§ 2. ФАЛЕС ТЕОРЕМАСЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

24
1-есеп. 
(Кесiндiнi  тең  бөлiкке  бөлу.)
  Берiлген 
AB
  кесiндiсiн  тең 
n
 
бөлiкке бөліңдер. 
Шешуi.
 
AB
  кесiндi  берiлген.  Оны  тең 
n
  бөлiкке  бөлудi  көрсетемiз. 
А 
нүктеден 
AB
  түзуде  жатпайтын 
AC
  сәуленi  жүргiземiз  және  онда 
А
  нүктеден  бастап 
n
  тең
 AA
1
, 
A
1
A
2
, 
A
2
A
3
, ..., 
A
n
—1
A
n
 
кесiндiлердi,  яғни 
берiлген 
AB
  кесiндiнi  есептiң  шартына  қарай  неше  бөлiкке  бөлу  қажет 
болса,  сонша тең кесiндi саламыз (3- сурет,  
n
 = 6).  Содан соң 
A
n
B
 түзудi 
жүргiземiз  (
A
n
  нүкте  –  соңғы  кесiндiнiң  соңы)  және 
A
1
, 
A
2
, 
A
3
, ..., 
A
n
—1
 
нүктелер арқылы  
A
n
B
 түзуге параллель түзулер жүргiземiз.  Бұл түзулер 
AB
  кесiндiнi 
B
1
, 
B
2
, 
B
3
, ..., 
B
n
—1
  нүктелерiнде  қияды  және  оны  Фалес 
теоремасы бойынша тең 
n
 бөлiкке бөледi:
 
AB
1
 = 
B
1
B
2
 = ... = 
B
n
—1
B
.
Демек,  кез  келген  кесіндіні  қалағаныңша  тең  бөліктерге  бөлуге 
болады.
2-есеп.
 
АВС 
үшбұрышының 
ВС
 қабырғасы тең төрт кесiндiге бөлiнген 
және  бөлiну  нүктелерi  арқылы  ұзындығы  18  см-ге  тең 
АВ 
қабырғасына 
параллель  түзулер  жүргiзiлген.  Осы  түзулердiң  үшбұрыш  iшiнде  қалған 
кесiндiлерiнiң ұзындығын табыңдар.
Берілгені: 
 
∠
ABC
-дa: 
BB
1
 = 
B
1
B
2
 = 
B
2
B
3
 = 
B
3
C
, 
AB
 = 18 cм; 
 B
1
C
3
 
|| 
B
2
C
2
 
|| 
B
3
C
1
 
|| 
AB
.
Табу керек:  
 
B
1
C
3
, 
 B
2
C
2
, 
 B
3
C
1
 (4-сурет).
Шешуi.
 1) 
A
1
B
3
 
|| 
A
2
B
2
 
|| 
A
3
B
1
 
|| 
AC
 өткіземіз. 
2) Фалес теоремасына орай: 
AA
1
 = 
A
1
A
2
 = 
A
2
A
3
 = 
A
3
B
 = 
AB
 : 4 = 18 : 4 = 4,5 (cм).
2) Анықтамаға орай 
AA
1
B
3
C
1
 төртбұрышы – параллелограмм , өйткені  
AA
1
 
||
C
1
B
3 
(шартына орай)  және  
A
1
B
3
 
|| 
AC
1
 (жасалуына орай).
Демек, 
AA
1
 = 
C
1
B
3
 = 4,5 (cм).
3) Анықтамаға орай,  
AA
2
B
2
C
2
 төртбұрышы – параллелограмм, өйткені  
AA
2
 
|| 
C
2
B
2 
 (шартына орай) және  
A
2
B
2
 
|| 
AC
2 
 (жасалуына орай). Демек,
AA
2
 = 
C
2
B
2
 = 2
AA
1
 = 2 · 4,5 = 9  (cм).
4) Анықтамасына орай, 
AA
3
B
1
C
3
 төртбұрышы – параллелограмм, өйт-
A
B
A
1
A
n 
−
 
1
 
A
n
B
n 
−
 
1
 
B
1
B
2
B
3
A
2
A
3
 ...
 ...
C
B
1
B
2
B
3
A
3
A
2
3
A
1
B
A
C
C
3
C
2
C
1
4
http:eduportal.uz

25
кені  
AA
3
 
||
C
3
B
1
  
(шартына орай) және  
A
3
B
1
 
|| 
AC
3 
 (жасалуына орай).  Демек,  
AA
3
 = 
C
3
B
1
 = 3
AA
1
 = 3 · 4,5 = 13,5 (cм).
Жауабы: 
 
 
C
1
B
3
 = 4,5 cм, 
 C
2
B
2
 = 9 cм, 
 C
3
B
1
 = 13,5 cм.
B
B
1
B
3
A
3
A
2
A
1
A
B
2
B
4
a
b
O
A
5
C
E
B
D
5
7
7
A
N
D
B
M
C
A
4
?
6
7
A
K
B
C
D
8
a
4
b
3
3
x
9
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
 1. 
1) Фалес теоремасын айтыңдар.
 
2) Фалес теоремасы тек бұрыштар үшін ғана орынды ма?
 
3) Берілген кесінді қалайша  n  бөлікке тең бөлінеді?
 2. 
(
Практикалық тапсырма
). Циркуль мен сызғышты пайдалана отырып, 
бе рілген АВ кесіндіні:  1) екі;  2) үш;  3) алты;  4) жеті тең бөлікке бө-
лің дер.
 3. 
 
Берілген:
 
∠
A
, 
AB
 = 
BD
 = 7 cм, 
BC
 || 
DE
, 
CE
 = 5 cм (5-сурет).
 
Табу керек:
   
AC
.
  4.
 
Берілген:
 
∠
aO b
, 
OA
 =
 AA
1
 = 
A
1
A
2
 =
A
2
A
3 
= 
A
3
A
4
, 
 
AB
 || 
A
1
B
1
 || 
A
2
B
2
 || 
A
3
B
3
 || 
A
4
B
4
, 
OB
4
 = 8  cм  (6-сурет).
 
 
Табу керек: OB
1
, 
OB
2
, 
OB
3
.
 5. 
ABCD
  папаллелограмында 
М
  нүктесі  – 
ВС 
қабырғаның, 
N
  нүктесі  
AD
 қабырғаның ортасы. 
BN
 және 
MD
 түзулері параллелограмның 
АС 
диагоналін теңдей үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңдер (7-сурет).
 6. 
ABCD
 трапециясында  
В
 төбесі арқылы 
CD
 қабырғасына параллель 
ВК 
түзуі жүргізілген (8-сурет).
 
1) 
KBCD
 – параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
 
2)  Егер 
BC
 = 4 cм, 
P
ABK
 = 11 см болса, онда трапе-
цияның периметрін табыңдар.
 7. 
Циркуль  мен  сызғышты  пайдаланып,  берілген 
АВ
 кесіндісін: 1) төрт; 2)  бес тең бөліктерге бө-
лің дер.
 8. 
a
 || 
b
  екені  белгілі.  9-суретте  берілген  мәлімет-
терді пайдаланып,  
х
-ті табыңдар.
 9. 
Берілген: 
∠
aOb
, 
OA
 =
 AA
1
 = 
A
1
A
2
 = 
A
2
A
3 
= 
A
3
A
4
,
 AB 
||
 A
1
B
1
||
 A
2
B
2
 ||
 A
3
B
3
 || 
A
4
B
4
, 
OB
4
 – 
B
3
B
4
 = 18 cм 
      (6-суретке қараңдар). 
 
Табу керек:
  
OB
1
, 
OB
2
, 
OB
3
.
http:eduportal.uz

26
1-теорема.
1.  Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті.
Анықтама.
 
Үшбұрыштың  екі  қабырғасының  орталарын  қосатын 
кесіндіні үшбұрыштың 
орта сызығы
 деп атайды.
ABC
 үшбұрышта 
AD
 = 
DB
 және 
CE
 = 
EB
 болсын, онда 
DE
  орта сы зығы 
болады  (анықтама  бойынша). 
DE
  орта  сызығына  қарағанда 
AC 
қа бырға 
табаны
 деп аталады (1- сурет). Кез келген үшбұрыштың үш орта сызығы 
болады (2- сурет).
Үшбұрыштың берiлген екi қабырғасының орталарын қосатын орта 
сызығы оның үшiншi қабырғасына параллель және оның жартысына 
тең болады.
Берiлген:
 
 ABC
 да: 
AD
 = 
DB 
және
 CE
 = 
EB,  DE  
орта сызық (3- сурет).
Дәлелдеу керек:
 
 1) 
DE
 ||
 AC
;  2)
1
2
DE
AC
=
. 
Дәлелдеу.    1)  DE 
кесінді 
АВС 
үшбұрышының  орта  сызығы  болсын. 
D 
нүктесі  арқылы
 AC 
қабырғасына  параллель  түзу  жүргіземіз.  Бұл  түзу 
Фалес теоремасына орай ВС кесіндіні ортасынан қиып өтеді, яғни 
DE 
орта 
сызығын өзіне қаптып алады. Жасалуына орай 
DE || AC. 
2)  Енді 
ЕҒ 
орта  сызығын  жүргізейік.  1-бапта  дәлелденуіне  орай, 
ол 
АВ
  қабырғасына  параллель  болады:   
EF  ||  AB, 
бұдан
  EF  ||  AD. 
ADEF 
төртбұрышының  қарама-қарсы  қабырғалары  өзара  параллель 
болғандықтан,  сондай-ақ  анықтамаға  орай,  параллелограмм  болады. 
Параллелограмның қасиеттеріне орай
 DE = AF, 
Фалес теоремасына орай,
 
АҒ = ҒС 
болғандықтан,
1
2
DE
AC
=
. Теорема дәлелденді.
1-есеп.
 
Үшбұрыштың периметрi 
р
-ге тең. Төбелерi берiлген қабырға-
ларының ортасындағы үшбұрыштың периметрін табыңдар.
10–11. ҮШБҰРЫШТЫҢ ОРТА СЫЗЫҒЫНЫҢ ҚАСИЕТІ.
 ТРАПЕЦИЯ ОРТА СЫЗЫҒЫНЫҢ ҚАСИЕТІ
A
B
1
C
A
F
C
A
F
C
B
B
D
E
E
D
D
E
2
3
http:eduportal.uz

27
2-теорема
Шешуі.
    Пайда  болған  үшбұрыштың  қабырғалары  берілген  үшбұ-
рыш тың  орта  сызықтары  болады  (2-сурет).  Демек,  олар  сәйкес  қабыр-
ғаларының  жартысына  тең.  Сол  себепті  іздестіріліп  жатқан  пери метр 
берілген үшбұрыш периметрінің жартысына тең болады:
        
P
DEF
 = 
DE
 + 
EF
 + 
FD
 = 0,5(
AC
 + +
AB
 + 
BC
) = 0,5 
p
.      
  
Жауабы: 
 
0,5 
p
.
2.  Трапеция орта сызығының қасиеті.
Анықтама.
 
Трапецияның бүйір қабырғаларының ортасын қосатын 
кесінді  
трапецияның орта сызығы
  деп аталады.
ABCD 
трапеция берiлген болсын, онда 
AD
 және 
BC
 – трапецияның та-
бандары; 
AB
 және 
DC
 оның бүйiр қабырғалары, 
E
 және 
F
 нүктелер бүйiр 
қабырғаларының орталары болсын (4- сурет). Мұнда 
EF
  –  трапецияның  
орта сызығы болады.
Трапецияның орта сызығы оның табандарына параллель және 
олардың жарым қосындысына тең болады.
Дәлелдеу.  ЕF
  табандары 
АD
  және 
ВС 
болған 
АВСD
 трапециясының орта сызығы 
болсын делік (
АD ||ВС
). 
ВF
 түзуін жүргіземіз 
де, оның 
АD
 түзуімен қиы  лысатын нүктесін 
Р 
деп белгілейміз (5-су рет). Үшбұрыштар 
теңдігінің  екінші  белгісіне  орай,   
ВСF
 
және 
РDF
  үшбұрыштары  тең  (
СF  =  DF
 
шарты  бойынша 
∠
1= = 
∠
2  —  вертикаль 
бұрыштар  және   
∠
3 = 
∠
4  —  және 
АD
 
параллель түзулері мен 
СD
 қиюшы түзген 
ішкі айқыш бұрыштар болғандығы себепті). 
Бұл үшбұрыштардың теңдігінен қабырғалар 
тең  деген  қорытынды  шығады: 
ВҒ  =  РҒ
  
және  
ВС
 = 
DР
.  Демек, трапецияның  
ЕҒ
 
орта сызығы –
 АВР
 үшбұрышының да орта 
сызығы екен. Үшбұрыш орта сызы  ғының 
қасиетіне орай: 
EF
 || 
AP 
және
1
2
EF
AP
=
 келiп 
шығады
.  
AD
 || 
BC 
болғаны үшін
 ЕҒ 
екі табанға да параллель болады және 
ол төмендегідей өрнектелуі мүмкін
1
1
1
(
(
2
2
2
)
)
EF
AP
AD DP
AD BC
=
=
+
=
+
.
Демек,  
EF
 ||
 AD
 || 
BC 
және 
1
(
2
)
EF
AD BC
=
+
. Теорема дәлелденді.
Салдар. 
Трапецияның  бүйір  қабырғасының  ортасынан  өтетін 
және  табандарына  параллель  болатын  түзу  екінші  бүйір  қабырғаны 
тең екіге бөледі.  
Бұны өздерің дербес дәлелдеңдер.
A
D
B
C
E
F
B
A
D
P
E
F
4
5
C
3
1
2
4
http:eduportal.uz

28
 1. 
1
) Үшбұрыштың орта сызығы деп нені айтады?
 
2) Үшбұрышта неше орта сызық салуға болады?
 2.
  Үшбұрыштың  қабырғалары  5  см,  7  см  және  11  см-ге  тең.  Төбелері 
осы  үшбұрыш  қабырғаларының  ортасында  жататын  үшбұрыштың 
қабырғаларын табыңдар.
 3. 
Үшбұрышщтың орта сызықтары 6 см, 7 см және 9 см-ге тең болатын 
үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
 4. 
Трапецияның  диагональдары  оның 
орта  сы зы ғы 
ЕҒ
-ті 
Е
  төбесінен  бастап  5  см,  7 
см  және  4  см-лік  кесінділерге  бөледі  (6-сурет). 
Трапецияның табандарын табыңдар.
 5.
 
ABC
  үшбұрышы  қабырғаларының 
әрқайсысы  үш  тең  кесіндіге  бөлінген  және 
бөліну  нүк телері  кесінділермен  тұтастырылған. 
АВС 
үш бұрышының  периметрі 
р
-ге  тең  болса, 
7-су ретте  пайда  болған  пішіннің  периметрін 
табыңдар.
 6. 
Трапецияның табандары:  1)  4,5 дм және 8,2 дм-ге;   2) 9 см және 21 
см-ге тең. Оның орта сызығының ұзындығы қанша болады?
 7. 
ABCD
  трапециясында  (8-сурет) 
ЕҒ 
кесіндісі 
CD
  қабырғасына  парал-
лель, ал Е нүктесі – АВ-ның ортасы. 
EF = 0,5CD
 екенін дәлелдеңдер.
 8. 
9-суреттегі белгісіз ұзындықты есептеңдер.
 9. 
Трапецияның диагональдары оның орта сызығын әрқайсысы 6 см-лік 
кесінділерге бөледі. Осы трапецияның табандарын табыңдар.
10. 
Тең бүйірлі трапецияның ұзындығы 6 см-ге тең диагоналі табанымен 
60º-тық бұрыш жасайды. Трапецияның орта сызығын табыңдар.
11.
  Трапецияның  үлкен  табаны  кіші  табанынан  3  есе  үлкен  және  оның 
орта сызығы 20 см-ге тең. Трапецияның табандарын табыңдар.
12. 
Трапецияның периметрі 40 см-ге, ал параллель емес қабырғаларының 
қосындысы 16 см-ге тең. Осы трапецияның орта сызығын табыңдар.
ABCD
 – трапеция.
Табу керек:
   
x
, 
y
, 
z
.
B
C
4
A
  
8
D
P
F
E
P
1
F
1
E
1
x
y
z
A
D
B
C
E
F
P
T
6
9
B
C
A
7
B
 C
 A
D
E
F
8
?
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
http:eduportal.uz

29
 
  Зерттеуге арналған есептер.
1-есеп.
 Қабырғаларының саны  
n
  болған көпбұрышты салыңдар және 
оның диагональдарын жүргізіңдер. Онда: 1)  
n 
= 5;  2) 
n
 = 7;  3) 
n
 = 8.  Көп-
бұ рыш тың түрлі диагональдарының санын (
d
n
) есептеу формуласын ойла-
нып табыңдар.
Шешуі. 
 1)  
n
 = 5. 
 А
 төбесінен 2 
AC
 және 
AD, 
B
 төбесінен 2 
BD
 және 
BE
 диагональдары шығады 
және  т.б.  Көпбұрыштың  бес  төбесінің  әрқай-
сысынан 2-еуден диагональ шығады (1-сурет).
Бұдан  дөңес  бесбұрыштардың  әрбір  төбесінен 
шыққан  диагональдары  санының  қабырғалары  са-
ны нан  3-еуге  аздығы,  яғни  5  –  3  =  2-ге  тең  екені 
келіп  шығады.  Барлық  төбелерден  шыққан  диа-
го нальдар  санын  табу  үшін  қабырғалардың  санын 
2-ге көбейтеміз:  5 · (5 – 3) = 5 · 2 = 10.
Бұл  көбейтіндіде  әрбір  диагональ  екі  реттен  есепке  алынған.  Бірақ  
АС  және  CA,  BD  және  DB  т.б.  –  бір  диагональдің  екі  түрлі  белгіленуі 
болып табылады, яғни олар жаңа диагональдар емес. Сол себепті шыққан 
көбейтіндіні 2-ге бөліп, түрлі диагональдардың жалпы санын табамыз:  
5 · 2 : 2 = 5.
Демек, дөңес бесбұрыштардың түрлі диагональдарының жалпы саны 
төмендегіге тең: 
                                 
1
5
1
5 (5 3)
5 2
2
2
.
⋅ −
⋅
=
=
=
d
5
                       
      
Жауабы: 
 5-еу.
2) 
n 
=  7.  Дөңес  жетібұрыштың  түрлі  диагональдарының  жалпы 
саны  жоғарыда  көрсетілген  мәселе  сияқты  етіп  табылады.  Жасалған 
талқылаулар  барысында  анықталған  заңдылықтарға  сүйеніп,  дөңес  жеті-
бұрыштың диагональдары санын төмендегідей табамыз (2-сурет):           
                                         
                            
2
7
1
7 (7 3)
7 4
2
2
.
⋅ −
⋅
=
=
=
d
14
                              
Жауабы:
 
14.
E
A
B
C
D
1
A
B
C
B
C
D
E
F
G
H
A
D
E
F
G
2
3
12. ПРАКТИКАЛЫҚ ЖАТТЫҒУЛАР ЖӘНЕ ҚОЛДАНУ
http:eduportal.uz

30
3)  Дөнес  сегізбұрыштың  барлық  диагональдарының  саны  жоғарыда 
көрсетілген  есептің  шешуі  сияқты  табылады.  Есептеулер  бойынша 
анықталған заңдылықтар негізінде дөнес көпбұрыштардың диагональдары 
санын табамыз (3-сурет):
                                      
4
8
1
8 (8 3)
8 5
2
2
.
⋅ −
⋅
=
=
=
d
20
           
Жауабы:
 20.
Демек,  кез  келген  дөңес  көпбұрыштың  түрлі  диагональдарының 
жалпы саны төмендегі формула бойынша табылады:
                                       
(
)
n
n n
d
−
=
3
2
.
Ескерту!  
Дөңес n  бұрыштың бір төбесінен шыққан диагональдары 
оны (n – 2) үшбұрышқа бөледі. 
2-есеп. 
Көпбұрыштың 25 диагоналі болуы мүмкін бе?
Шешуі.
 
n
  бұрыштың  түрлі  диагональдарының  жалпы  саны 
 
(
3)
2
−
=
n
n n
d
  -ға  тең.  Демек, 
(
3)
2
25
n n
−
=
.  Ондай  жағдайда 
n
(
n
 − 3) = 50 
немесе  
n
(
n
 − 3) = 2 · 5 · 5. Бұдан көрініп тұрғанындай, 50 санын бір-бірінен 
айырмасы  3-ке  тең  болатын  екі  натурал  санның  көбейтіндісі  көрінісінде 
өрнек теуге болмайды. Сондықтан да түрлі диагональдарының жалпы саны 
25 болатын көпбұрыш жоқ.                      
Жауабы:
 жоқ, болуы мүмкін емес.
3-есеп
. Математика бөлмесіндегі суреттерде бейнеленген үшбұрыштар 
мен  көпбұрыштардың  саны  15.  Бұл  пішіндердің  қабырғаларының  жалпы 
саны 53. Сонда суреттерде неше үшбұрыш және неше төртбұрыш бейне-
ленген?
Шешуі.
  Төртбұрыш  қабырғаларының  саны  натурал  санның  ерікті 
мәнінде  төрт  еселі,  яғни  жұп  сан  болады.  Үшбұрыштың  саны  тақ  сан 
болғанда ғана қосынды тақ болады.
Есептің шартына орай, теңдік түземіз: 3
x
 + 4
y
 = 53.
Төменде мүмкін болған варианттарды қарастырамыз. Теңдіктегі белгі-
сіздердің орнына тиісті мәндерді қойып, оны қанағаттандыратын шешімді 
табамыз.
1-жағдай.  
х
 = 1 және у = 14 болсын. Онда  3 · 1 + 4 · 14 = 53, яғни 59 ≠ 53.
2-жағдай.  
х
 = 3,  
у
 = 13;   3 · 3 + 4 · 12 = 53,  яғни 57 ≠ 53.
3-жағдай.  
х
 = 5,  
у
 = 10;   3 · 5 + 4 · 10 = 53,  яғни 55 ≠ 53.
4-жағдай.  
х
 = 7, 
 у
 =  8;    3 · 7 + 4 · 8 = 53,   яғни  53 = 53.
4-жағдай  есептің  шартын  қанағаттандырады,  сондықтан  басқа  жағ-
дайлар қарастырылмайды.                   
Жауабы: 
 7 үшбұрыш,  8 төртбұрыш.
Нығайтуға арналған қосымша жаттығулар.
 1. 
Дөңес  көпбұрыштың  бір  төбесінен  шыққан  диагональдардың  саны 
13.  Осы  көпбұрыштың  қабырғаларының  саны  нешеу?  Барлық  диаго-
нальдарының саны ше?
 2. 
Диагональдарының саны: 1) қабырғаларының санына тең; 2)  қабырға ла-
ры ның санынан аз; 3) қабырғаларының санынан артық көпбұрыш бола ма?
 
http:eduportal.uz

31
ПРАКТИКАЛЫҚ КОМПЕТЕНЦИЯНЫ (БІЛІКТІЛІКТІ)
ДАМЫТАТЫН  ҚОСЫМША МАТЕРИАЛДАР
ТҰРАҚТЫ КӨПБҰРЫШТЫ ПАРКЕТТЕР
Сендер,  әрине,  паркет  жөнінде  белгілі  бір  түсінікке  иесіңдер. 
Үйлердің,  түрлі  ғимараттардың  едендері  көбінесе  тіктөртбұрышты, 
квадрат және тұрақты алтыбұрышты паркеттермен безендіріледі.
Математикалық  көзқарас  тұрғысынан  алғанда,  паркет  –  жазықтықты 
геометриялық  пішіндермен  бір-біріне  тығыз  және  бір-бірімен  қиылыс-
пайтындай  етіп  орналастыру  болып  табылады.  Алдымен  тұрақты  көп-
бұрыштарды  –  квадрат,  төртбұрышты  және  алтыбұрышты  паркеттерді 
қарастырамыз.  Бірдей  квадраттардан    түзілген 
торкөзді  дәптерлерің  –  ең  қарапайым  паркеттерге 
мысал  бола  алады.  1-суретте  –  тұрақты  үшбұ-
рыштардан;  2-суретте  –  квадрат  пен  тұрақты 
алтыбұ рыштардан;  ал  3-суретте  –  тұрақты  алты-
бұ рыш тардан,  квадраттардан  және  тең  қабыр-
ғалы  үшбұрыштардан;    4-суретте  –  тұрақты  алты-
бұрыштар  мен  үшбұрыштардан  жасалған  әсем 
паркеттер бейнеленген.
Жазық  бетті  көпбұрыштармен  қаптау,  онда 
ерікті  екі  көпбұрыштың  ортақ  қабырғаға  немесе 
ортақ төбеге ие болуы не ортақ төбелерге мүлде ие 
болмауы – паркет деп аталады.
Егер  паркет  тұрақты  көпбұрыштардан  құрал-
ған  болса  және  әрбір  төбенің  айналасында  көп-
бұрыштар бірдей әдіспен орналасқан болса, бұндай 
паркет  
тұрақты
  деп аталады.
Тең  қабырғалы  үшбұрыштар,  квадраттар  және 
тұрақты  алтыбұрыштар  жазық  бетті  қаптайтын 
паркеттерге  мысал  бола  алады.  Бұлардан  өзге  тұ-
рақ ты көпбұрыштармен жазық бетті қаптау мүмкін 
еместігін  дәлелдейміз.  Ол  үшін  паркеттің  бір 
төбесінен  шығатын  көпбұрыштардың  бұрыш та ры-
ның қосындысы 360º-қа тең болуын пайда ланамыз.
Бұл  мақсат  үшін  тұрақты  бесбұрышты  қарас-
тырайық.  Бәрімізге  белгілі  болғанындай,  тұрақты 
1
2
3
4
http:eduportal.uz

32
бесбұрыштың  ішкі  бұрыштары  108º-қа  тең. 
Паркеттің бір төбесіне үш тұрақты бесбұрышты 
орналастыру  мүмкін  емес,  өйткені  ондай 
жағдайда  бұрыштардың  қосындысы  324º<  360º 
болады.  Егер  тұрақты  бесбұрыштар  саны  4-ке 
тең  немесе  одан  үлкен  болса,  ондай  жағдайда 
бұрыштардың  қосындысы  432º>360º  болады. 
Сондықтан  тұрақты  бесбұ рыштардан  құралған 
паркеттер  жоқ.  Нақ  сол  сияқты  паркеттің 
бір  төбесіне  үш  немесе  одан  артық  тұрақты 
жетібұрышты, тұрақты сегіз бұрышты және тағы 
басқа  паркет  бөлегін  орналастыру  мүмкін  емес, 
өйткені  олардың  әрбір  бұрышы  120º-тан  үлкен 
және  олардың  қосындысы  360º-тан  асып  кетеді. 
Сол  себепті  тұрақты  жетібұрыштан,  тұрақты 
сегізбұрыштан  және  басқалардан  жасалған 
паркеттер жоқ.
5-суреттегі  тұрақты  алтыбұрыштардан, 
квад  раттардан  және  тең  бү йір лі  үшбұрыштардан  құралған  паркеттер 
3-су реттегі  паркеттерден  орна ласуы  тұрғысынан  ерекшеленіп  тұрады. 
Ал  6-суретте  тең  бүйірлі  үшбұрыштар  мен  квадраттардан  құралған 
паркет  бейнеленген.    Келтіріл ген  екі  паркетте  де  жалпы  заңдылықтың 
сақталғанын  көруге  болады,  яғни  әрбір  төбесі  айналасында  орналасқан 
пішіндердің  ішкі  бұрыштарының  қосындысы  360º-қа  тең  екендігі  айқын 
байқалады.  Мысалы,  5-суретте  60º  +  90º  +  90º  +  120º  =  360º,  яғни  бір 
төбесінің  айналасында  бір  тең  бүйірлі  үшбұрыш,  2  квадрат  және  бір 
тұрақты алтыбұрыш орналасқан;  ал 6-суретте бір төбенің айналасында 3 
тең бүйірлі үшбұрыш (әрбір ішкі бұрышы 60º-тан) және 2 квадрат (әрбір 
ішкі бұрышы 90º-тан) орын тепкен.
Жазықтықтың бетін қаптайтын тұрақты паркеттердің басқа түрлерімен 
төмендегі  кестеден  танысасыңдар.  5–6-суреттердегі  паркеттерді  өздерің 
жасап көріңдер. 
α
1
α
2
α
3
α
4
α
5
α
6
 
α
1
 + α
2
 + α
3
 + ... = 360°  
60°  
60°  
60°  
60°  
60°
60°
Үшбұрыштардан жасалған паркет 
60°  
60°  
120° 
120° 
Үшбұрыштар мен алтыбұ-
рыштардан жасалған паркет
60° 
90°
90°
120°
Үшбұрыш, квадрат және алтыбұ-
рыштардан жасалған паркет
60°  
150°  150°
Үшбұрыштар мен онекібұрыш-
тардан жасалған паркет
90°  
90° 
90°
90°
Квадраттардан жасалған паркет
120°  
120° 
120°
Алтыбұрыштардан жасалған 
паркет
5
6
http:eduportal.uz

33
 1.
  Тік  төртбұрыштың  периметрі  40  см-ге,  қабырғаларының  қатынасы  3  :  5-ке 
тең. Осы тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
 
 2. 
Параллелограмның  қабырғаларының  біреуі  екіншісінен  4  есе  үлкен,  ал 
периметрі 30 см-ге тең. Параллелограмның қабырғаларын табыңдар.
 3. 
Тік бұрышты трапецияның сүйір бұрышы 45º-қа, кіші бүйір қабырғасы  мен 
кіші табаны 16 см-ге тең. Трапецияның үлкен табанын табыңдар.
 
4.
 
АВСD  
трапециясында
  АD – 
үлкен табаны.
 В 
төбесі арқылы 
 СD 
қабырғаға 
параллель  және
  АD 
қабырғасын  қиып  өтетін  түзу  жүргізілген: 
ВС  = 
7  см
, 
 
АЕ = 4 
см. 1) Трапецияның орта сызығын; 
 
2) 
АВЕ 
үшбұрышының периметрі 
17 см болса, сол трапецияның периметрін табыңдар.
Өзіңді сынап көр!
1-TEСT
 1. 
Дөңес  төртбұрыштың  бұрыштарының  бірі  —  тік  бұрыш,  ал  қалғандары 
өзара 3:4:8 қатынасында. Төртбұрыштың сүйір бұрышын табыңдар.
 
А)  72º;                     Ә)  54º;                 Б)  144º;                   В)  90º.
 2. 
Әрбір ішкі бұрышы 156º болған дөңес көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
       А)  10;                       Ә)  15;                   Б)  12;                       В)  8.
 3. 
АВСD 
параллелограмының  периметрі  32  см-ге,
  ВD 
диагоналі  9  см-ге  тең.  
АВD 
үшбұрышының периметрін табыңдар.
       А)  16 см;                 Ә)  25 см;               Б)  23 см;                  В)  41 см.
 4. 
Екі бұрышының қосындысы 100º-қа тең параллелограмның үлкен бұрышын 
табыңдар.
        А)  120º;                     Ә)  110º;                  Б)  150º;                      В)  130º.
 5. 
Ромбының  бұрыштарының  біреуі  150º-қа  тең,  ал  кіші  диагоналі  4,5  см. 
Ромбының периметрін табыңдар.
        А)  27 см;                   Ә)  18 см;                Б)  13 см;                    В)  21,5 см.
 6. 
АВСD 
трапециясының  орта  сызығы  оны  орта  сызықтары  13  см-ге  және 
17  см-ге  тең  болған  екі  трапецияға  бөледі.  Трапецияның  үлкен  табанын 
табыңдар.
        А)  19 см;                   Ә)  21 см;                Б)  18 см;                    В)  30 см.
 7. 
Үшбұрыштың  орта  сызығы  оның  табанынан  5,4  см  қысқа.  Үшбұрыштың 
орта сызығы мен табанының қосындысын табыңдар.
        А)  13,5 см;                Ә)  16,2 см;             Б)  10,8 см;                  В)  21,6 см.
 8. 
Тең  бүйірлі  трапецияның  периметрі  36  см,  орта  сызығы  10  см.  Бүйір 
қабырғасының ұзындығын табыңдар.
       А)  10 см;                   Ә)  8 см;                  Б)  12 см;                     В)  13 см.
 9. 
Трапецияның  орта  сызығы  9  см,  табандарының  біреуі  екіншісінен  6  см 
қысқа. Трапецияның үлкен табанын табыңдар.
       А)  15 см;                   Ә)  18 см;                Б)  12 см;                     В)  10 см.
13–14. 1-БАҚЫЛАУ ЖҰМЫСЫ.  ҚАТЕЛЕРМЕН ЖҰМЫС ІСТЕУ
3 – Геометрия, 8-сынып
http:eduportal.uz

34
Ежелгi  Египет  және  Вавилон  математикасында 
төрт бұрыштардың төмендегi түрлерi кездеседi: квад-
раттар,  тiк  төртбұрыштар,  тiкбұрышты  және  тең 
бүйiрлi трапециялар.
Ортаазиялық  ғалымдардан 
Әбу  Райхан  Беруни 
де төртбұрыш тардың түрлерiне толық тоқталған.  Ол 
өзiнiң  «Астрономия  өнерiнен  бастауыш  мағлұмат 
берушi  кiтап»  атты  шығармасында  «Төртбұрыш-
тардың түрi қандай?» – деп сұрақ қояды және төмен-
дегiдей жауап бередi:
«
Бiрiншi 
— квадрат,  оның  барлық  қабырғалары 
тең,  бар ша  бұрыштары  тiк,  диагональдары,  яғни 
қарама-қарсы  бұ рыш та рын  (төбесiн)  түйiстiретiн 
сызықтары өзара тең.
Екiншi
 — тiк  төртбұ рыш,  ол  квадратқа  қарағанда  ұзындау,  барлық 
бұрыштары  тiк,  қабыр ғаларының  ұзындықтары  әр  түрлi,  олардың  тек 
қарама-қарсы қабыр ғалары және диагональдары тең.
Үшiншi 
— ромб, оның төрт қабырғасы тең, бiрақ диагональдары әр 
түрлi, ал бұрыштары тiк бұрыш емес.
Төртiншi
 — ромбоид,  оның  диагональдары  әр  түрлi,  тек  екi-екiден 
қарама-қарсы қабырғалары тең.
Бұл пiшiндерден өзгеше төртбұрыштар трапеция деп аталады».
Квадрат
 латынша  «төрт бұрышты» деген мағынаны бередi. Беруни 
арабша  «
мурабба
  (төртбұрыш)»  терминiн  қолданған,  латыншаға    осы 
арабша  термин  аударылған.  Тiк  төртбұрыштың  арабшасы  «
муста­
тил
» — «созыңқы».
Ромб терминiнiң жүзеге келуi әр түрлi түсiндiрiледi. Ол грекше сөз, ромб 
— «айналушы дене», «зырылдауық» деген мағынаны бередi.  Геометрияға 
бұл термин зырылдауық қимасы ромбқа ұқсағандықтан енген.  Арабшада 
«ромб» үшiн «нақты» терминi алынған.
Трапеция — грек сөзі, аудармасы «үстелше»  (тама
қ танатын үстел) 
дегенге
 тура келедi, лексикалық мағынасы — төрт аяқты. Шынында  да, 
грекше «трапедзион» — үстелше, тамақтанатын үстел.
Беруни  де 
«трапецияны»   –  «бесбұрыш»
  деп  атаған.  Бұл  термин  – 
грекше 
«трапедзионның»
 арабшаға дәл аудармасы.
Тарихи мағлұматтар 
Әбу  Райхан 
Беруни
(973–1048)
Ағылшын тілін үйренеміз!
Көпбұрыш 
–
 
polygon 
 
Периметр 
– perimeter
Тік төртбұрыш 
 – rectangle
  
Диагональ 
– diagonal
Ромб 
– rhombus
  
Параллелограмм 
– parallelogramm
Квадрат 
– square
  
Трапеция 
– trapezoid
Биіктік 
– height 
 
Бұрыш
– angle
http:eduportal.uz

35
Тригонометрия  – 
математиканың  бір  бөлімі,  ол  үшбұрыштың  қа­
бырғалары  мен  бұрыштары  ортасындағы  байланыстарды,  тригоно мет ­
риялық  функциялардың  қасиеттері  мен  олардың  арасындағы  қаты нас­
тарды  зерттейді. 
“Тригонометрия” 
сөзі  грек  тіліндегі 
“тригон” 
–  үш­
бұрыш және 
“метрезис”
 – өлшеу деген сөздерден алынған, қазақ тілінде 
“үшбұ рыштарды өлшеу”
 деген мағынаны білді реді. 
Тригонометрияның  негізгі  міндеті 
үшбұрыш­тарды­ шешу
ден  тұрады. 
Үшбұрыш  геометрияның  ең  маңызды  пішіндерінің  бірі  болып  саналады. 
Сондықтан да біз үшбұрыштарды оқып­үйренуді одан әрі жалғастырамыз. 
Бұл тараудың мақсаты үшбұрыштардың бірер элементін (қабырғалары мен 
бұрыштары) басқа элементтері арқылы өрнек теу болып табылады.
Катеттері
­ BC­ =­ a
  және 
AC­ =­ b
,  гипотенузасы 
AB­ =­ c
  және  сүйір  бұрышы 
∠
A­
= α  болған  тік 
бұрышты    (
∠
С  =  90°)  ABC  үшбұрышы  берілген 
дейік (1­сурет).
Бұл  үшбұрыштың  қабырғаларының  қатынас­
тарын жұп­жұбымен қа рас тырайық:
  –  α  бұрыштың  қарсысындағы  катеттің 
гипотенузаға қатынасы;
 – α бұрышқа түйіскен катеттің гипотенузаға қатынасы;
  –  α  бұрыштың  қарсысындағы  катеттің  сол  бұрышпен  түйісетін 
катетке қатынасы;
  –  α  бұрышпен  түйіскен  катеттің  сол  бұрыштың  қарсысындағы 
катетке қатынасы;
 – гипотенузаның  α  бұрышпен түйісетін катетке қатынасы;
 – гипотенузаның  α  бұрыштың қарсысындағы катетке қатынасы.
Сонымен барлығы 6 қатынасты да түзіп шықтық. 
15. Сүйір бұрышТың СинуСы, коСинуСы, 
ТангенСі және коТангенСі
іі Тарау.
Тік бұрышТы үшбұрышТың 
ҚабырҒаЛары Мен 
 бұрышТары араСынДаҒы 
ҚаТынаСТар

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: