Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №3 (137) / 2017 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор
жүктеу/скачать 9,13 Mb. Pdf көрінісі
|
moluch 137 ch1
| Волновое уравнение.
Уравнения (1.1)-(1.2) позво- ляют вывести замкнутые уравнения для полей E и H , ко- торые называют волновым уравнением. Дифференцируя второе уравнение (1.1) по времени и меняя порядок следования временной и пространствен- ных производных, имеем , 1 2 2 t E c t H rot ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.3) Воспользовавшись первым уравнением (1.1), получим , 1 2 2 2 t E c E rotrot ∂ ∂ − = (1.4) Применяя известное из векторного анализа соотноше- ние для дифференциальных операторов, преобразуем ле- вую часть последнего уравнения к виду E E graddiv E rotrot ∆ − = (1.5) ∆ — оператор Лапласа, который в декартовых коорди- натах x, y, z имеет вид 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ (1.6) Поскольку в вакууме свободные заряды отсутствуют, т. е. div E = 0, для вектора напряженности электриче- ского поля получаем следующее уравнение 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ − ∆ t c E E (1.7) Аналогичным образом получается уравнение для H 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ − ∆ t c H H (1.8) Уравнения (1.7) и (1.8) линейны по полю. Поэтому они эквивалентны совокупности скалярных уравнений того же самого вида, в каждое из которых входит только одна компо- нента напряженности электрического или магнитного поля. Действительно, запишем векторы E и H через декартовы компоненты z y x E , , и z y x H , , соответственно: , 0 0 0 z y x E z E y E x E + + = , 0 0 0 z y x H z H y H x H + + = (1.9) 0 x , 0 y , 0 z - единичные векторы («орты»), направ- ленные вдоль осей x, y, z декартовой системы координат. Умножая скалярно уравнения (1.7) и (1.8) последова- тельно на 0 x , 0 y , 0 z , получаем, что каждая из компонент , 1 t H c E rot ∂ ∂ − = , 1 t E c H rot ∂ ∂ − = (1.1) 0 = E div 0 = H div (1.2) Здесь E и H — напряженности электрического и магнитного полей, c — скорость света в вакууме. Пер- вое уравнение (1.1) представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции, а вто- рое — показывает, что магнитное поле порождается пе- ременным электрическим полем. Первое уравнение (1.2) выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме, а второе — постулирует отсутствие маг- нитных зарядов. жүктеу/скачать 9,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|