  
3-есеп.
 cos33°  ­ты табыңдар.
Шешуі.
  1° ≤ 33° ≤ 45°  болғаны  үшін 
сол  жақтағы
  “градустар”  сөзі 
жазылған    бағанадан  33­ті  аламыз  және  оған  сәйкес  жолдың  төртінші 
(«cos
α
»)  бағанасынан  0,8387  мәнін  табамыз.  Міне,  осы  сан  cos33º­тың 
мәні болып саналады.  Демек,  cos33° ≈ 0,8387.
                        
ТІКБҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШТАРДЫ ШЕШУ

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: