Волновое уравнение.
Уравнения (1.1)-(1.2) позво-
ляют вывести замкнутые уравнения для полей
E
и
H
, ко-
торые называют волновым уравнением.
Дифференцируя второе уравнение (1.1) по времени
и меняя порядок следования временной и пространствен-
ных производных, имеем
,
1
2
2
t
E
c
t
H
rot
∂
∂
=
∂
∂
(1.3)
Воспользовавшись первым уравнением (1.1), получим
,
1
2
2
2
t
E
c
E
rotrot
∂
∂
−
=
(1.4)
Применяя известное из векторного анализа соотноше-
ние для дифференциальных операторов, преобразуем ле-
вую часть последнего уравнения к виду
E
E
graddiv
E
rotrot
∆
−
=
(1.5)
∆ — оператор Лапласа, который в декартовых коорди-
натах x, y, z имеет вид
2
2
2
2
2
2
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
(1.6)
Поскольку в вакууме свободные заряды отсутствуют,
т. е. div
E
= 0, для вектора напряженности электриче-
ского поля получаем следующее уравнение
0
1
2
2
2
=
∂
∂
−
∆
t
c
E
E
(1.7)
Аналогичным образом получается уравнение для
H
0
1
2
2
2
=
∂
∂
−
∆
t
c
H
H
(1.8)
Уравнения (1.7) и (1.8) линейны по полю. Поэтому они
эквивалентны совокупности скалярных уравнений того же
самого вида, в каждое из которых входит только одна компо-
нента напряженности электрического или магнитного поля.
Действительно, запишем векторы
E
и
H
через декартовы
компоненты
z
y
x
E
,
,
и
z
y
x
H
,
,
соответственно:
,
0
0
0
z
y
x
E
z
E
y
E
x
E
+
+
=
,
0
0
0
z
y
x
H
z
H
y
H
x
H
+
+
=
(1.9)
0
x
,
0
y
,
0
z
- единичные векторы («орты»), направ-
ленные вдоль осей x, y, z декартовой системы координат.
Умножая скалярно уравнения (1.7) и (1.8) последова-
тельно на
0
x
,
0
y
,
0
z
, получаем, что каждая из компонент
,
1
t
H
c
E
rot
∂
∂
−
=
,
1
t
E
c
H
rot
∂
∂
−
=
(1.1)
0
=
E
div
0
=
H
div
(1.2)
Здесь
E
и
H
— напряженности электрического
и магнитного полей, c — скорость света в вакууме. Пер-
вое уравнение (1.1) представляет собой математическую
формулировку закона электромагнитной индукции, а вто-
рое — показывает, что магнитное поле порождается пе-
ременным электрическим полем. Первое уравнение (1.2)
выражает факт отсутствия статического электрического
поля в вакууме, а второе — постулирует отсутствие маг-
нитных зарядов.
Достарыңызбен бөлісу: |