Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
Глава 4 Числовые множества В математике используются следующие обозначения для числовых мно- жеств: N Множество натуральных чисел. Это числа, используемые при сче- те: 1,2,3, . . . , 2013, и.т.д. Z Множество целых чисел. Это натуральные числа, взятые со знаком ѕ+ї или ѕї , а также 0: 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . . , ± 2013 , и.т.д. Q Множество рациональных чисел. Это числа, получающиеся при де- лении целого числа на натуральное, т.е. дроби. Более формально, Q = m n | m ? Z , n ? N . R Множество действительных чисел. Можно понимать действитель- ные числа как точки на числовой прямой или бесконечные десятичные дроби. Строгое определение этого понятия будет дано в конце семест- ра. Замечание. Выполнено включение: N ? Z ? Q ? R . В повседневной жиз- ни мы, обычно, используем только рациональные числа. Возникает вопрос, нужны ли действительные числа, да и вообще, существуют ли числа, не являющиеся иррациональными? На этот вопрос отвечает следующее утвер- ждение: Утверждение 4. ? 2 / ? Q . Доказательство. Доказательство будем проводить методом ѕот противногої. предположим, что ? 2 ? Q . Тогда ? 2 представим в виде несократимой дроби m n , так как из произвольной дроби всегда можно получить несократимую, сократив на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Тогда 2 = m 2 n 2 , следовательно 2 n 2 = m 2 , а значит m кратно двум. Обозначим m = 2 m 1 . Тогда n 2 = 2 m 2 1 , следовательно n тоже кратно двум, что и приводит к противоречию с несократимостью дроби m n . 45 |