-жағдай.  Үшбұрышты  гипотенузасы  және  сүйір  бұрышы

59
Демек, 
β
°
=
=
=
≈
6
6
cos
cos 22
0,9272
6, 47
a
c
(cм).
3) Анықтамаға орай:   
tg
b
a
β =
. 
Бұдан 
b
 = 
a 
tgβ, яғни 
b
 = 6tg22°
 
=
 
6 · 0,4040 ≈ 2,42  (cм).
2-әдіс. 
2)  Гипотенуза  α  сүйір  бұрыш  қарсысындағы  катеттің  α 
бұрышы ның  синусына қатынасына тең, яғни  
sin
a
c
α
=
. 
Демек, 
6
6
sin
sin 68
0,9272
6,47
a
c
α
°
=
=
=
≈
 
(cм).
3) Анықтамаға орай: 
β =
tg
b
a
. 
Бұдан  
b
 = 
a 
tgβ, яғни 
 
   b
 = 6 tg22°
 
=
 
6 · 0,4040 ≈2,45  (cм).  
Жауабы:
 
6,47
c
≈
cм, 
2,42
b
≈
cм, α
 
=
 
68°. 
 1. 
Тікбұрышты үшбұрышта ұзындығы 7 см­ге тең катет 60º­тық бұрышқа 
жанасқан. Осы үшбұрыштың гипотенузасын табыңдар.
 
2. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  гипотенузасы  12  см­ге,  ал  катеттерінің 
біреуі 
6 2
cм­ге тең. Үшбұрыштың сүйір бұрыштарын табыңдар.
 3.
 Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы  
с
 = 10 см және сүйір бұрышы 
α = 42º  берілген. 
а, б
 катеттері мен β сүйір бұрышын табыңдар. Есепті 
екі әдіспен (мәтіндегі 1­есепке қараңдар) шешіңдер.
 
4. 
Тікбұрышты үшбұрыштың катеті  
б
 = 4 см және сүйір бұрышы  β = 18º 
берілген. 
а
 катетін,  
с
 гипотенузасын және α сүйір бұрышын табыңдар. 
Есепті екі әдіспен (мәтіндегі 2­есепке қараңдар) шешіңдер.
 
5. 
Өрнекті ықшамдаңдар:
  
2
cos
(1 sin )(1 sin )
sin cos(90
)
α
+
α −
α
−
α
° − α
.
 
6.
  Тең  бүйірлі  трапеция  негізіндегі  бұрыш  60º­қа,  бүйір  қабырғасы  ша­
ғын  негізге,  яғни 
2 2
 
cм­ге  тең.  Осы  трапецияның  үлкен  негізін  та­
быңдар. Бос орындарға сәйкес жауаптарды қойыңдар.
 
Шешуі.
 
ABCD
  трапециясы  –  тең  бүйірлі, 
∠
A
 = 
∠
D
 = 60°, 
AB
 = 
DC
 = 
= 
BC
 =
2 2
 
cм. 
CP
 ||
 BA
  жүргіземіз  (2­сурет).  Ондай  жағдайда   
∠
A
 = 
∠
CPD
 = 60°  (
CP 
||
 BA
  мен 
AD
  және  қиюшының  қиылысуынан 
туын даған  ...  бұрыштар). 
CPD
  үшбұрышының  бұрыштары  ...º­тан, 
де мек,  ол  ...  қабырғалы.  Сондықтан 
CP
 = 
PD
 = 
...
 = 
2 2
  cм.  Ондай 
жағдайда 
AD
 = 2 · 
2 2
 
= ...
  
(cм).  
Жауабы:  
4 2
  
cм.
 
7. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  гипотенузасы  
с
  =  8  см  және  сүйір  бұрышы  α  =  30º 
берілген. Оның 
а, б 
катеттері мен  β  сүйір 
бұрышын  табыңдар.  Есепті  екі  әдіспен 
(мәтіндегі 1­есепке қараңдар) шешіңдер.
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
P
D
B
C
60°
2
A
http:eduportal.uz

60
26. ТІКБҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШТАРДЫ 
ШЕШУ (ЖАЛҒАСЫ)
3-жағдай.  Үшбұрышты гипотенузасы мен катеті бойынша шешу.
1-есеп. 
Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы  
с 
= 13 см және катеті  
а
 = 5 см  берілген. Оның 
б
 катетін,  α  және β сүйір бұрыштарын табыңдар.
Шешуі.
 1) Пифагор теоремасына орай: 
=
−
=
−
=
−
=
=
2
2
2
2
13
5
169 25
144
12
b
c
a
(
cм).
1-әдіс. 
2)  α  сүйір бұрышы синусының анық ­
тамасы бойынша: 
5
13
sin
0,3846
a
c
α =
=
≈
.
Бұдан  
α ≈
°
23
.
3)  Тікбұрышты  үшбұрыштың  сүйір  бұрыш­
тарының қосындысы 90º­қа тең. Онда 
β =
° − α ≈
° −
° =
°
90
90
23
67
. 
Жауабы:
  
 
b
 = 12 cм, 
α ≈
°
23
, 
67
β ≈
°
.
2-әдіс. 
2) β сүйір бұрышы синусының анық­
тамасы бойынша: 
β = =
≈
12
13
sin
0,9231
b
c
.
Бұдан 
67
β ≈
°
.
3) Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90º­қа 
тең. Онда 
90
90
67
23
α =
° − β ≈
° − ° =
°
. 
Жауабы:
  
 
b
 = 12 cм, 
α ≈
°
23
, 
67
β ≈
°
.
4-жағдай. Үшбұрышты екі катеті бойынша шешу.
2-есеп. 
Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері а = 8 см және б = 15 см 
берілген. Оның гипотенузасын,  α  және β сүйір бұрыштарын табыңдар.
Шешуі.
 1) Пифагор теоремасына орай: 
=
+
=
+
=
+
=
=
2
2
2
2
8
15
64 225
289
17
c
a
b
 
(cм).
1-әдіс.  
2)  α  сүйір бұрышы тангенсінің анықтамасы бойынша: 
8
15
tg
0,5333
a
b
α =
=
≈
.
Бұдан 
.
3) Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90º­қа 
тең. Онда 
β =
° − α ≈
° −
° =
°
90
90
28
62
.  
Жауабы:
 c
 = 17 cм, 
α ≈
°
28
, 
β ≈
°
62
.
A
C
B
a
c
b
α
β
1
http:eduportal.uz

61
2-әдіс.  
2) β сүйір бұрышы тангенсінің анықтамасы бойынша: 
15
8
tg
1,875
b
a
=
β =
=
.
Бұдан 
62
β ≈
°
.
3) Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90°­қа 
тең. Онда  
α =
° − β ≈
° −
° =
°
90
90
62
28
. 
Жауабы:
  
 
c
 = 17 cм, 
α ≈
°
28
, 
62
β ≈
°
.
3-әдіс. 
 1)  α  сүйір бұрышы котангенсінің анықтамасы бойынша: 
15
8
ctg
1,875
b
a
=
α =
=
.
Бұдан 
α ≈
°
28
.
2) Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90º­қа 
тең. Онда 
90
90
28
62
β =
° − α ≈
° − ° =
°
. 
 3) Пифагор теоремасына орай: 
=
+
=
+
=
+
=
=
2
2
2
2
8
15
64 225
289
17
c
a
b
(cм).
Жауабы:
  
 
c
 = 17 cм, 
α ≈
°
28
, 
62
β ≈
°
.
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
 1. 
Тікбұрышты 
АВС
  үшбұрышында
 
∠
C
 = 90°,  гипотенуза 
 см, 
катет 
a
 = 9 cм. Осы үшбұрыштың 
б
  катетін,  α  және β сүйір бұрышта­
рын табыңдар. Есепті екі әдіспен шешіңдер.
 2. 
Тікбұрышты 
АВС
  үшбұрышында 
∠
C
 = 90°,  катеттері 
 cм 
және   
b
 = 6  cм.  Осы  үшбұрыштың 
с
  гипотенузасын,  α    және  β  сүйір 
бұрыштарын табыңдар. Есепті екі әдіспен шешіңдер.
 3. 
Тікбұрышты 
АВС
  үшбұрышында
 
∠
C
 = 90°,  катеттері 
  cм 
және  
b
 = 5 cм. Осы үшбұрыштың  
с
  гипотенузасын, α  және β сүйір 
бұрыштарын табыңдар. Есепті екі әдіспен шешіңдер.
 
4. 
CD
  кесінді  –  тікбұрышты 
ABC
  (
∠
C
 = 90°)  үшбұрышының  гипотену­
засына түсірілген биіктігі. Дәлелдеңдер: 
 
1) 
;       2) 
AD 
tg
A
 = 
BD 
tg
B
.
 
5. 
Есептеңдер:
  
2sin60° + 4cos60° − ctg30° − 2tg45°.
 
 6. 
Тікбұрышты  
АВС
  үшбұрышында
 
∠
C
 = 90°, гипотенуза 
c
 = 25 cм, катет 
b
 = 24  cм.  Осы  үшбұрыштың  а  катетін,  α  және  β  сүйір  бұрыштарын 
табыңдар. Есепті екі әдіспен шешіңдер.
 7. 
Тікбұрышты 
АВС
  үшбұрышында
 
∠
C
 = 90°,  катеттері 
a
 = 10   cм  және  
b
 = 24  cм.  Осы  үшбұрыштың    с  гипотенузасын,    α  және  β  сүйір  бұ­
рыштарын табыңдар.  Есепті екі әдіспен шешіңдер.
http:eduportal.uz

62
27. ТІКБҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШТАРДЫ САЛУ
1-есеп. 
Синусы 
 
-
ке тең бұрышты салу.
Бұл үшін 
C
 тік бұрышын саламыз және 
оның  қабырғалараның  бірінде  бұрыштың 
төбесінен  бастап  4  ерікті  масштаб  бірлігіне 
тең 
СВ
  кесіндісін  жүргіземіз  (1­сурет). 
Орталығы 
В
  нүктеде  жатқан  және  радиу­
сы  5  масштаб  бірлігіне  тең  радиусты  доға­
ны  бұрыштың  екінші  қабырғасымен  қиы­
лысқанша  созамыз.  Олардың  қиылысу  нүк  ­
тесін 
А
­мен  белгілейміз.  Сосын 
А
  және 
В
 
нүктелерін  біріктіріп,  тікбұрышты 
АВС 
үш­
бұрышын  жасаймыз.  Бұндағы 
А
  –  іздес ті рі­
ліп  жатқан  бұрыш,  оның  синусы  ­ке  тең 
бо лады, яғни  
.
2-есеп. 
Косинусы  ­ке тең бұрышты са лу.
Бұл  үшін 
С
  тік  бұрышын  саламыз  және 
оның  қабырғаларының  бірінде  бұ рыш 
төбе сі нен  бастап  5  ерікті  масштаб  бір лі­
гіне  тең 
АС
  кесіндісін  жүргіземіз  (2­су­
рет).  Орталығы 
А
  нүктесінде  және  радиу­
сы  6  масштаб  бір лігіне  тең  радиусты 
доға ны  бұрыштың  екін ші  қабырғасымен 
қиылысқанша  соза мыз.  Олардың  қиылысу 
нүк тесін 
В
­мен  бел гілейміз.  Содан  соң 
А
 
және  В  нүктелерін  бі рік тіріп,  тікбұ рышты 
АВС 
үшбұрышын жа сай мыз. 
А 
– іздестіріліп 
жат қан бұрыш, оның косинусы 
 
­ке тең болады, яғни  
.
3-есеп. 
Тангенсі 
 
­ке тең бұрышты салу.
Бұл үшін  
С
 тік бұрышын саламыз және оның қабырғаларының бірінде 
бұрыш  төбесінен  бастап  5  ерікті  масштаб  бірлігіне  тең 
СА
  кесіндісін,  ал 
екіншісінде  4  масштаб  бірлігіне  тең 
СВ
  кесіндісін  жүргіземіз  (3­сурет). 
Содан соң  
А
  және  
В
 нүктелерін біріктіріп, тікбұрышты 
АВС 
үшбұрышын 
жа  саймыз.  
А
 – іздестіріліп жатқан бұрыш, оның тангенсі  
 
­ке тең бола­
ды, яғни  
.
Берілген  котангенс  бойынша  бұрыш  салу  талап  етілгенде  де  нақ 
A
С
B
1
A
C
B
2
A
 C
B
3
http:eduportal.uz

63
осындай жұмыстар жүргізуге тура келеді, тек ол кезде іздестіріліп жатқан 
бұрыш үшін  
АС
­ге жанасқан катетті алу керек.
Тікбұрышты үшбұрыштың катеті әрқашан гипотенузадан кіші болады. 
Сондықтан  сүйір  бұрыштың  синусы  мен  косинусы  әрқашан  1­ден  кіші 
болады.
Катеттердің ұзындықтарын салыстыру көрсеткеніндей, олар өзара тең, 
бірі  екіншісінен  үлкен  немесе  кіші  болуы  да  мүмкін.  Сондықтан    сүйір 
бұрыштың тангенсі мен котангенсі кез келген оң сан болуы да ықтимал. 
Демек, олардың әрқайсысы катеттерге байланысты түрде 1­ден кіші, 1­ден 
үлкен және 1­ге тең болып келеді.
 1. 
1) 
;  2) 
 
­ға  тең  болған,  тікбұрышты 
ABC 
(
∠
C
 = 90°) 
үшбұрышын салыңдар.
 2. 
1) 
;  2) 
 
­ға  тең  болған,  тікбұ­
рышты 
ABC 
(
∠
C
 = 90°) үшбұрышын салың дар.
 
3.   
Тікбұрышты 
АВС 
үшбұрышында 
∠
C
 = 90°, 
гипотенуза 
 cм,  катет 
b
 = 7 cм.  Үш­
бұ рыштың а катетін, α және β сүйір бұрыш­
тарын (4­сурет) табыңдар.
 4.   
Тікбұрышты   
АВС
  үшбұрышында 
∠
C
 = 90°, 
ги потенуза 
c
 = 12 cм,  α = 60°.  Үшбұрыштың  
а,  б  катеттерін,  β  сүйір  бұрышын  (4­сурет) 
табыңдар. Есепті екі әдіспен шешіңдер.
 
5. 
Белгісіз ұзындықтарды табыңдар (5–6­су рет тер).
 
6. 
Тікбұрышты   
АВС
    үшбұрышында     
∠
C
 = 90°,  ги потенуза 
c
 = 74  cм, 
.
 Осы үшбұрыштың периметрін (4­сурет) табыңдар.
 7. 
1) 
;  2) 
;
 
  3) 
 
­ге  тең  болған  тікбұрышты   
ABC 
(
∠
C
 = 90°) үшбұрышын салыңдар.
A
C
B
a
c
b
α
β
4
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
A
C
3
x
 cм
B
13 cм
2
x
 cм
6
 м
7 м
B
A
C
D
5
AC 
= 
x
x
 м
http:eduportal.uz

64
28. ПРАКТИКАЛЫҚ ЖАТТЫҒУ ЖӘНЕ ҚОЛДАНУ
1. Пифагор теоремасының практикалық қолданылуына қатысты 
есептер.
1-есеп.
  Лилия  су  гүлінің  көл  бетінен  көрініп  тұратын  бөлігі  10  см. 
Егер гүлді бастапқы күйінен бір бүйірге қарай 1 м тартатын болса, ол су 
деңгейімен бірдей болады. Көлдің сол арадағы тереңдігін анықтаңдар.
Шешуі.
 Көлдің  іздестіріліп  отырған 
CD
  тереңдігін 
х
­пен  белгілейміз 
(1­сурет). 
BD
 = 
AD
 = 
AC
 + 
CD
 = 0,1 + 
CD = 
0,1 + 
x
  (
м
)­ге  тең  болады.  Бұл 
жағдайда  тікбұрышты 
BCD
  үшбұрышынан  Пифагор  теоремасына  орай 
төмендегілерге ие боламыз:  
BD
2
 − 
CD
2
 = 
BC
2
,  (0,1 + 
x
)
2
 − 
x
2 
= 1,  бұдан:
 
0,01
+ 
0,2
x
 + 
x
2
 − 
x
2
 = 1;         0,2
x 
= 0,99;   
x 
= 0,99 : 0,2; 
            x 
= 9,9
 
:
 
2; 
 x 
= 4,95 (м).                
    
Жауабы:
 
көлдің тереңдігі  4,95 м.
2-есеп.
  Бір  ағаштың  биіктігі  20  м, 
екіншісінікі 9 м. Бұл ағаштардың ара­
сындағы  қашықтық  60  м­ді  құ рай ды. 
Осы  екі  ағаштың  ұштары  ара  сындағы 
қа шықтықты табыңдар (2­сурет). Дер­
бес шешіңдер.
3-есеп.
  Екі қарағай ағашының  би­
ік тіктері  сәйкесінше  21  м  және  28  м, 
ал  ағаштардың  арасындағы  қашық­
тық 24 м­ді құрайды. Осы екі ағаштың 
ұштары  арасындағы  қашықтықты  та­
быңдар  (2­суретке  қараңдар).  Дер бес 
шешіңдер.
2.  Сүйір  бұрыш  синусының 
прак  тикалық қолданылуына қа тыс -
ты есеп. 
Қия  беткейге  қарай  өрлеген  тегіс 
жолдың  тіктігін  көкжиекпен  са лыс­
тыр ғандағы  көтерілу  бұрышы  ар­
қы   лы  беруге  болады  (3­сурет).  Кө­
бі  несе  көтерілу  бетінің  тіктігін  кө­
терілу  бұрышынан  гөрі  басып  өтілген 
жол  ұзындығының  көтерілу  биіктігі 
арқылы  берген  қолайлы.  Мысалы, 
машина  100  м  қашықтықты  басып  өт­
кенде  2  м  биіктікке  көтерілген  делік. 
Бұндай  жағдайда  көтерілу  орнының  
тіктігі  биіктіктің  басып  өтілген  жолға 
қатынасымен  белгіленеді.  Көтерілу 
би ік тігі 
2 м
100 м
= 0,02­ге  тең.  Бұл  қаты­
10 cм
1 м
D
B
C
A
1
A
C
B
h
α
3
60 м
20 м
9 м
B
C
A
2
http:eduportal.uz

65
нас басып өтілген жолға байланысты емес.  Қия беткейден түскенде де нақ 
осындай пікір жүргізуге болады.
4-есеп.
   Жеңіл  машина  қиялығы  15º­тық  беткеймен  көтеріліп  барады 
(3­суретке  қараңдар).  Ол  беткейге  көтерілер  жерден  300  м­дей  жолды  басып 
өткеннен кейін көкжиекпен салыстырғанда неше метр биіктікте болады?
Нұсқау.
  Сүйір  бұрыш  синусының  анықтамасын  қолданып,  көтерілу 
биіктігін табыңдар.
3. Сүйір бұрыш тангенсінің практикалық қолданылуына қатысты 
есептер.
5-есеп.
  Ұшақтың ұшу жолын бойлап әуеге көтерілу нүктесінен 700 м 
қашықтықта орман алқабы орналасқан, ондағы ағаштардың максималдық 
биіктігі  24  м­ге  тең.  Ұшақ  осы  ағаштарға  тиіп  кетпеу  үшін  әуеге  қандай 
бұрышпен көтерілуге тиіс?
Шешуі.
  Тікбұрышты 
ABC
  (
∠
C
 = 90°)  үшбұрышында 
AC
 = 700  м, 
BC
 = 24 м (4­сурет). Сүйір бұрыш тангенсінің анықтамасынан табамыз:
α =
=
≈
⇒ α ≈ °
24
700
tg
0, 0343
2
BC
AC
.
Жауабы:
 
ұшақ  ағаштарға  тиіп  кетпеу  үшін  әуеге  ұшу  нүктесінен 
2º­тан төмен емес бұрыш бойынша көтерілуге тиіс. 
6-есеп.
  
A 
пуктінен  өзеннің  арғы  бетіндегі  баруға  болмайтын
  В 
пунктіне дейінгі қашықтықты табыңдар (5­сурет). 
Шешуі.
  Устурлоб  (астролябия,  горизонталдық  жазықта  орналасқан 
бұ рыштарды  өлшеу  үшін  қолданылатын  құрал,  яғни  бұрыш  өлшегіш) 
немесе эккер көмегімен 
А
 нүктесінде тікбұрышты 
ВАС
 бұрышын са ламыз. 
АС
  түзуі  бойынан  кез  келген 
D
  нүк тесін  алып,  устурлобтың  көмегімен 
ADB
  бұрышын  өлшейміз.  Ол  44º­тық  бұ­
рышқа  тең  болсын  делік.  Содан  соң 
AD
  қа­
шықтықты  өлшейміз,  ол  120  м­ге  тең  бол сын. 
АВ
  қашықтықты  сүйір  бұрыштың  тан генсін 
пайдалана отырып табамыз:
120
tg44
120 tg44
AB
AB
=
° ⇒
=
⋅
° ≈
116 (м).
Жауабы:
   
≈ 116 м.
7-есеп.
  
А 
пуктінен баруға болмайтын арал­
дағы
 В 
пунктіне дейінгі қашықтықты та быңдар 
(6­сурет). 
A
4
C
B
700 м
24 м
α
A
D
B
α 
5
C
5 – Геометрия, 8­сынып
http:eduportal.uz

66
Нұсқау.
 
5­есептегідей  етіп  талқылау  керек.
  ∠
ADB
 = 48°  және   
AD
 = 200 м деп алып, есепті шешіңдер.
8-есеп.
   Негізінде  баруға  болмайтын  нысанның,  мысалы,  электр 
бағанасының биіктігін өлшеу талап етілген болсын (7­сурет).
Шешуі.
  Тікбұрышты 
ACD 
үшбұрышын  қарастырамыз.  Бұл  үшбұ­
рыштың 
А
  бұрышын  устурлобтың  көмегімен  өлшеуге  болады  делік,  ол 
42º­қа тең болсын.
Тікбұрышты 
BCD
 үшбұрышындағы 
DBC
 бұрышын өлшейміз, ол 47º­
қа тең болсын.
Сүйір бұрыш тангенсінің анықтамасы негізінде 
ACD
­дан табамыз:
 
tg42
tg42
CD
CD
AC
AC
°
=
° ⇒
=
 
. 
(1)
Сүйір бұрыш тангенсінің анықтамасы негізінде 
BCD
­дан табамыз:
 
tg47
tg47
CD
CD
BC
BC
°
=
° ⇒
=
 
. 
(2)
A
, 
B 
және  
C
 нүктелері бір түзудің бойында жатады. (1)­ден  (2)­ні айы­
рып аламыз:
 
°
°
°
°


−
=
−
⇒
−
=
−
⇒




1
1
tg42
tg47
tg42
tg47
CD
CD
AC BC
AC BC
CD
1
1
0,9004
1,0724
(1,1106 0,9325)
AC BC
CD
AC BC
CD


⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒




0,1781
0,1781
AC BC
AC BC
CD
CD
−
⇒
−
=
⋅
⇒
=
.
AC
 − 
BC
, яғни 
АВ
 қашықтықты тікелей өлшеуімізге болады делік, ол 12 
м­ге тең болсын. Онда
−
=
=
=
≈
12
0,1781
0,1781
0,1781
67,4
AC BC
AB
CD
 (м).
Жауабы:
   
 м.
Қарастырылған  мәселелерге  ұқсас  жағдайлар  айналамызда  толып 
жатыр. Өздерің дербес есептер құрастырыңдар және шешіңдер. 
C
D
A
B
D
A
B
42°
C
47°
6
7
http:eduportal.uz

67
1. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  гипотенузасы  20  см­ге,  сүйір  бұрыш та ­
рының біреуінің синусы 0,5­ке тең. Үшбұрыштың катеттерін та быңдар.
2. 
Тікбұрышты  үшбұрыштың  гипотенузасы  13  см­ге,  сүйір  бұрышта ры ­
ның біреуінің косинусы
 
  
­ке тең. Үшбұрыштың катеттерін табың дар.
3. 
Өрнекті ықшамдаңдар:  (sin
2
α − cos
2
α)
2
 + 2 sinα cosα.
  4. 
Қабырғалары: 1) 
a 
=
 c 
=
 
17 cм, 
b
 = 16 cм; 2) 
a
 = 30 cм, 
b
 = 34 cм, 
c
 = 16 cм 
болған үшбұрыштың биіктігін табыңдар.
Өзіңді сынап көр!
2-TEСT
 1. 
Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің біреуі 12 см, ал гипотенузасы 
екінші катеттен 6 см ұзын. Гипотенузаның ұзындығын табыңдар.
  A) 15 cм; 
B) 25 cм; 
D) 26 cм; 
E) 18 cм.
2. 
Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің біреуі 12 см, ал екіншісі гипо­
тенузадан 8 см қысқа. Осы үшбұрыштың гипотенузасын табыңдар. 
A) 15 см;  
B) 16 см;  
D) 13 см;  
E) 25 см.
3. 
Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 25 см, катеттері өзара 3 : 4 
қатынасында. Осы үшбұрыштың кіші катетін табыңдар.
  A) 10 см;  
B) 15 см;  
D) 9 см;  
E) 20 см.
4.
  Қабырғалары  13  см,  14  см  және  15  см­ге  тең  үшбұрыштың  ең  кіші 
биік тігі неше сантиметр болады?
  A) 11,5 см;  
B) 11,1 см;  
D) 11 см;  
E) 11,2 см.
5. 
Ромбының диагональдары 14 см­ге және 48 см­ге тең. Осы ромбының 
периметрін табыңдар.  
  A) 60 см;    
B) 100 см;    
D) 80 см;    
E) 120 см.
6. 
Ромбының  периметрі  68  см­ге,  диагональдарының  бірі  30  см­ге  тең. 
Оның екінші диагоналін табыңдар.
  A) 12 см;  
B) 8 см;  
D) 16 см;  
E) 20 см.
7. 
Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің біреуі 
 см­ге, ал оның қа­
рама­қарсысындағы  бұрыш  60º­қа  тең.  Үшбұрыштың  гипоте нуза сын 
та быңдар.  
  A) 
 cм;    
B) 
 cм;      D) 5 cм;    
E) 10 cм.
 8. 
Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің бірі 
 
cм­ге, ал оған жанас­
қан бұрыш 30º­қа тең. Осы үшбұрыштың екінші катетін табыңдар.
  A) 
 cм; 
B) 
 cм; 
D) 5 cм; 
E) 10 cм.
 9.
 Тікбұрышты
 
ABC
 (
∠
C
 = 90°) үшбұрышының гипотенузасы 17 см­ге, ал 
катеттері 15 см­ге және 8 см­ге тең. 
 А
 бұрышының синусын табың дар. 
  A)  ; 
B)  ; 
D)  ; 
E)  .
29–30. 2-БАҚЫЛАУ ЖҰМЫСЫ. 
ҚАТЕЛЕР БОЙЫНША ЖҰМЫС ІСТЕУ
http:eduportal.uz

68
Пифагор
(біздің заманымызға 
дейінгі
570–500 ж.)
10. 
Тікбұрышты 
ABC
  (
∠
C
 = 90°)  үшбұрышының  гипотенузасы  37  см­ге,  ал 
катеттері 12 см­ге және 35 см­ге тең. 
В
 бұрышының косинусын табың дар. 
 
A)  ; 
B)  ; 
D)  ; 
E)  .
Ағылшын тілін үйренеміз!
Пифагор теоремасы  – 
Pythagorean theorem
  
Синус – 
sine     
Кері теорема –
 inverse function theorem
  
Koсинус –
 cosine
 
Тригонометрия – 
trigonometry 
 
Тангенс – 
tangent
Гипотенуза – 
hypotenuse 
 
Koтангенс –
 cotangent
 
Ежелгі  грек  философы  және  математигі   
Пифагор  
біздің  жыл  санауымыздан  бұрынғы  VI  ғасырдың 
екінші  жартысында  (б.э.дейінгі  570–500  жылдар)  Эгей 
теңізінің  Самос  аралында  туылған  және  Тарентте 
қайтыс  болған  деп  жорамалданады.  Пифагор  Оңтүстік 
Италияның  гректердің  отары  болған  Кротон  қаласына 
(шамамен  б.э.дейінгі  530  жыл)  көшіп  келіп,  сол  жерде 
өз  мектебінің  негізін  қалаған.  Біз  бұл  мектеп  жүргізген 
геометриялық  зерттеу  жұмыстарының  нәти желері 
туралы одан кейінірек өмір сүрген грек матема тиктерінің 
шығармалары  арқылы  білеміз.  Пифагор  жүргізген 
геометриялық  жұмыстардың  өзі  бізге  дейін  жетіп 
келмеген.
Пифагор  алғаш  рет  сандарды  жұп  және  тақ,  жай 
және  күрделі  сандар  деп  бөлген.  Оның  мектебінде 
“Пифагор сандары” деп аталатын натурал сандардың үштіктері егжей­тегжейлі 
қарастырылған.  Пифагор  теоремасы  өте  көп  геометриялық  есептеулердің 
негізін  құрайды.  Бүгінгі  таңда  Пифагор  теоремасының  жүзден  астам  дәлел­
деулері  бар.  Олардың  кейбіреулері  квадраттарды  бөлшектерге  бөлуге  негіз­
делген,  онда  катеттерге  салынған  квадрат  бөлшектерден  гипотенузаға  салын­
ған  квадрат  түзілген;  өзгелері  тең  пішіндерді  толықтыруға,  ал  үшіншілері 
тікбұрыштың  төбесінен  гипотенузаға  түсірілген  биіктіктің  тікбұрышты  өзара 
ұқсас екі үшбұрышқа бөлетініне негізделген.
Ертедегі Вавилонда тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы мен негізінің 
ұзындығы  бойынша  оның  биіктігі  табылған.  Кейбір  дереккөздерге  қарағанда, 
Пифагор  мектебінде  түзу  сызықты  пішіндерді  тең  пішіндерге  бөлудің 
геометриялық  әдістері  теоремаларды  дәлелдеу  мен  есептерді  шешу  үшін 
пайдаланылған.  Өйткені  түзу  сызықты  пішіндерді  геометриялық  алмастыру 
мәселесі күнделікті қолданыстардан туындаған.
Тарихи мағлұматтар
http:eduportal.uz

69
1.  Жазықтықтағы  нүктенің  координаталары.
  Жазықтықта  өзара 
перпендикуляр 
х
  және 
у
 осьтерін жүргіземіз. Олардың қиылысу нүктесін 
О 
әрпімен белгілейік. Бұл нүктені әрбір ось үшін 
 есеп басы
 деп санап,  әрбір 
оське өзара тең бірлік кесіндісін аламыз. 
Ох
 осіндегі бағыт “
солдан оңға
”,  
ал 
Оу
  осіндегі бағыт “
төменнен жоғарыға
” деп жүргізіледі (1-сурет).  Бұл 
жағдайды  жазықтықтағы 
хОу
  тікбұрышты  координаталар  жүйесі  анық-
талған  деп  атайды.  Аталмыш  жүйені  ғылымға  француз  ғалымы   
Рене 
Декарт
  енгізгендіктен 
Декарт  координаталар 
жү йе сі
 
дейді. 
Ох
 осі 
абссиссалар осі
 (яки 
х
 осі), 
ал 
Оу осі ординаталар осі 
(яки 
у
 осі) деп ата лады. 
Абссиссалар  осі  көлбеу  (горизонталь),  орди на-
талар осі тік (вертикаль) орналасқан.
Декарт  координаталар  жүйесі  жатқан  жазық-
тық 
координаталар жазықтығы
 делінеді.
А
 – координата жазықтығынан алынған ерікті 
нүкте  болсын.
  А
  нүктеден  О
х
  және 
Оу 
осьтеріне 
параллель түзулер жүргіземіз. Олар 
Ох
  және Оу 
осьтерімен сәйкесінше  
Ах
  және  Ау нүктелерінде 
қиылысады делік (1-суретке қараңдар).
ААх 
  кесіндінің  ұзындығы 
х,  ААу
  кесіндінің 
ұзын дығы 
у
 болсын. 
х
 сан 
А
 нүктенің 
абссиссасы
, 
ал  
у
 сан 
А
 нүктенің
 ординатасы 
делінеді.
х
 және 
у
 сандар жұбы 
А
 нүктенің  
координа­
талары
  болады  және  ол 
А(х;  у)
  деп  белгіленеді. 
Координаталарды  өрнектегенде  алдымен  абссис-
са, содан соң ордината жазылады.
Сонымен:
 
 1)  координата жазықтығында әрбір 
А
 нүктеге сандар жұбы 
(х; у)
 сәйкес келеді;  2)  ерікті сандар жұбын 
(х; у)
 координата жазық ты-
ғындағы  бірер  А  нүктенің  координаталары  деуге  болады;  3)  егер   
х  ≠  у
 
болса, ондай жағдайда 
(х; у)
 және 
(у; х) 
сандар жұптары координата жа-
зық тығындағы әр түрлі нүктелерді өрнектейді.
Координата  басы  – 
О
  нүктенің  координаталары 
О
(0;  0)-ден  тұрады. 
O
1
A
x
x
A
(
x
; 
y
)
1
A
y
y
B
C
O
ІІІ  ТАРАУ. 
КООРДИНАТАЛАР ӘДІСІ. 
ВЕКТОРЛАР
A

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: