Решение и критерии оценки Задача 1

часть неотрицательная. Значит левая и правые части равны быть не могут. 
То есть решений данное уравнение не имеет. 
Критерии оценки: 
К решению 1 
1)
Получение (*) – 3 балла 
К решение 2 
1)
Правильно разобран случай 
( ] )
, – 3 балла; 
2)
Правильно разобран случай 
( )
– 3 балла. 
Задача 3 
В спортивном сообществе каждый либо занимается плаванием, либо теннисом. Известно, что среднее 
арифметическое возрастов тех, кто занимается плаванием, равно 15. Кроме того, среднее 
арифметическое возрастов тех, кто занимается теннисом, равно 25. Однажды, один из тех, кто 
занимается теннисом решил вместо этого начать заниматься плаванием. После этого среднее 
арифметическое возрастов каждой из групп увеличилось на 1. Возрасты всех членов сообщества – 
натуральные числа. Сколько человек было в этом сообществе? Приведите все возможные варианты и 
докажите, что других нет. 
Решение: 
Пусть в спортивном сообществе n человек. 
человек занимается плаванием, 
человек занимается 
теннисом. Тогда суммарный возраст пловцов был равен 
, а суммарный возраст теннисистов был 
равен 
. После того, как один из теннисистов перешѐл в секцию плавания, суммарный возраст 
пловцов стал равен 
( )
, а суммарный возраст теннисистов стал равен 
( )
. При этом общее 
количество людей в спортивном сообществе не изменилось, поэтому суммарный возраст также не 
поменялся. Получаем уравнение: 
( ) ( )
. Получаем, что в 
спортивном сообществе 10 человек. 
Приведѐм пример: 
Пусть в сообществе было 4 пловца, каждому по 15 лет; 5 теннисистов в возрасте 26 лет и теннисист в 
возрасте 20 лет. Тогда, изначально, среднее арифметическое возрастов пловцов было равно 
, 
среднее арифметическое возрастов теннисистов было равно
. После того, как самый 

младший теннисист перевѐлся в секцию плавания, среднее арифметическое возрастов пловцов стало 
равно 
, а среднее арифметическое возрастов теннисистов стало равно 
. 
Критерии оценки: 
1)
Доказано, что 
– 3 балла; 
2)
Приведѐн пример для 
, но не доказано, что 
не может принимать другие значения – 4 
балла; 
Задача 4 
В университете учатся 2019 студентов, четверо из которых – двоечники, но мало кому известно, кто 
они. Алибек приехал учиться в этот университет и хочет найти себе соседа по комнате, который не 
будет двоечником. Он попросил каждого из студентов назвать троих, которые, по его мнению, являются 
двоечниками. Каждый двоечник назвал трех других двоечников, а остальные могли назвать кого угодно. 
Докажите, что пользуясь этими данными, Алибек сможет найти себе соседа по комнате, не являющегося 
двоечником. 
Решение: 
Назовем четверку людей 
неподходящей
, если в этой четверке каждый сказал про трех остальных, что 
они двоечники.
Предложим Алибеку действовать следующим образом. Рассмотрим ответы всех студентов. Выберем 
произвольную неподходящую четверку (такая найдется, поскольку все двоечники образуют 
неподходящую четверку) и не будем рассматривать этих людей, как потенциальных соседей по комнате.
Рассмотрим оставшихся студентов. Если среди них осталась неподходящая четверка, то вновь выкинем 
их из рассмотрения как кандидатов в соседи по комнате.
Заметим, что каждый человек состоит не более, чем в одной неподходящей четверке. Причем все 
двоечники обязательно состоят в неподходящей четверке.
Таким образом, будем последовательно удалять неподходящие четверки. Заметим, что число 2019 на 
четыре не делится. А потому в какой-то момент мы столкнемся с ситуацией, когда среди 
рассматриваемых людей нет ни одной неподходящей четверки. Тогда выберем любого из оставшихся в 
качестве соседа по комнате. 
Критерии оценки: 
3)
Отмечено, что все двоечники находятся в неподходящих четверках – 1 балл; 
4)
Отмечено, что каждый находится не более, чем в одной неподходящей четверке – 1 балл; 
5)
Не указано, что каждый человек находится не более, чем в одной неподходящей четверке – 
снимается 3 балла; 
Задача 5 
Дан четырехугольник ABCD. Точки X, Y, Z – середины отрезков DA, AB, BC соответственно. 
Оказалось, что XY
⏊
AB, XZ
⏊
BC, а 
. Найдите угол 
. 
Решение: 

Из условия задачи следует, что в треугольниках 
и 
отрезки 
и 
являются одновременно 
медианами и высотами, значит эти треугольники – равнобедренные. Откуда 
. 
Значит треугольники 
и 
тоже равнобедренные. Поэтому 
и 
. В 
треугольнике 
сумма всех его углов равна 
. Т.е. 
( )
. Наконец, 
.
Ответ: 
Критерии оценки: 
1)
Доказано, что 
– 2 балла; 
2)
Доказано, что 
– 5 баллов; 
Баллы за пункты 1 и 2 не суммируются.