Математиканы

 
87 
Салуға  берілген  алғашқы  есепті  шығарғанның  өзінде  есепті  шешудің 
кезеңдерін (талдау, салу, дәлелдеу, зерттеу) дәл    анықтап бөлу керек. 
Кеңістіктегі  салуға  берілген  есептерді  шешудің  негізгі  әдістері: 
аксиоматикалық әдіс, проективтік әдіс, геометриялық орындар әдісі. 
Аксиоматикалық әдістің негізгі мәні есепті шешу кезінде салудың өзі 
орындалмайды,  салуға  берілген  есеп  элементар  салуларға  келтіріледі,  кейін 
бұлардың  бәрін  бірге  қарастыруға  болатындай  түрдегі  барлық  жай  амалдар 
қарастырылады. Салу есебінде көрсетілген амалдар кейде аксиомалар деп, ал 
есепті  шешу  әдісі  аксиоматикалық  әдіс  деп  аталады.  Себебі  есепке 
қолданылатын барлық амалдар елестеу  арқылы формальді түрде  жүргізіледі 
де логикалық түрде негізделеді, мұндай әдіс формальді-логикалық әдіс деп те 
аталады.  Әдетте  логикалық  ой  тұжырымдары  сызба  арқылы  жүрізіледі.  Бұл 
есеп  шешімін  барынша  жеңілдетеді:  ойды  іске  қосады,  көптеген 
геометриялық элементтер мен олардың жиынын есте сақтап қалуға, кеңістік 
жөнінде  дұрыс  түсінік  орнығып  қалыптасуына  мүмкіндік  берді. 
Аксиоматикалық  әдіс  оқушылар  санасында  кеңістік  туралы  түсініктің, 
логикалық  ойлаудың  дамуына  барынша  терең  және  берік  теориялық  білім 
алуға, әсіресе белгілі бір салуларға түсінік беретін стереометрияның алғашқы 
теоремаларын үйренуге мүмкіндік туғызады. Есептер шешу кезінде алдымен 
көрнекі  құралдар  –  жазықтықтар  моделі  (нұсқасы),  нүктелер  мен  түзулерді 
мақсатты  түрде  қолдану  пайдасы  зор.  Осындай  әдістер  көмегімен  салудың 
талаптары айқын түрде көрсетіледі, бұдан соң логикалық түрде негіздеу және 
логикалық  негізде  салынған  кескінді  салу  дәлелденеді.  Модельдеу  есеп 
шешімін  көрнекі  түрде  талдау  жасауға,  талдауды  ықшамдауға  мүмкіндік 
береді.  
Проективтік әдіс (проекциялық сызбада салу есебін шешу әдісі). Егер 
ерекше  проекциялау  ережесі  бойынша  геометриялық  денелердің  кескінін 
пайдалануға  мүмкіндік  болса,  онда  ол  есепті  сызбалық  құралдың  көмегімен 
барлық  салу  жұмысын  орындауға  болады.  Мұндай  кескін  геометриялық 
денені  бір  жазықтыққа  проекциялау  жолы  мен  алынады  және  проекциялық 
сызба деп аталады, ал есепті шешу әдісін «проекциялық сызбада салынатын 
есеп»          деп атайды. 
Кеңістіктегі салу есептерін шешуге барынша ынғайлы әдіс – еркімізше 
алынатын параллель проекциялау. Ол сызбаның көрнекілігімен, оны салудың 
өте  жай  қарапайым  болатынымен  сипатталады.  Проекциялық  сызба  арқылы 
шешілетін  салу  есептері  төрт  кезеңнен  тұрады.  Бірақ  барлық  кезеңдерді  әр 
есепте түгел іске асыру талабы қойылмайды.  
Геометриялық  орындар  әдісі.  Кеңістікте  элементтердің  геометриялық 
орындарын  табуға  берілген  кез  келген  есепті  салу  есебі  ретінде 
тұжырымдауға  болады.  Кеңістіктегі  геометриялық  орындар  әдісімен  салуға 
берілген  есептерді  шешудің  мәні  төмендегі  мәселелер  арқылы  сипатталады. 
Әуелі  есептегі  берілген  шарттардың  біреуінен  басқасын  ескерусіз  қалдыра 
тұрамыз.  Өзіміз  әдейі  таңдап  алып  қалаған  бір  ғана  шартты 
қанағаттандыратын  нүктелер  жиынын  қарастырамыз.  Бұдан  әрі  есептің 
екінші  шартын  қанағаттандыратын  нүктелер  жиыны  қарастырылады  және 

 
88 
т.с.с.  Біз  қарастырған  барлық  жиындардың  қиылысуы  есептің  шешімі 
болады.  Кеңістіктегі  салу  есептерін  шешудің  тек  төрт  әдісін  қарастырдық. 
Кеңістікте салуға берілген есептерді шешудің басқа да әдістері бар. Есептер 
шешудің  бір  немесе  басқа  әдісін  таңдап  алу  шешілуге  тиісті  есептің 
сипатына,  есеп  шығарушының  дайындық  дәрежесіне,  т.б.  байланысты. 
Күрделі  есептерді  шешу  кезінде  көбінесе  бір  мезгілде  бірнеше  әдіс 
қатарынан қолданылады.  
Кеңістіктегі салуға берілген есептерді шешуге мысалдар қарастырайық.  
          1-мысал. Берілген а және b түзулеріне паралелль, берілген А нүктесінен 
өтетін жазықтық жүргізу керек.  
Талдау.  Іздеген  жазықтық 
а
  түзуіне  паралелль 
1
а
  түзуі  арқылы  өтуі 
керек. Дәл осы сияқты іздеген жазықтық b түзуіне паралелль 
1
b
 түзуі арқылы 
өтуі керек. 
1
а
 және 
1
b
 түзулері А нүктесі арқылы өтуі керек.  
Салу. 1. А нүктесі және  
а
 түзуі арқылы 

 жазықтығын жүргіземіз. 2. 

  жазықтығында  А  нүктесі  арқылы   
а
  түзуіне  паралелль 
1
а
  түзуін 
жүргіземіз. 3. А нүктесі және b түзуі арқылы  

 жазықтығын жүргіземіз. 4. 

 
жазықтығында А нүктесі арқылы  b түзуіне паралелль 
1
b
 түзуін жүргіземіз. 5. 
1
а
 және 
1
b
 түзулерінен бір-бірден М және N нүктелерін таңдап аламыз. 6. А, 
М, N нүктелері арқылы іздеген  
а
 жазықтығын жүргіземіз. 
Дәлелдеу.  1.  Салуымыз  бойынша 
а
а

1
  және 


1
а
.  яғни, 

а

.  2. 
b
b

1
-бұл салуымыз бойынша және 


1
b
. Демек, 

b

. 3. 
1
a
A

 және 
1
b
A

.     
сонда, 


A
. 
Зерттеу.  А  нүктесінің 
а
  немесе 
b
  түзулерінде  жатуына  тәуелсіз 
есептің әрқашан шешімі болады. Егер  
а
 мен 
b
 түзулері паралелль болмаса, 
онда есептің бір ғана шешімі бар болады. Ал 
b
а

 болса, онда есептің сансыз 
көп шешуі бар болады. 
2-мысал. Барлық төрт қабырғасы және қарама-қарсы екі қабырғасының 
орталарын    қосатын    кесінді    берілген  жағдайда  ABCD  төртбұрышын  салу 
керек (14-сурет). 
 
14-сурет 
 
Шешуі.  ABCD  —  ізделген  тертбұрыш,  EF  —  АВ  және  DC 
қабырғаларының  орталарын  қосатын  кесінді  болсын.  AD  қабырғасын 
параллель  жылжытып 
1
ED
  және  ВС  қабырғасын  параллель  жылжытып 
1
EC
 
жағдайына келтіреміз, сонда 
AE
DD

1
, 
AE
DD
1
;
BE
CC

1
, 
BE
CC
1
,
CF
DF

— 
А
В
С
D
E
F
1
C
1
D

 
89 
бұлар  шарт  бойынша,  демек, 
C
FC
F
DD
1
1



  (екі  қабырғасы  және  олардың 
арасындағы  бұрышы  бойынша  тең).  Бұл  үшбұрыштардың  теңдігінен 
1
1
CFC
DFD



  шығады.  Демек, 
1
D
,  F  және 
1
C
  —  нүктелері  бір  түзудің 
бойында жатады. 
1
1
EC
D
 үшбұрышында екі қабырғасы мен үшінші медианасы 
белгілі  болғанда  оны  салуға  болады.  Бұдан  соң  үш  қабырғасы  бойынша 
F
DD
1

және 
1
FCC

 
үшбұрыштарын  салып, 
1
DAED
,  және 
C
BEC
1
 
параллелограмдарын  салуға  болады.  Бұдан  соң  A  және  В  нүктелері 
анықталады. 
Салу. 
1
DEC
  үшбұрышын 
AD
E
D

1
  және 
BC
CE

1
,  сондай-ақ  EF 
медианасы  бойынша  саламыз.  Бұл  үшін  ең  алдымен  2EF, 
1
ED
, 
1
EC
,  үш 
қабырғасы  бойынша  үшбұрыш  салып,  оны  параллелограмға  дейін 
толықтырамыз.  Осы  параллелограмның  жартысы 
1
1
EC
D
—  үшбұрышы 
болады. Қабырғалары 
DC
2
1
  және 
AB
2
1
  болатын  өзара  тең  үшбұрыштар 
F
D
1
 
және 
1
FC
  кесінділеріне  салынады.  Бұлар  арқылы  D  және  С  нүктелерін 
саламыз. 
1
DAED
  және 
C
BEC
1
  параллелограмдарын  салып,  А  және  В 
нүктелерін табамыз. 
Дәлелдеу. ABCD төртбұрышы — ізделген төртбұрыш, себебі ол есептің 
барлық  шарттарын  қанағаттандырады.  DF  және  FC  бір  түзудің  бойында 
жатыр, себебі  
1
1
CFC
DFD



 және 
1
DF
және 
F
C
1
 бір түзудің бойьшда жатыр. 
Зерттеу. 
1
1
C
ED
үшбүрышын 
салу 
үшін 
BC
AD
EF


2
 
және 
BC
AD
EF


2
  шарттарының  орындалуы  қажетті,  ал 
F
DD
1

 
және 
1
FCC

— 
салу  үшін 
)
(
2
1
1
CD
AB
F
D


  және 
CD
AB
F
D


1
  шарттары  орындалуы 
қажетті.  Егер  бұл  шарттар  орындалса,  онда  есептің  бір  ғана  шешімі  бар 
болады. 
Әдістемелік  ұсыныстар:  1.  Кеңістікте  салуға  берілген  есепті  шешуге 
кірісуден бұрын материалдың теориялық жағын меңгеріп алу қажет. 2. Салу 
есептерін  шешуге  кіріскенде  алдымен  қарапайым  салулардан  бастап  шешу 
керек.  3.  Есептер  шешу  кезінде  әсіресе  көрнекі  құралдар  мен  модельдерді 
(нұсқаларды)  пайдаланудың  ерекше  маңызы  бар.  4.  Негізгі  салуларды  дәл 
орындау керек: а) кеңістіктегі нүктенің орнын анықтау; б) берілген екі нүкте 
арқылы  түзу  жүргізу;  в)  бір  түзудің  бойында  жатпайтын  үш  нүкте  арқылы 
жазықтық жүргізу; г) түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу; д) әрбір 
жазықтықта  барлық  планиметриялық  салулардың  орындалуы;  е)  егер  өзін 
анықтайтын элементтер берілсе, онда геометриялық дене салу.  
          Егер  кеңістікте  салуға  берілген  есептердегі  негізгі  амалдар,  яғни  онда 
ұсақ  бөліктерге  бөлінетін  негізгі  қарапайым  салулар  түгел  орындалса,  онда 
кеңістіктегі кез-келген геометриялық салу орындалады деп есептеледі. 
 
 
 

 
90 
Практикалық сабақтар 
 
1-тақырып. Математиканы оқыту әдістемесі пәні 
 
         Негізгі  сұрақтар:  1)  математиканы  оқыту  әдістемесінің  мазмұны, 
міндеттері;  2)  матеметиканы  оқытудың  мақсаттары;  3)  5-11  сыныптар 
бойынша математика бағдарламасын талдау. 
         Әдебиеттер:  [1,  2,  3,  6,  18,  19,  22,  25,  29,  32,  42,  45,  54]  және  орта 
мектептегі математика бағдарламасы. 
         1-тапсырма. Математиканы оқыту әдістемесі - педагогика ғылымының 
бір  саласы.  Ол  математика  ғылымының  белгілі  бір  даму  дәрежесіне  лайық 
қоғамның  алға  қойған  оқыту  мақсаттарына  сай  математиканы  оқытудың 
заңдылықтарын  зерттейді.  Көрсетілген  әдебиеттермен  танысып,  мына 
сұрақтарға  жауап  беріңіздер.  Қандай  басты  мәселелер  математиканы  оқыту 
әдістемесінде  оқытылады?  Барлық  курс  қандай  бөлімнен  тұрады?  Орта 
мектептегі    математиканы  оқыту  әдістемесінің  мақсаты  мен  міндеттеріне, 
мазмұнына талдау жасаңыздар. 
         2-тапсырма.  Математиканы  оқытудың  мақсаты  жалпы  білім  беру, 
тәрбиелік  және  тәжірибелік  болып  бөлінеді.  Осыларға  сипаттама  мен 
тұжырымдама 
беріңіздер. 
Сіздің 
көзқарасыңыз 
бойынша 
мектеп 
бағдарламасына  математика  курсы  бойынша  білім  мен  біліктілікті 
қалыптастыруда  жалпы  білім  беру  және  тәжірибелік  мәні  қаншалықты       
кең   қарастырылған. 
         3-тапсырма. Академик А.Н. Колмогоров математиканың  даму тарихын 
4 кезеңге бөледі: 
         1) Математиканың пайда болу кезеңі. 
         2) Элементар математиканың қалыптасуы. 
         3) Айнымалы шамалар математиканың даму кезеңі. 
         4) Қазіргі математика кезеңі. 
Әр  кезеңге  сипаттама  беріңіздер.  Қазіргі  математиканың  қандай  әдіс-
тәсілдері мектеп бағдарламасында көрініс тапқан? 
         4-тапсырма.  Орта  мектептегі  математика  бағдарламасына  талдау 
жасап,  мына  сұрақтарға  жауап  беріңіздер.  Сан  ұғымының  кеңейуі  қалай 
өтілуде?  Мектеп  математика  курсында  қандай  геометриялық  шамалар 
оқытылады? Қай сыныпта функция ұғымы енгізіледі? Орта мектепте қандай 
функциялар  оқытылады?  Мектеп  бағдарламасында  қандай  теңдеулер, 
теңсіздіктер мен теңдеулер жүйесінің түрлері қарастырылған? Орта мектепте 
геометриялық түрлендірулердің қандай түрлері оқытылады? 
         5-тапсырма.  Орта  мектепте  геометрияны  оқыту  3  кезеңде  өтіледі:         
1)  5-6  сыныптар;  2)  7-9  сыныптар;  3)  10-11  сыныптар.  Әр  этап  бойынша 
геометриялық  материалдың  мазмұны  мен  әдістемелік  негіздерінің 
оқытылуына сипаттама беріңіздер. 
         6-тапсырма.  Қазіргі  таңда  математика  мұғалімі  қандай  қасиеттерді 
игеруі тиіс? 

 
91 
         7-тапсырма.  Математиканы  оқыту  үрдісінде  оқушыларды  тәрбиелеуде 
өзекті  мәселелерге  жататындар  дүниеге  диалектикалық-материалистік  көз-
қарасты  қалыптастыру,  патриоттық,  эстетикалық  тәрбие  беру.  Осыларға 
сипаттама  беріңіздер.  Математиканы  оқыту  үрдісінде  оқушыларды 
тәрбиелеуге қандай тәрбиелеу жүйесін елестетесіз? 
         8-тапсырма.  Математикадан  факультативтік  сабақтар  оқушылардың 
жалпы  білім  деңгейін  кеңейту,  математикалық  ойлау  қабіліттерін  дамыту, 
математикаға  қызығушылығын  арттыру  көзқарасын  және  жеке  бастарының 
ерекшеліктерін  тәрбиелеу  болып  табылады.  Математикадан  факультативтік 
сабақты  ұйымдастыру  үшін  не  қажет  және  нені  білу  керек?  Факультативтік 
курс бағдарламасының мазмұнына сипаттама беріңіздер.   
 
 
          2 – тақырып. Математиканы оқытудың әдістері 
 
         Негізгі  сұрақтар:  1)  математиканы  оқытудың  әдістері  мен  тәсілдері, 
олардың  түрі  мен  сипаттамасы;  2)  математиканы  оқытудың  қағидалары;        
3)  5 сыныпқа арналған математика оқулығының мазмұны мен құрылымының 
әдістемелік ерекшеліктері.  
         Әдебиеттер:  [1,  2,  3,  8,  12,  16,  20,  28,  29,  32,  33,  56,  57,  58],  сонымен 
қатар  математика  бағдарламасы,  математика  оқулығы,  мұғалімге  арналған 
әдістемелік құрал. 
         1-тапсырма.  Мұғалім  мен  оқушылардың  қызметінің  арасындағы 
айырмашылық  тұрғысынан  оқыту  әдістерін  сараптауға  болады.  Оқыту 
әдістері сабақ беру әдісіне (мұғалім қызметі, оқып үйрену әдісіне, оқушының 
қызметіне) жіктеледі. Әрбір оқып үйрену әдісіне сабақ беру әдісі сәйкес келуі 
қажет.  Сабақ  беру  әдісіне  ақпараттық  әдістер  мен  оқушылардың  іздену 
қызметін  басқару  әдістері  жатады:  әңгімелесу,  әңгіме,  дәріс,  мұғалімнің 
түсіндіруі,  жаттықтыру  сипатындағы  өздігінен  істейтін  жұмысты  басқару, 
оқушылардың  оқулық  әдебиетпен  жұмыс  істеуіне  жетекшілік  ету  және  т.б. 
Осы  айтылған  сабақ  беру  әдістеріне  сипаттама  беріңіздер.  Олардың 
артықшылығы  мен  кемшіліктері  қандай?  «Үлкен  немесе  кіші»  тақырыбы 
бойынша 5 сынып оқушыларына қандай әдістер қолданасыз? 
         2-тапсырма.  Оқып-үйрену  әдістері  ғылыми  және  оқу  әдістері  болып 
бөлінеді.  Ғылыми  әдістеріне:  бақылау  мен  тәжірибе;  салыстыру  мен 
аналогия;  анализ  мен  синтез;  индукция  мен  дедукция  және  т.б.  жатады. 
Салыстыру  мен  аналогия  әдісіне  сипаттама  беріңіздер.  Осы  әдіс  қандай 
сыныптарда  кең  қолданылады?    Қандай  тақырыптарды  өткенде  осы 
әдістемені қолданады? 
         3-тапсырма.  Оқу  әдістері  орта  мектеп  математика  педагогикасында 
математиканы  оқытуды  дамыту  үшін  арнайы  жасалынған  әдістер  болып 
табылады. Оқу әдістеріне жататындар: эвристикалық әдіс, модельдер арқылы 
үйрету  әдісі,  бағдарламалық  оқыту  әдісі  т.б.  Өзіңізге  белгілі  оқу  әдістеріне 
сипаттама беріңіздер. Қандай сыныптарда оны қолдануға болады? Осы және 
басқа әдістерді меңгеру деген не?  «Сүйір және доғал бұрыштар» (5 сынып), 

 
92 
«Жай  және  құрама  сандар»  (6сынып)  тақырыптарын  оқытқанда  осы 
әдістердің қайсысын қолданасыз? 
         4-тақырып.  Оқып  үйрену  әдістері  ретінде  бақылау  мен  тәжірибе 
әдістеріне    сипаттама  беріңіздер.  Математиканы  оқытуда  олардың 
қолданысы  қандай?  Матеметиканың  негізгі  ұғымдарын  тәжірибе  арқылы 
оқушыларға  қалай  түсіндіруге  болады?  Мектеп  математика  курсында 
бақылау мен тәжірибені қолдануға мысал келтіріңіздер.  
         5-тапсырма.  Математиканы  оқып  үйрену  әдістері  ретінде  анализ  бен 
синтездің  мазмұнын  ашыңыздар.  Анализ  бен  синтез  математиканы  оқыту 
үрдісінде  ұғымдарды  қалыптастыруға,  теоремаларды  дәлелдеуге  және 
есептерді  шығаруда  кеңінен  пайдаланады.  Анализ  бен  синтезді  қолдануға 
мысалдар келтіріңіздер. 
         6-тапсырма.  Мектепте  математиканы  оқытуда  жалпылау  мен  тарату, 
абстракциялау  мен  нақтылау  сияқты  ғылыми  оқыту  әдістерін  қолданады. 
Олардың  бір-бірімен  қандай  байланысы,  сипаттамасы  бар?  Осы  әдістерді 
қолдану ретінде мысалдар келтіріңіздер. 
         7-тапсырма. Индукция және дедукция мектептегі математиканы оқыту 
әдістемесінің  негізі болып табылады. Индукция  - жеке фактілер  жайындағы 
ғылыми  білімнен  жалпы  білімге,  тәжірибелік  нәтижелерден  теориялық 
қорытындыға, жекеден жалпыға қарай қозғалудың логикалық әдісі.  
         Дедукция - берілген дербес  жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып 
табылады. Орта мектепте төменгі сыныптан жоғары сыныпқа өту кезінде осы 
әдістерді  оқыту  қалай  қолданады?  Осылардың  қайсысына  жоғары  сыныпта 
айрықша көңіл бөлінеді? 
         8-тапсырма.  Толық  индукция  -  ақиқаттағы  тағайындалған  пікірге 
қатысты  барлық  жеке  және  дербес  жағдайларға  негізделген  ой  қорытуды 
айтады.  Математикалық  индукция  объектілердің  шексіз  көп  жиындары 
туралы  айтылатын  ой  қорытуды  айтады.  Матеметикалық  индукция  әдісімен 
дәлелдеуді тұжырымдаңыздар. Орта мектепте қандай тақырыптарды өткенде 
осы әдістерді қолданады?  Толық индукция әдісінің математикалық индукция 
әдісінен қандай айырмашылығы бар? 
         9-тақырып.  Оқыту  түрі  -  бұл  оқыту  процесін  ұйымдастырудың  тәсілі. 
Өзіңізге  белгілі  оқыту  түрін  тізбектеп  және  оларға  сипаттама  беріңіздер.        
5  сынып  оқушыларына  сыныптық-сабақ  оқыту  түрін  жүргізуге  мысал 
келтіріңіздер. Сабақ тақырыбын өз қалауыңызша алыңыздар. 
         10-тақырып.  Проблемалап  оқыту  -  дамытушылық  сипаттағы  оқыту. 
Проблемалап  оқытудың  мақсаты  қандай?  Проблемалап  оқыту  кезінде  сабақ 
барысы қандай этаптарға бөлуге болады? 
         11-тапсырма.  5  сынып  математикасын  оқытуда  проблемалық  ахуалды 
ұсыныңыздар. Тақырыпты өзіңіз таңдаңыздар. 
         12-тапсырма.  5  сыныпқа  арналған  математика  оқулығының  мазмұны 
мен  құрылымы  қандай?  Әрбір  тақырыпты  меңгеру  үшін  қанша  сағат 
бөлінеді? Қандай жаңа ұғымдар мен анықтамалар енгізілген? 

 
93 
         13-тақырып. 
5  сынып  геометрия  материалдары  мазмұнымен 
танысыңыздар. 5 сыныптағы салу есептеріне және оларды шешу әдістемесіне 
сипаттама беріңіздер. 
         14-тапсырма.  Үй  тапсырмасын  ұйымдастыру  кезінде  5-сынып 
оқушыларына жеке тапсырмаларды қалай дайындау керек? 
 
 

жүктеу/скачать 2,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: