Математиканы

 
27 
         Тәжірибе  деп  зерттеушінің  тікелей  белсенді  араласуы  арқылы 
зерттелетін  объектілердің  қасиеттерін  анықтау  мақсатында  қажетті 
жағдайлар  туғыза  отырып  танып  білу  әдісі.  Тәжірибе  математиканы  оқыту 
үрдісінде  оқушылардың  тәжірибелік  жұмысы  түрінде  көрініс  табады. 
Тәжірибе  жаңа  ұғымдарды  енгізу  және  математикалық  объектілердің 
қасиеттерін анықтау үшін өткізіледі. 
         Бақылау  мен  тәжірибе  физика,  химия,  биология  және  тағы  басқа 
ғылымдарда шешуші қызмет атқарады. Ал математикалық зерттеулерде бұл 
әдістер  жетекші  орынға  ие  бола  алмайды,  себебі  математика  тәжірибелік 
ғылым  емес.  Дегенмен,  кейбір  объектілердің  математикалық  қасиеттерін 
көрсетуге бақылау мен тәжірибенің маңызы зор. 
         Бақылау 
мен 
тәжірибе 
арқылы 
алгебралық 
заңдылықтарды 
тағайындауға  болады.  Мысалы,  Ұланның  қолындағы  екі  сөмкенің  бірінде      
4  кг  алма,  екіншісінде  3  кг  сәбіз  бар.  Келесі  дүкенде  қияр  сатылып 
жатқандықтан  ол  сөмкенің  біреуін  босату  керек  болды.  Сөмкені  неше 
тәсілмен  босатуға  болады?  Бірінші,  алманың  үстіне  сәбізді  (4  кг  +  3  кг); 
екінші,  сәбіздің  үстіне  алманы  (3  кг  +  4  кг)  салу  керек.  Екі  жағдайда  да 
сөмкедегі алма мен сәбіз 7 кг болады. Демек, 4 кг + 3 кг=3кг + 4кг = 7 кг. 
         Осындай  мысалдар  (тәжірибе)  арқылы  қосылғыштардың  орнын 
ауыстырғаннан  қосынды  өзгермейді  деген  ережені  байқауға  болады,  яғни 
а+в=в+а екеніне көз жеткізуге болады. 
         Математика  курсында  «аудан  және  периметр»  тақырыбын  өткенде 
берілген  фигуралардың  аудандары  мен  периметрлерін  тәжірибе  арқылы 
табуға  болады.  Бақылау  мен  тәжірибе  математикалық  заңдылықтардың  ең 
қарапайым  түрлерін  ғана  көрсете  алады,  сондықтан  оны  математикалық 
деректердің қатаң негіздемесі ретінде қабылдауға болмайды. 
         2)  Салыстыру  деп  зерттелінетін    объектілердің  ұқсастықтары  мен 
айырмашылықтарын ойша тағайындау әдісін айтады. 
Салыстыру  әдісін  қолданғанда  төмендегідей  қағидаларды  басшылыққа   
алған жөн: 
         а)  салыстырылатын  объектілер  біртекті  болуы  шарт.  Мәселен,  екі 
функцияны,  екі  санды,  екі  өрнекті  немесе  екі  үшбұрышты  салыстыруға 
болады.  Ал  дененің  массасы  мен  көпбұрыштың  ауданын  салыстырудың 
ешқандай мағынасы жоқ. 
         ә)    объектілер  айрықша  белгілері  бойынша  салыстырылуы  тиіс. 
Мәселен,  үшбұрыштар  бұрыштары,  қабырғаларының  орналасуы,  периметрі 
және ауданы бойынша салыстырылады. 
         б)    объектілерді  салыстыру  толық  жүргізіледі.  Әдетте,  объектілерді 
салыстыру әдісі  олардың қасиеттерін немесе айрықша белгілерін  ажыратуға 
қолданылады.  Мәселен,  параллелограмм  мен  трапецияны  салыстыруда 
олардың  ортақ  қасиеттерін  анықтауға  мүмкіндік  береді,  олардың  екеуіде 
төртбұрыш,  екеуінің  де  параллель  қабырғалары  бар.  Айырмашылықтары: 
біреуінде  қабырға  қос-қостан  параллель,  ал  екіншісінде  табандары  ғана 
параллель.  Сондай-ақ,  оқушылар  жай  және  алгебралық  бөлшектерді 
салыстыру  арқылы  олардың  ортақ  белгілері:  бөлшектердің  алымы  мен 

 
28 
бөлімінің  болуы,  бөлімінің  нөлден  өзгешелігі,  ал  айырмашылығы:  жай 
бөлшектің  алымы  мен  бөлімі  сан  болады,  ал  алгебралық  бөлшекте 
алгебралық өрнек  екенін түсіндіреді. Сонымен, математикалық  объектілерді 
салыстыру  арқылы  білімді  меңгеру  жеңілдейді,  өздігінен  ғылыми  ізденіс 
жасай  білуі  мен  дағдыларының  қалыптасуына  ықпал  етеді.  Салыстыру  мен 
аналогия бір-бірімен тығыз байланысты. 
         Аналогия  деп  ұқсастықты  қолданып  оқытатын  ғылыми  оқыту  әдісін 
айтады. 
         Аналогия  жай  және  таралған  аналогия  болып  екіге  бөлінеді.            
Жай  аналогияда  объектінің  кейбір  белгілерінің  ұқсастығы  бойынша  оның 
басқа 
белгілерінің 
ұқсастығы 
жөнінде 
пікір 
қозғалады.                         
Таралған  аналогияда  құбылыстардың  ұқсастығынан  себептердің  ұқсастығы 
жөнінде  қорытынды  жасайды.  Сонымен  бірге,  жай  аналогия  мен  таралған 
аналогия  сәйкесінше  қатаң  және  босаң  аналогия  болып  жіктеледі.  Қатаң 
аналогияда  салыстырылатын  объектілердің  белгілері  өзара  тәуелділікте 
болуы шарт емес. Аналогия математиканы оқыту үрдісінде жаңа ұғымдарды 
енгізгенде,  фигуралардың  қасиеттерін  тұжырымдағанда,  теорияларды 
дәлелдегенде және есеп шығарғанда кең қолданылады. 
         Математиканы оқыту үрдісінде аналогияны қолдану үшін: 
         а)  берілген  әр  түрлі    объектілер  мен  қатынастардың  ұқсастықтарын   
құру керек; 
         ә) аналогияда болатын сөйлемдердің сәйкес элементтерін табу керек; 
         б) берілген сөйлемге аналогияда болатын сөйлем құру керек; 
         в)  берілген  есепке  аналогияда  болатын,  яғни  берілген  есептің 
мәліметтеріне ұқсас шарты мен қорытындысы бар есеп құру керек; 
         г)  аналогия  бойынша  есеп  шығаруда  есептің  шығарылуына  ұқсас   
талдау жасау керек. 
         Жаңа  ұғымдарды  енгізгенде  аналогияны  пайдаланса,  меңгеру  едәуір 
жеңілдейді, мәселен: 
         1.  Тік  төртбұрыш  диагоналінің  квадраты  оның  екі  өлшемінің 
квадратының қосындысына тең. 
         1а.    Тік  бұрышты  параллелепипедтің  диагоналдарының  квадраты  оның 
үш өлшемінің квадратының қосындысына тең. 
         2.     Тік төртбұрыштың диагоналдары тең. 
         2а.   Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналдары тең. 
         3.      Параллелограмның  қарама-  қарсы  қабырғалары  өзара  тең  кесінді-
лер. 
         3а.  Параллелепипедтің    қарама-қарсы    жақтары    өзара    тең 
параллелограмдар. 
         4.    Параллелограмның диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді 
және т.с.с. 
         4а.  Параллелепипедтің диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді 
және т.с.с. 

 
29 
         Аналогияны  кейбір  теоремаларды  дәлелдегенде  де  қолдануға  болады. 
Мысалы,  трапецияның  орта  сызығы  туралы  теореманы  үшбұрыштың  орта 
сызығы туралы теореманың дәләлдеуіне ұқсастырып дәлелдеуге болады. 
         1)  Үшбұрыштың  орта  сызығы  туралы  теорема.  Үшбұрыштың  орта 
сызығы табанына паралель және оның жартысына тең. 
    Дәлелдеуі.  а) АВС үшбұрышының орта сызығы – DE болсын (3-сурет).  
D нүктесінен АС қабырғасына параллель жүргізейік. Сонда Фалес теоремасы 
бойынша  ол  АВ  кесіндісін  ортасынан  қиып  өтеді,  яғни  DE  орта  сызығын 
қамтиды. 
 
                                                     3-сурет 
 
         б)  АВС  үшбұрышының  DK  орта  сызығын  жүргіземіз.  Ол  АС 
қабырғасына  паралель.  DE||AK  және  DK||AE  болғандықтан,  AEDK- 
параллелограмм.  
         в)  Параллелограммның  қасиеті  бойынша  ED=AK  және  CD=DB 
болғандықтан,  Фалес  теоремасы  бойынша  AK=KB.  Бұдан 
AB
ED
2
1

.   
Теорема дәлелденді. 
         1)*  Трапецияның  орта  сызығы  туралы  теорема.  Трапецияның  орта 
сызығы 
табандарына 
параллель 
және 
олардың 
қосындысының        
жартысына тең. 
         Дәлелдеуі.  а) ABCD трапецияның орта сызығы – KP болсын. (4-сурет). 
BE||CD  жүргізейік.  Сонда  EDCB-параллелограмм.  К  нүктесінен  AD-ге 
параллель  түзу  жүргізейік.  Фалес  теоремасы  бойынша  ол  ВЕ  кесіндісін 
ортасынан қиып өтеді, яғни КМ кесіндісі АВЕ үшбұрышының орта сызығы. 
Демек, КМ||AD 
 
                                                       4-сурет 
 
         б)  М  және  Р  нүктелері  –  EBCD  параллелограмының  ВЕ  және  CD 
қабырғаларының  орталары,  яғни  MP||ED.    Бірақ  бір  нүктеден  түзуге 
параллель  тек  бір  ғана  түзу  жүргізуге  болады.  Олай  болса,  К,  М  және  Р 
нүктелері AD түзуіне параллель КР түзуінің бойында жатады.  
В
А
С
D
Е
К
А
В
С
Д
К
М
Р
Е

 
30 
         в) 
,
МР
КМ
КР


,
2
1 АЕ
КМ

,
ВС
МР

.
BC
АD
АЕ


 
        
)
(
2
1
)
(
2
1
2
1
BC
AD
BC
BC
AD
BC
AE
KP







 
    Теорема дәлелденді.  
         3)  Ғылыми  зерттеу  әдісі  ретінде  –  анализ  бен  синтез  математикалық 
зерттеулерде ерекше маңызды роль атқарады.  
    Анализ  деп  белгісізден  белгіліге  қарай  көше  отырып  пайымдалатын 
ғылыми оқыту әдісін айтады.  
         Анализ  –  логикалық  тәсіл,  зерттеу  әдісі  ретінде  үйретілетін  объектіні 
ойша немесе тәжірибелік түрде құрамды бөліктерге бөліп, әр бөлік бүтіннің 
бөлік ретінде жеке зерттелуін айтады.  
         Анализ (грекше analygts) – жіктеу, бөлшектеу, талдау дегенді білдіреді.  
         Синтез (грекше sinthesis) – біріктіру, жинақтау, теру дегенді білдіреді.  
    Синтез  деп  жеке  элементтерді  бір  тұтасқа  жинақтауға  көмектесетін 
логикалық тәсіл. Математиканы  оқытуда анализ бен синтез мәні өте зор, ол 
есептерді  шешу  әдісі  ретінде,  теореманы  дәлелдеу,  математикалық 
ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. әр алуан формада кездеседі.  
         Анализ  бен  синтез  –  іс  жүзінде  бірін-бірі  толықтыратын  бір  тұтас 
аналитикалық – синтетикалық әдіс. Мәселен, анализ кезінде күрделі есептер 
жай есептерге бөлшектенеді, ал синтез жай есептерді бір ғана мағыналы, бір 
тұтас  бір  есепке  біріктіреді.  Анализді  бүтіннен  оның  құрамды  бөліктеріне 
жіктейтін  ойлау  әдісі,  ал  синтез  –  жеке  бөліктерді  бір  бүтінге  біріктіретін 
ойлау әдісі деп түсінеміз. Анализ бен синтез математиканы оқыту процесінде 
ұғымдарды  қалыптастыруға,  теоремаларды  дәлелдеуде  және  есептерді 
шығаруда  кеңінен  пайдаланады.  Анализ  бен  синтез  математиканы  оқып  – 
үйренудің  аса  маңызды  әдістері  болып  табылады.  Олардың  қолдануларын 
көрсететін мысалдар қарастырамыз:  
         Мысалы. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 2d  болатынын 
дәлелдеу керек. 
         1) Аналитикалық жолмен дәлелдеу тәсілі. 2d – жазық бұрыш кез келген 
үшбұрыштың  үш  бұрышы  жазық  бұрышқа  орналасатынын  көрсету  керек    
(4-сурет).  
         а)  М- нүктесінен өтетін CK||AB болатын жазыңқы бұрышты саламыз.  
         б) 

2 жазбадан бірден табылады.  
         в) 
1
5



, CK||AB, М-қиюшы.  
 
 
                                                        5-сурет 
         г) 
3
4



 
А
В
С
К
М
1
2
3
4
5

 
31 
         д) 
d
2
2
4
5






 
         е) 
d
2
3
2
1






 
         2) Синтетикалық жолмен дәлелдеу тәсілі.  
         а) CK||AB жүргіземіз.  
         б) 
3
4



, CK||AB, ВМ-қиюшы. 
         в) 
1
5



, CK||AB, АМ-қиюшы. 
         г) 
d
2
2
4
5






 жазыңқы бұрыш.  
         д) 
d
2
3
2
1






 
         Стереометрия есептерін шешуге анализ бен синтезді қолдану.  
         Мысалы.  Призманың  табаны  ұзындығы  3м  болатын  тең  қабырғалы 
үшбұрыш.  Бүйір  қабырғасы  5м,  ол  табан  қабырғаларымен 

  бұрыш 
жасайды. Призма көлемін табу керек (6-сурет).  
 
                                                      6-сурет 
 
         Берілгені: 

1
1
1
С
В
АВСА
үшбұрышты призма.  
 
м
АС
ВС
АВ
АВС
3
:




 
.
1
1





АС
А
АВ
А
 
м
А
А
5
1

 
                                                           Т.к V=? 
 
         Аналитикалық әдіс: Призма көлемі 
SH
V

 (1)  
                                            h=?  S=? 
 
2
2
1
1
1
:
ОЕ
Е
А
О
А
OE
A



  (2) 
:
1
EA
A

 
,
90
0
1


EA
A
,
1



AE
A
 
м
АА
5
1

 
         Мұнда  

sin
5
1

АЕ
 (3) 

cos
5

АЕ
  (4) 
:
АЕО

,
90
0


AEО
0
30


ОAЕ
 бұдан 
0
30
АЕtg
ОЕ

 
 
А
1
В
1
А
1
С
В
С
D
O
E

 
32 
0
30
cos
5
tg
ОЕ



 (5) 
 
         (3) және (5) мәнін (2)-ге қойсақ,  
 
,
)
30
cos
5
(
)
cos
5
(
2
0
2
1
tg
О
А





 
 








0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
1
30
cos
30
sin
cos
30
cos
sin
)
30
cos
(sin
25




tg
О
А
 
 
)
30
cos(
)
30
sin(
3
10
2
3
30
sin
cos
30
cos
sin
5
0
0
2
0
2
2
0
2
2


















    (6) 
 


ABC
ның ауданын табу үшін оның қабырғаларының ұзындығын табу керек.  
 
4
3
9
4
3
2


a
S
 (7) 
 
(6) және (7) мәндерін (1)-ге қоямыз:  
 






)
30
sin(
)
30
sin(
3
10
4
3
9
0
0


V
)
30
sin(
)
30
sin(
2
45
0
0





 куб бірлік. 
 
         Синтетикалық әдіс:  Қосымша салу жұмысын жүргіземіз:  
 
         а) AD-биссектриса 
ВАС

,   б) 
АС
Е
А
Е
А
ОЕ
АС
О
А




1
1
1
,
 
 
:
1
ЕА
А

 

sin
5
1

Е
А
 (1), 

cos
5

АЕ
 (2) 
0
30
cos
5
tg
ОЕ



  (3) 
 
:
1
ОЕ
А

 
2
2
1
1
ОЕ
Е
А
О
А


 (4) 
 
         (1) және (3) мәндерін (4)-ке қоямыз:  
 
)
30
sin(
)
30
sin(
3
10
0
0
1






О
А
 
                                        
:
ABC

4
3
9
60
sin
2
)
(
0
2


AC
S
 
,
)
30
sin(
)
30
sin(
0
3
10
4
3
9
0
0







V
 
)
30
sin(
)
30
sin(
2
45
0
0






V
 куб бірлік. 

 
33 
         Синтетикалық  әдіс  арқылы  есептерді  шешу  және  теоремаларды 
дәлелдеу  барысын  қысқа  да  ықшамды  тұжырымдауға  мүмкіндік  береді. 
Мұнда  кейбір  жағдайларда  синтетикалық  жолмен  баяндауды  аналитикалық 
тәсілмен  ауыстырып  отыру  керек.  Бұл  оқушылардың  танымдық  қызметін 
белсендіреді және есептерді шешу жолдарын саналы түрде іздестіре отырып, 
сапалы түрде түсінуіне мүмкіндік береді.  
         4) Индукция (лат. Inductio-ой салу) - жеке фактілер жайындағы ғылыми 
білімнен  немесе  дербес  білімнен  жалпы  білімге,  тәжірибелік  нәтижелерден 
теориялық  жалпылау  мен  қорытындыға,  жекеден  жалпыға,  белгіліден 
белгісізге қарай қозғалудың логикалық әдісі.  
         Мысалы,  1+3=4,  5+7=12,  9+11=20,  …,  .  Бұл  мысалдардан  «екі  тақ 
санның  қосындысы  жұп  сан  болады»  және  2+4=6,  6+8=14,  8+10=18, 
12+14=26,  …  .  «екі  жұп    санның  қосындысы  жұп  сан  болады»  деген 
қорытындылар  жасаймыз.    Сонымен  дербес  фактілерден  жалпы 
қорытындылар жасау әдісін индукция дейді.  
         Индукция  әдісі  –  математиканы  баяндауға  таңдап  алынған  аксиоманың 
негізіне 
жатады. 
Аксиомалар 
математикалық 
тұжырымдамалардың 
дұрыстығын  анықтауға  көмектеседі.  Белгілі  бір  теореманың  дұрыстығы 
ғасырлар бойы қалыптасқан дәстүр бойынша күнделікті тұрмыста кездесетін 
тәжірибемен  көрнекі  түсініктердің  негізінде  дәлелденеді,  тек  осыдан  кейін 
ғана  оған  дедуктивтік  қорытынды  жасалады.  Сондықтан  индукция  әдісіне 
қарағанда  дедукция  әдісі  күрделірек.  Орта  мектептердің  сыныптарында 
индукция,  ал  жоғары  сыныптарында  дедукция  көбірек  қолданылады. 
Ғылыми  зерттеу  жұмыстарындағы  күрделі  есептермен  орта  мектептегі 
есептерді,  әртүрлі  мәселелерді  шешуге  индукция  мен  дедукция  қатар 
қолданып бірін–бірі толықтырады.  
         Дедукция  теориялық  мәселелер  формальды  сипатталатын  білімдер 
облысында (мысалы, математикада) үлкен роль атқарады.  
         Дедукция  –  жалпыдан  жалқыға,  бүтіннен  бөлшекке  көшетін  пайымдау 
жолы.  
         Дедукция  –  ғылыми–зерттеу  әдісі.  Дедукция  кейбір  берілген 
тұжырымдарға  сүйеніп,  тікелей  логикалық  тұрғыда  қорытынды  жасалатын 
ойлау формасы. 
         Мысалы.  «Кез  келген  натурал  санның  цифрларының  қосындысы  үшке 
бөлінсе, онда санның өзі де үшке бөлінеді» деген тұжырым дұрыс. 
         Дедуктивтік ой қорытудың, мынадай түрлері бар: 
         1.  Неғұрлым  жалпы  қағидадан  жеке  қағидаға  қарай  апаратын  ой 
қорытындылары. Мәселен, НОД (р, q)=1 мысалы осының дәлелі.  
         2. Жалпы қағидадан жалпы қағидаға апаратын ой қорытындысы.  
         Мысалы.      Барлық  жұп  сандар  2-ге  бөлінеді.  Барлық  тақ  сандар  2-ге 
бөлінбейді.  
         3. Жеке қағидадан дербес қағидаға апаратын ой қорытындылары.  
         Мысалы.  5-жай  сан.  5-натурал  сан.  Кейбір  натурал  сандар  жай            
сан болады.  

 
34 
         Дедукция  әдісін  ежелгі  грек  ғалымдары  қалыптастырған.  Б.э.д.  ІІІ 
ғасырда  ертедегі  грек  геометрі  Евклид  жазған  «Негіздер»  кітабы  теорияны 
дедуктивтік  түрде  құрастырудың  ең  тамаша  үлгісі  болды.  Осы  үлгіде 
математикалық шығармалар мен қатар философиялық трактаттарда жазылды. 
Дедукция  әдісімен  жасалған  қорытынды  дұрыс  болуы  үшін  әуелгі  негізгі 
мағлұмат  дұрыс  дәлелденген  болуы  керек,  сонда  бұлардан  шығатын 
қорытындылар  дұрыс  болады.  Дедукция  ретінде  алынатын  аксиомалар 
жүйесін  дедукциялық  әдіс  дейді.  Осы  әдіспен  ХІХ  ғасырда  геометрияның 
толық  аксиомалар  жинағы  құрылды.  Неміс  математигі  Д.Гильбердтің 
«Геометрияның  негіздерінде»  негізгі  ұғымдарға  нүкте,  түзу,  жазықтық,  ал 
олардың 
арасында 
негізгі 
қатынасқа 
«жататындығы», 
«арасында 
жататындығы»,  «конгруэнтті» болуы алынады. Қазіргі мектепте нүкте, түзу, 
жазықтық,  арақашықтық  сияқты  негізгі  ұғымдар  алынған  басқаша 
аксиомалар  жүйесі  қолданылады.  Геометрия  қандай  аксиомалар  жүйесіне 
негізделсе  де  бәрі  бір  оның  қалған  сөйлемдері,  ұғымдары  мен  теоремалары 
таңдап  алынған  аксиомаларға  сүйеніп  құрылады.  Теореманы  дәлелдеуге 
нақты  үшбұрыштардың  қабырғаларының  ұзындығы  мен  бұрыштарының 
шамасын  өлшеу  нәтижелеріне  сүйенуге  болмайды.  Бұл  дәлелдеулер  таза 
логикаға  сүйеніп  дедуктивті  түрде  қорытындыланды.  Дедуктивтік  зерттеу 
жұмысы барысындағы жалпы қағидалар және заңдар ғылымдардың жаңылыс 
жолға  түсіп  кетпеуіне,  шындық  дүниесінің  құбылыстарын  дұрыс  түсінуге 
мүмкіндік береді. Бірақ осы негізде дедуктивтік әдістің ғылыми мәнін асыра 
бағалау  да  дұрыс  болмаған  еді.  Дедуктивтік  ой  қорытулар  үшін  бастапқы 
білімдер  керек  болады.  Міне  осы  кезде  дедукцияға  индукция  жәрдемге 
келеді.  Сондықтан  индукция  және  дедукция    бірін-бірі  толықтырып,  өзара 
тығыз байланыста болады.  
         Индукция  әдісі  толымсыз,  толық,  математикалық  болып  үшке 
бөлінеді. Толымсыз индукция деп қарастырылатын жағдайлар өте көп болып, 
олардың  барлығын  түгел  зерттеу  мүмкін  болмаған  жағдайда,    олардың  тек 
кейбіреулерін  ғана  зерттеп  солардан  шығатын  қорытындыны  барлық 
фактілер үшін жасалатын қорытындыны айтамыз. Мысалы,      1=1
2
, 1+2=3
2
,      
1+3+5=3
2 
,        1+3+5+4=4
2 
,...,        теңдіктерін  бірден  есептеу  арқылы  олардың 
дұрыстығына  көз  жеткіземіз.  Осы  дербес  мағлұматтарға  сүйеніп   
1+3+5+7+9+…(2k-1) =k
2
     деген жалпы қорытынды жасаймыз. 
 Толық  индукция  деп  математикада  қарастырылатын  жағдайларының 
саны  шектеулі,  ол    жағдайлардың  бәрін    түгел  қарастырып  барып  
қорытынды  жасауға  болатын жағдайларды  айтады.  
 Мысалы,  кез  келген  дұрыс  көпжақ    үшін  Т+Қ+Ж=2  (1)    қатысы  дұрыс 
болады.    Мұндағы      Т  -  көпжақтың  төбесінің  саны,  Қ-  қабырға  саны,  Ж- 
көпжақтың жақ саны. Тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр сияқты бес 
дұрыс  көпжақты  қарастырумен  шектелеміз.  Басқа  дұрыс  көпжақ  болмайды. 
Кесте бойынша тексерейік: 
 
  көпжақтың  аты 
төбе  саны
 
қабырға   саны
 
жақ саны
 

 
35 
Тетраэдр
 
4 
6 
4 
октаэдр
 
6 
12 
8 
куб
 
8 
12 
6 
додекаэдр
 
20 
30 
12 
икосаэдр
 
12 
30 
20 
 
         
          Барлық  бес  дұрыс  көп  жақ  үшін  (1)  теңдігі  дұрыс  орындалады. 
Сонымен  барлық жағдайды толық қарастырып барып жасалатын әдіс толық 
индукция деп аталады.   
          Математикалық  индукция  деп,  алғашқы  элементі  туралы  жасалған 
тұжырымның шындығы келесі элементі үшін де дұрыс болатын тұжырымды 
айтамыз.  Математикалық  индукция  әдісі  математикалық  индукция 
қағидасына  негізделеді.  Сонымен  математикалық  индукция  әдісінің          
мәні мынада: 
         1-қадам. Теореманың (есеп, формула) n=1 үшін дұрыстығы тексеріледі 
         2-қадам. Теорема  кез-келген n=к  болғанда дұрыс деп ұйғарылады. 
         3-қадам.  Осы  ұйғарымға  сүйене  отырып,  теораманың  n=к+1  үшін 
дұрыстығы дәлелденеді. 
         Үшінші қадамның дұрыстығы және математикалық индукция қағидасы 
негізінде  кез-келген  натурал    n  үшін  теорема  дұрыс  деген  қорытынды 
шығарылады.    
         Мысалы,  математикалық  индукция  әдісімен  мына  формуланың 
дұрыстығын дәлелдеу керек: 
2
3
3
3
3
2
)
1
(
3
2
1











n
n
n
S
n

     (*) 
 
         1-қадам. n=1 болғанда  
1
2
)
1
1
(
1
2
1







S
  
 
         2-қадам. n=к  болғанда (*) формуласы дұрыс деп жориық, яғни 
 
2
3
3
3
3
2
)
1
(
3
2
1











k
k
k
S
k

 
 
         Енді  n=к+1 болғанда (*) формуласының дұрыстығын көрсетейік: 
 


























2
2
2
2
2
3
2
3
1
)
2
/
)
2
((
)
1
(
2
4
4
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
S
S
k
k
 
 
2
2
)
2
)(
1
(







k
k
 

 
36 
               
 
           3-қадам.  Алғашқы  екі  қадамдағы  дәлелдеулердің  нәтижелерін  ескеріп 
және  математикалық  индукция  әдісін  қолданып,  (*)  формуласын  кез-келген 
n

N үшін дәлелденген деп есептейміз. 
          Теңдікті дәлелдеу керек: 
 
;
1
3
)
1
3
)(
2
3
(
1
...
10
7
1
7
4
1
4
1
1











n
n
n
n

жүктеу/скачать 2,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: