Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

15
Шешуi. АВ + АD = Р
АВСD
 : 2 = 24 : 2 = 12 (см) — сыбайлас бұрыштардың 
қосындысы (2-суретке қараңдар).  
Р
АВD 
= АВ + АD + ВD 
= 12 + 9 = 21 (см).   
Жауабы:
 
Р
АВD 
= 21 см.
2-ес е п .
  ABCD
  тiк  төртбұры-
шындағы 
В
 бұрышының биссектрисасы 
AD
  қа быр ғасын 
Р
  нүктеде  қияды, 
сонымен  қатар  оны 
АР
 = 17  см  және 
PD
 = 21  см- лiк  ке сiндiлерге  бөледi 
(3-сурет).  Сол  тiк  төрт бұрыштың 
периметрiн тап.
Шешуi.
  1) 
ABCD
 — тiк  төртбұрыш 
бол ғандықтан, 
AD
 ||
BC
  және  сол  үшiн 
∠
2 = 
∠
3.  Бiрақ,    шарт  бойынша 
∠
2 = 
∠
1,    демек,   
∠
1 = 
∠
3,  сондай-ақ  
D
ABP
 — табаны 
BP
 болған тең бүйiрлi үшбұрыш. Сөйтiп,  
AВ
 = 
AP
 = 17 см.
2)  
AD
 = 
AP
 + 
PD
 = 17 + 21 = 38 см; 
P
ABCD
 =  2(
AB
 + 
AD
) = 2 
.
 (17 + 38) = 2 
.
 55 = 110 см.  
Жауабы:
 
P
ABCD
 = 110 см.
 1. 
1) Қандай параллелограмм тiк төртбұрыш деп аталады?
 
2) Тік төртбұрыштың қандай қасиеттері бар?
 
3) Тік төртбұрыштың белгілерін айт.
 2. 
ABCD
 тік төртбұрышында: 
 AB
 = 9 cм, 
BC
 = 7 cм. 
 
1) 
C
 нүктесінен 
AD
 қабырғасына дейінгі арақашықтықты табыңдар.
 
2) 
AB
  және 
CD
 түзулері ортасындағы қашықтықты табыңдар.
 3. 
Тік  төртбұрыштың  ауданы  24  см.  Тік  төртбұрыштың  кез  келген  ішкі 
нүктесінен оның қабырғаларына дейінгі арақашықтықтар қосындысын 
табыңдар.
 4. 
ABCD
 тік төртбұрышының ауданы 24 
см-ге тең. 
Р
 нүктесі – 
ВС 
қабырға сы-
ның ортасы, 
∠
APD
 = 90° (4-сурет). Тік 
төртбұрыштың  қабырғаларын табың-
дар.
 5. 
Егер  төртбұрыштың  диагональдары 
тең  болса  және  олар  қиылысу 
нүкте сінде  тең  екіге  бөлінсе,  бұл 
төртбұрыш тік төртбұрыш болатынын дәлел деңдер.
 6. 
Параллелограмның қабырғалары 4 см және 7 см. Бұл параллелограмның 
диагональдары:  1)  12 см және 5 см;  2) 10 см және 3 см болуы мүмкін бе?
 7. 
Тік төртбұрыштың ауданы 42 см, ал қабырғаларының бірі екінші қа-
быр ға сынан екі есе үлкен. Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
?
A
B
3
P
D
C
1
2
3
A
B
4
D
C
P
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
http:eduportal.uz

16
Теорема.
1. Ромб және оның қасиеттері.
  Анықтама. 
Қабырғалары тең параллелограмм  
ромб
  деп аталады (1-сурет).
Ромб  пiшiндi  параллелограмның  жалпы  қасиеттерiнен  тыс  төмендегi 
қасиет терi де бар:
Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр және ромбының 
бұрыштарын тең екiге бөледi.
Дәлелдеу. ABCD
 ромб берiлген болсын (2- сурет). 
О
 – оның диагональда рын 
қиятын нүкте. 
AC 
⊥
 BD
 және әрбiр диагональ ромбының сәйкес бұрыштарын 
тең екiге бөлетiндiгiн (мысалы, 
∠
ВAС
 = 
∠
DAC
) дәлелдеймiз.
Ромбының анықтамасы бойынша 
AB
 = 
AD
, сондықтан 
BAD
 үшбұрышы 
тең  бүйiрлi.  Ромб  параллелограмм  болғандықтан,  оның  диагональдары 
қиылысу нүктесiнде тең екiге бөлiнедi, яғни 
BO
 = 
OD
. Демек, 
АО
 — тең 
бүйiрлi 
BAD
 үшбұрыштың медианасы. Тең бүйiрлi үшбұрыштың қасиетi 
бойынша оның  табанына жүргiзiлген медиана әрi биссектриса, әрi биiктiк 
болады. Сондықтан, 
AC 
⊥
 BD
 және 
∠
ВAС
 = 
∠
DAC
. Осыны дәлелдеу талап 
етiлген едi.
1-есеп.
 
АВСD 
ромбының 
ВD
 диагоналi қабырғасымен 35
°
-тық бұрыш 
жасайды.  Оның бұрыштарын табыңдар. 
Шешуi.
 
∠
АВD
 = 35
°
 делiк (3-сурет). Ондай жағдайда 
∠
СВD
 = 35
° 
(ромбтың қасиеттерiне орай) болады.  
∠
АВС
 = 2 
∠
АВD
 = 2
•
35
°=
 70
°
,  
∠
АDС
 = 
∠
АВС
 = 70
°
 (параллелограмның 2-қасиетiне орай),  
∠
DАВ
 = 180
°
–
  
– 
∠
АВС 
(параллелограмның‚ 1-қасиетiне орай). Демек,  
∠
DАВ 
= 180
°
– 70
°
 
= 110
°
, 
∠
ВСD
 =
∠
DАВ
 = 110
°
  (параллелограмның‚ 2-қасиетiне орай).  
Жауабы:
 70
°
,  110
°
,  70
°
,  110
°
 .
2-есеп.
  Әр түрлi ромбылардың‚ периметрлерi тең болуы мүмкiн бе?
Шешуi.
 Периметрлерi тең ромбылар бiр-бiрiнен бұрыштарымен ерек-
ше ленiп тұрады. Егер ромбының сүйiр бұрыштары: 1) 40
°
 -қа тең болса, 
онда өзге бұрыштары да сәйкесiнше 140
°
, 40
°
, 140
°
 болады;  2) 15
°
 -қа тең 
5–6. РОМБ пЕН КВАДРАТТЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ 
A
D
A
D
A
D
B
C
B
C
B
C
O
35°
1
2
3
http:eduportal.uz

17
болса,  онда өзге бұрыштары да сәйкесiнше 165
°,
 15
°
, 165
°
  болады т.с.с. 
Сондай-ақ сүйiр бұрыштың орнына басқа түрлi доғал бұрыштарды да алуға 
болады.   
Жауабы:
 
 Иә, мүмкiн.
2. Квадрат және оның қасиеттері.
Анықтама. 
Барлық қабырғалары тең тік төртбұрыш 
квадрат 
деп 
аталады.
Квадрат  пен  ромбының  анықтамаларынан  квадрат  бұрыштары  тiк 
болған ромбыдан тұратындығы келiп шығады (4-
а
 сурет). Квадрат – әрi 
параллелограмм,  әрi  тiк  төртбұрыш,  әрi  ромб  болғандықтан,  бұлардың 
барлық қасиеттерiне ие. Квадраттың негiзгi қасиеттерiн келтiремiз:
1. Квадраттың барлық бұрыштары тiк. 
2. Квадраттың диагональдары өзара тең. 
3. Квадраттың диагональдары өзара перпендикуляр және қиылысу 
нүктесiнде қақ бөлiнедi, сонымен қатар квадраттың бұрыштарын тең 
екiге бөледi 
(4-
б
 сурет).  
Осы қасиеттердi өз бетiңмен дәлелде.
3-есеп.
 
Егер ромбтың диагональдары тең болса,  онда бұндай ромбтың 
квадрат екенiн дәлелдеңдер.
Дәлелдеу. 
Ромб параллелограмм болғандықтан, тiк төртбұрыштың бел-
гi лерiне  орай  диагональдары  тең  болған  ромбтың  тiк  төртбұрыш  екенi 
келiп шығады.  Демек,  ол — квадрат.
4-есеп.
 
Төртбұрыштың  диагональдары  перпендикуляр  және  өзара 
бiр-бiрiмен тең. Бұл төртбұрыш квадрат бола ма?
Шешуi:
 
Есептiң  шартын  қанағаттандыратын  төртбұрыштардың  бi-
реуi  5-суретте  бейнеленген.  Онда  диагональдардың  бiреуi  тең  екiге 
бөлiнген.  Әйтсе  де  бұл  квадраттың  2-қасиетiн  және  3-қасиетiнде  кел тi-
рiлген  шарттың  бiр  бөлiгiн,  яғни  өзара  перпендикулярлық  шар тын  ғана 
қанағаттандырады.  Келтiрiлiп  отырған  жағдайда  тек  диаго нальдардың 
бiреуi  ғана  тең  екiге  бөлiнген,  сол  себептi  бұл  төртбұрыш  квадрат  бола 
алмайды.  Белгiлi  бiр  жағдайда  төртбұрыштың  екi  диа гоналi  де  қиылысу 
нүктесiнде  тең  екiге  бөлiнуi  мүмкiн.  Тек  сол  жағдайда  ғана  төртбұрыш 
квадрат бола алады.   
Жауабы: 
 төртбұрыш квадрат болуы шарт емес.
A
B
a
C
B
C
D
A
D
AB = BC = CD = DA
F
A
 = 
F
B
 =
 F
C
 =
 = 
F
D
 = 
90°
O
ә
A
AC
 = 
BD
, 
 AC 
⊥
 BD
  
C
B
D
4
5
2 
– Геометрия, 8-сынып
http:eduportal.uz

18
 1.  
1) Ромб дегенiмiз не? Ромбтың қасиеттерiн айт.
 
2) Квадрат деп нені айтады? Оның қасиеттерін айт. 
 
3)  Квадратқа:  1)  «параллелограмм»;  2)  «ромб;  3)  «тiк  төрт бұрыш»  
түсiнiгi бойынша анықтама бер.
 2. 
Квадраттың қабырғасы 20 см-ге тең. Диагональдарының қиы лысу нүк-
тесiнен қабырғаларының бiреуiне дейiнгi қашық тықты тап.
 3. 
АВСD
 ромбысының қабырғасы 24 см- ге, ал 
А 
бұрышы 30
° 
-қа тең. 
D
 
тө бе сiнен  оған  қарама-қарсы 
АD
  қа быр-
ғасына  дейiнгi  қашықтықты  табың  дар 
(6-сурет). Бас орындарға сәйкес сандарды 
қойыңдар.
     
Шешуi:
 
В
 нүктесiнен 
АD
 түзуiне де-
йiн гi  қа шықтық   
В
  нүктесiнен  сол 
түзуге  түсi рiлген  перпендикулярдың 
ұзындығына, яғни ВР кесiндiсiнiң ұзын дығына тең. 
АВР
 үшбұрышын 
қарас тырайық. Онда 
∠
АРВ
 = ...
°
,  
∠
А = ...
°
, 
АВ 
= ... . Ондай жағдайда 
ВР
 = 0,5 · ... =  0,5 · ... =  ...  (см)  (...
° 
-тық  бұ рыштың  қарсысында  жатқан 
катеттiң қасиетiне орай).  
Жауабы:
 
 
ВР
 = ...  см.
 4. 
1) (
Практикалық тапсырма
). 1) Екі тең үшбұрыштан;  2) Төрт тең үшбұ-
рыштан  қалайша  ромб  және  квадрат  жасауға  болады?  Барлық  ықтимал 
ше шімдерді көрсетіңдер.
 5. 
Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың ішіне квадрат салынған. Оның 
екі төбесі гипотенузада, ал қалған екеуі катеттерде жатады. Егер ги по-
тенузаның 21 см-ге тең екені белгілі болса, квадраттың қабыр ғаларын 
табыңдар. 
 6. 
Ромбының диагональдары мен қабырғалары арасында пайда болған бұ-
рыштардың қатынасы 2 : 7 қатынасындай. Ромбының бұрыштарын тап.
 7. 
Квадрат  қабыр ға ла рының  ортасы  бiрiнен  соң  бiрi  қиы лыс қан  түзу 
кесiн дiлерiмен тұтастырылса, қандай пiшiн пайда болады?
 8. 
Ромбының барлық биiктiктерi өзара тең екенiн дәлелде.
 9.
  Төртбұрыштың  қабырғалары  2  :  4  :  5  :  7  қатынастарында,  ал  ауданы 
108 см-ге тең.  Осы төртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
10.
  Бұрыштарының  бiреуi  60 °,  кiшi  диагоналiнiң  ұзындығы  16  см  бола
-
тын ромбының периметрiн тап.
11. 
Ромбының: диагональдары ортасында түзілген бұрыштардың қаты насы 
4 : 5-ке тең. Ромбының бұрыштарын тап.
12. 
Тiк  төртбұрыштың  ұзындығы  32  см,  ал  енi  28  см-ге  тең.  Осы  тiк 
төртбұ рыштың периметрiне тең квадраттың қабырғасын тап.
13. 
Төртбұрыштың  ең  кіші  қабырғасы  5  см-ге  тең,  қалған  қабырға ла-
рының  әрқайсысы  алдыңғысына  сәйкес  түрде  2  см-ге  үлкен.  Осы 
төртбұрыштың периметрін табыңдар.
A              
P              
D              
B              
C              
30 
°
6
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
?
http:eduportal.uz

19
1. Трапецияның  анықтамалары. 
Бізге  мәлім  болғанындай,  кез  кел­
ген параллелограмда екі жұп параллель қабырғалар болады. Енді біз тек 
бір жұп параллель қабырғалы төртбұрыштарды ғана қарастырамыз. 
1-анықтама. 
Екі  қабырғасы  параллель,  өзге  екі  қабырғасы  параллель 
емес төртбұрыш
  трапеция  
деп аталады.
Трапецияның  параллель  қабырғалары  –  оның 
табандары
,  ал  парал­
лель емес қабырғалары – 
бүйірлері
 деп аталады. 1­суреттегі 
ABCD 
трапе ­
циясында 
AD 
және 
BC
 қабырғалары – 
табандар
, ал 
AB
 және 
CD
 қабыр­
ғалары – 
бүйірлер
 болып саналады.  
2-анықтама. 
Қабырғаларының  біреуі  табанына  перпендикуляр  болған 
трапеция 
тік бұрышты трапеция
 деп аталады 
(2­сурет).
3-анықтама.
  Бүйір  қабырғалары  тең  болған  трапеция 
тең  бүйірлі 
трапеция
 деп аталады.
3­суретте тең бүйірлі 
ABCD
 трапециясы бейнеленген:  
AB = CD.
2.  Трапецияның  белгілері. 
Енді 
ABCD
  төртбұрышының  трапеция 
болуы үшін қандай шарттарды қанағаттандыратынын қарастырайық.
Егер төртбұрыштың бір жағына ауытқыған екі бұрыштың қо-
сындысы  180º-қа  тең  және  оған  сыбайлас  қабырғаларға  жанас қан 
екі бұрышының қосындысы 180º-тан өзгешелеу болса, бұндай төрт-
бұрыш  
трапеция
  болады.
Дәлелдеу.  ABCD 
төртбұрышында:
 
∠
A
 + 
∠
B
  = 180°, 
∠
A
  + 
∠
D
  ≠  180° 
болсын. Енді  
ABCD
 төртбұрышының трапеция екенін дәлелдейміз.
Біріншіден, бір жұп қарама­қарсы қабырғалардың бір­біріне парал лель 
екенін  көрсетеміз. 
AB,  BC
  (
l
1
)  және AD  (
l
2
)  түзулерін  жүргіземіз  (4­сурет). 
Шартқа орай 
∠
A
 + 
∠
B
 = 180°, олай болса, 
AD 
және 
BC
 түзулері па рал лельдік 
белгілері бойынша өзара параллель болады. (Екі 
а
 және 
б 
түзулерін үшінші 
с
 түзуі қиып өткенде, ішкі бір төбелі бұрыштардың қо сындысы 180º­қа тең 
болса, бұл жағдайда 
а 
және 
б
 түзулері параллель болады.)
7–8. ТРАПЕЦИЯ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
Теорема
B
C
A
 D
AD 
мен 
BC– 
табандар,
AB 
мен
 DC – 
бүйір 
қабырғалар
 
     
∠
A
 = 90°, 
тік бұрышты 
трапеция
A
B
C
D
A
B
AB
 = 
DC
,
тең бүйірлі трапеция
C
D
AD
  || 
BC
AB
  || 
DC
1
2
3
http:eduportal.uz

20
Теорема.
Екіншіден, 
ABCD
  төрбұрышының  қалған  екі  қабырғасы  параллель 
емес тігін  көрсетеміз.  Шартқа  орай, 
∠
A
  +
∠
D
 ≠ 180°,  ондай  жағдайда 
AB
 
және 
DC
  кесінділері  параллель  бола  алмайды  (
Эвклидтің  параллель 
түзулер  туралы  5-аксиомасына  орай,  яғни  түзулер  параллельдігінің 
тиісті шарты орындалады
). Демек, 
ABCD
 төртбұрышы трапеция болып 
шықты. Біз осыны дәлелдеуге тиіс едік. 
Бұл теоремадан төмендегі салдар туындайды.
Салдар.  
Трапецияның бір бұрышы 90º болса, оның тағы бір 90º­тық 
бұ рышы болуға тиіс. 
4-анықтама. 
Трапецияның табандарының бірінде жатқан нүкте-
ден  екінші  табанды  қамтитын  түзуге  түсірілген  перпендикуляр
  
трапецияның биіктігі
  деп аталады.
Трапецияның  табандарына  перпендикуляр  болған  кез  келген  ке сін ­
діні  оның  биіктігі  ретінде  алуға  болады.  Кез  келген  трапецияда  қала­
ғанымызша биіктік жүргізуімізге болады (5­сурет).
3. Тең бүйірлі трапецияның қасиеті.
Тең бүйірлі 
ABCD 
трапециясын қарастырайық. Бұнда 
AD = а – 
үлкен 
табаны,
  BC  =  b  – 
кіші  табаны  болсын.  Кіші  табанның
  B 
төбесінен
  BP 
биіктік жүргізейік (6­сурет). Биіктіктің
 P 
табаны
 AD  
табанды
  AP 
және PD 
кесінділерге бөледі.
Тең  бүйірлі  трапецияның  доғал  бұрышы  төбесінен  жүргізілген 
биіктік  үлкен  табанын  ұзындықтары  табандары  айырмасының 
жар тысына және табандары қосындысының жартысына тең бөлік-
тер ге бөледі, яғни:
 
2
b
a
AP
−
=
,  
2
b
a
PD
+
=
.
Дәлелдеу.
 
С
  төбесiнен 
CF
⊥
AD
­ны  жүргiземiз.  Тiкбұрышты 
АВР
  және 
DСF
  үшбұрыштар  тең: 
AB
 = 
DC
 — шарт  бойын ша,  ал 
BP
 = 
CF
  болса
 
BC
  мен 
AD
  параллель  түзулер  арасындағы  қашықтық  болған дықтан. 
Үшбұрыштар  теңдiгiнен 
AP
 = 
FD
  келiп  шығады.  Түзуге  перпендикуляр 
екi  түзу  өзара    параллель  болады: 
BP
 ||
 CF
,  өйткені, 
BP
 ⊥ 
AD
, 
CF
 ⊥
 
AD
. 
Параллель  түзулердiң  арасындағы  қашықтық  тең  болғандықтан, 
BC
 = 
PF
 = 
b
. Демек, 
B
A
D l
2
l
1
4
C
B
C
A
D
A
P
F
D
B
C
5
6
h
h
h
h
h
http:eduportal.uz

21
2
2
b
a
PF
AD
FD
AP
−
−
=
=
=
, 
2
2
b
a
b
a
a
AP
AD
PD
+
−
=
−
=
−
=
.
Сөйтiп,  
2
b
a
AP
−
=
  және 
2
b
a
PD
+
=
 екен. Теорема дәлелденді.
1-есеп. 
Тең бүйiрлi трапецияның таба нын дағы бұрыштары тең екенiн 
дәлелдеңдер.
Шешуі. ABCD –
 тең бүйірлі трапеция, яғни 
 AB = DC 
және
 AD || BC. 
Тең  бүйірлі  трапецияның 
AD 
және
  BC 
табандарындағы  бұрыштардың 
теңдігін дәлелдейміз (
∠
A
 = 
∠
D
, 
∠
B
 = 
∠
C
).
Трапецияның  доғал  бұрыштарының  (В  мен  С)  төбелерінен  табанына 
перпен дикуляр  түзу  жүргiземiз: 
BP
 
⊥
 
AD
, 
CF
 
⊥
 
AD
  (6­суретке  қараңдар). 
Тiк  бұрышты 
ABP
  және 
DCF
  үшбұрыштары  (гипотенузасы  мен  катетi 
бойынша) тең: 
AB = DC
 – шартына орай, ал 
BP = CF
 болса 
BC
 және 
AD
 
параллель түзулерi арасындағы қашықтық болғандығы үшiн үшбұрыштар 
теңдiгiнен 
∠
A
 = 
∠
D 
келiп шығады.
А
  және 
В,  С
  және 
D
  бұрыштары 
АD
  және 
ВС 
параллель  түзулерiн 
сәйкесiнше 
АВ 
және 
СD
  түзулерiнiң  қиып  өтуiнен  пайда  болған  iшкi  бiр 
қабырғалы  бұрыштар  болып  табылады.  Сондықтан 
∠
A
 + 
∠
B
 = 180°  және 
∠
C
 + 
∠
D
 = 180°. Бұдан
 
∠
B
 = 
∠
C
 келiп шығады.
Сөйтiп, тең бүйiрлi трапецияның табанындағы  бұрыштары тең екен: 
∠
A
 = 
∠
D
 және 
∠
B
 = 
∠
C
. 
Осыны дәлелдеу талап етiлген болатын.
2-есеп. 
Тең бүйірлі трапецияның кіші табаны бүйір қабырғасына тең, 
ал  диагоналі  бүйір  қабырғасына  перпендикуляр.  Трапецияның  бұрыш­
тарын тап.
Шешуі.
  Тең  бүйірлі 
ABCD 
трапециясы  берілген.  Онда
  AD
 ||
 BC
, 
AB
 = 
BC
 = 
CD
, 
AC
 
⊥
 
CD
 болсын (7­сурет). Есептің шартына орай, 
AC
 – тең 
бүйірлі 
АВС
 үшбұрышының табаны. Демек, 
∠
BCA
 = 
∠
CAB
. Бірақ 
∠
A
 = 
∠
D
, 
өйткені тең бүйірлі трапецияның табанындағы бұрыштары тең болады, ал 
CAD
 және 
BCA
 бұрыштары 
AD || BC
 мен 
AC
 қиюшы түзген ішкі айқыш 
бұрыштар болғандықтан өзара тең, яғни   
∠
CAD
 = 
∠
BCA
. 
Демек, 
∠
A
 = 2
∠
CAD
.  Шартқа  орай, 
ACD
  –  тік  бұрышты,  сондықтан 
∠
CAD
 + 
∠
D
 = 90°,  бірақ 
∠
D
 = 
∠
A
,  ондай 
жағдайда      90° = 3
∠
CAD
,  демек, 
∠
CAD
 = 30° 
және 
бұл 
жағдайда 
∠
D
 = 
∠
A
 = 60°, 
∠
C
 = 
∠
B
 = 120°.
Жауабы:
  
 
∠
A
 = 
∠
D
 = 60°, 
∠
B
 = 
∠
C
 = 120°.
3-
есеп
.
 
Тең  бүйірлі  трапецияның  қабыр­
ғаларының қатынасы 1 : 1 : 1 : 2 сияқты  бол­
сын. Осы трапецияның бұрыштарын табың дар.
Шешуі.
 
 ABCD 
трапециясында 
 AB = BC = CD 
=  1 
және
  AD  =  2
  болсын.
  AD 
қабырғасының 
ор тасын
  Р-
мен  белгілейміз  (8­сурет). 
ABCP 
төрт бұрышының 
АР 
және
  ВС
  қабырғалары 
өзара тең және параллель. 
A
D
B
C
7
8
B
C
 A
P
D
http:eduportal.uz

22
Демек,  параллелограмның  белгілеріне  орай,  бұл  төртбұрыш  паралле­
ло грамм  болады.  Сол  себепті 
PC = AB
 = 1. 
PCD
  үшбұрышының  барлық 
қабырғалары 1­ге тең, сондықтан 
∠
PDC
 = 60°. Сонымен 
ABCD
 трапе ция­
сындағы 
∠
A
 = 
∠
D
 = 60° және 
∠
B
 =
∠
C
 = 120°. 
Жауабы
:
 
∠
A
 = 
∠
D
 = 60°, 
∠
B
 = 
∠
C
 = 120°.
?
A
D
B
C
9
Сұрақтар, есептер мен тапсырмалар
 1. 
1) Қандай  төртбұрыш трапеция деп аталады?
 
2) Қан дай трапеция: а) тең бүйiрлi; б) тiкбұрышты трапеция деп ата­
лады?
 2. 
Трапецияның төбесiнен өтпеген биiктiгi оны екi тiк трапе цияға бөледi.  
Соны сызып көрсет.
 3. 
Тiк бұрышты трапецияның бүйiр қабырғаларының ара қаты насы 1 : 2. 
Трапецияның ең үлкен бұрышын табыңдар.
 4. 
Трапецияның табандары 12 см және 20 см, ал бүйiр қабырғалары 4 см 
және 11 см. Кiшi та банының төбесiнен кiшi қабырғасына парал лель түзу 
жүргiзiлген.  Осы параллель түзу бөлген үшбұрыш тың пери метрiн тап.
 
 5.  AD
 және 
BC
 табандары бар 
ABCD
 трапеция ның 
B
 және С бұрыш тарын 
тап, мұнда 
∠
А 
= 75° және 
∠
D
 = 55° (9­сурет).  Бос орындарды толтыр.
   Шешуi.
 
А
 мен 
В, С
 мен 
D
 бұрыштар 
AD
 мен 
BC
 параллель түзу лердi 
... және ... қиюшылармен қиғанда пайда болған..., сондықтан 
∠
А
 +
∠
В
  
= ...°  және 
∠
С
 + 
∠
D
 = ...°.  Шарт  бойынша 
∠
А
 = 75°  және 
∠
D
 = 55°,  ол 
жағдайда 
∠
В
   =  = ...° – 
∠
А
 = ...° –  ...°  = ..  °  және 
∠
С
 =  ...°– 
∠
D
 = ...° –  –...° 
= ...°.          
Жауабы
.
 
∠
В
 = ...°, 
∠
C
 = ...°.
 6. 
Тең  бүйiрлi  трапецияның  сүйір 
бұрышта рының бiрi 60°­қа, бүйiр қабыр ғасы 16 
см­ге  тең.  Егер  табандарының  қосындысы  38 
см­ге тең болса, трапецияның табандарын тап.
 7. 
Тең  бүйiрлi  трапецияның  доғал 
бұрышы  тө бесiнен  жүргiзiлген  би iктiк  үлкен 
табанын  3  см­лiк  және  17  см­лiк  ке сiндiлерге 
бөледi. Осы тра пецияның табандарын тап.
 8. 
Тең бүйiрлi трапецияның диагональдары тең екенiн дәлелде. 
 9. 
Трапецияда:  1)  үш  тік  бұрыштың;  2)  үш  сүйір  бұрыштың;  3)  үш  бұ­
рыштың  қосындысы  180º­қа  тең  бола  ала  ма?  Жауаптарыңды  не­
гіздеңдер.
10. 
Тік  бұрышты  трапецияның  ең  үлкен  және  ең  кіші  бұрыштарының 
қатынасы 5 : 4 ­ке тең. Осы трапецияның бұрыштарын табыңдар.
11.
  ABCD
  трапециясының  кіші  табаны  6  см­ге, 
ABE 
үшбұрышының
 
 
(BE||CD) 
периметрі 36 см­ге тең. Осы трапецияның периметрін табыңдар.
12. 
Тең  бүйірлі  трапецияның  диагоналі  доғал  бұрышын  тең  екіге  бө­
леді.  Трапецияның  табандары  10  см  және  20  см.  Оның  периметрін 
табыңдар. 
http:eduportal.uz

23
Теорема. 
Егер бұрыштың қабырғаларын қиып өтетiн параллель түзулер оның 
бiр қабырғасынан тең кесiндiлер қиып түсетiн болса, онда ол түзу лер 
бұрыштың екiншi қабырғасынан да тең кесiндiлер қиып түседi.
Дәлелдеу.
 
О
  бұрыштың  төбесiнен  бастап 
қабырғада (
a
 сәуледе) өзара тең 
A
1
A
2
,  және 
A
2
A
3
  
кесiндiлерге бөлiнген және олардың ұштары (
A
1
, 
A
2
, 
A
3
,) арқылы екiншi қабырғаны (
b
 сәуленi) 
B
1
, 
B
2
, 
B
3
, ... нүктелерде қиюшы 
A
1
B
1
, 
A
2
B
2
, 
A
3
B
3
 
параллель түзулер жүргiзiлген болсын (1- сурет). 
Ендi пайда болған 
 B
1
B
2
, 
B
2
B
3
 кесiндiлердiң 
өзара  теңдiгiн,  егер 
А
1
A
2 
= 
A
2
A
3
  болса, 
B
1
B
2
= 
B
2
B
3
 болатынын дәлелдеймiз. 
Бұл үшін
 B
2
 нүктесінен  
а
  сәулеге параллель 
CD
  түзуін  жүргіземіз  (2-сурет).  Бұл  түзу 
A
1
B
1
 
және 
A
3
B
3
  түзулерімен  сәйкес  түрде 
C
  және 
D
  нүктелерінде  қиылыссын. 
A
1
CB
2
A
2
  және 
A
2
B
2
DA
3 
төртбұрыштары  –  параллелограмм 
(анық тама сына 
орай), 
өйткені 
олардың 
қарама-қарсы  қа быр ғалары,  шартына  және 
жасалуына орай, параллель болып табылады. Сон дықтан 
A
1
A
2
 = 
A
2
A
3 
және 
параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары болғаны себепті, 
A
1
A
2 
=
 CB
2
 
және 
A
2
A
3 
= 
B
2
D
-лардан 
CB
2
 = 
B
2
D
-ға ие бо ламыз.
B
1
B
2
C
 және 
B
3
B
2
D
 үшбұрыштарында 
CB
2
 = 
B
2
D
 (дәлелдеуге орай), сон-
дай-ақ 
∠
1 = 
∠
2  (вертикаль  бұрыштар), 
∠
3 = 
∠
4
 
(
A
1
B
1
  және 
A
3
B
3
  па раллель 
түзулер),  сонымен  қатар  CD  қиюшы  кесіндісінен  түзілген  ішкі  айқыш 
бұрыштар болғандығы үшін.
Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісіне орай, бұл үшбұрыштар өзара 
тең:
 
∠
B
1
B
2
C
 = 
∠
B
3
B
2
D
. Бұдан 
B
1
B
2
 = 
B
2
B
3
 келіп шығады. 
Сонымен, егер 
A
1
A
2
 = 
A
2
A
3
 болса, онда 
B
1
B
2
 = 
B
2
B
3
 болатыны дәлелденді
. 
Бізден осыны дәлелдеу талап етілген болатын.
Ескерту!
 
Фалес теоремасы шартында бұрыштың қабырғасының орнына 
кез келген екi түзудi алуға болады, сондықтан да теореманың қорытын дысы 
сол күйiнде қала бередi.
Салдар. 
Берiлген  екi  түзудi  қиып  өткен  және  бiр  түзуден  тең 
кесiндiлер  қиып  түсiретiн  параллель  түзулер  екiншi  түзуден  де  тең 
ке сiндiлер қиып түседi.

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: