Математиканы

 
37 
         Бұл  формула  бойынша  геометриялық  прогрессияның  кез-келген 
мүшесін табуға болады. Қандай да бір тізбек беріліп, оның жалпы мүшесінің 
формуласын  табу  керек  болса,  онда  жалпылау,  ал    берілген  формула 
бойынша  тізбектің  мүшелерін  тапқанда,  нақтылау  жүзеге  асырылады.          
Жалпылау  кезінде  қандай  да  бір  жиынды  қарастырудан  оны  қамтитын 
жиынға  көшу жүзеге асады. Сондықтан, алдымен бірінші жиынның барлық 
қасиеттері  дәлелденеді  де,  одан  соң  бірінші  жиын  үстіндегі  барлық  
қасиеттер  дәлелденеді.  Осылайша,  жиынның  кейбір  қасиеттері  сол  күйінде 
сақталып  қалады  да,  қайсыбірі  өзінің  күшін  жояды,  ал  кейбір  қасиеттері 
жалпыланған  түрде  түсіндіріледі.  Мысалы,  тікбұрышты  үшбұрыштар  кез-
келген  үшбұрыштың  ішкі  жиыны.  Бірінші  жиыныннан  екінші  жиынға  өту 
кезінде  ”тікбұрышты  үшбұрышқа  іштей  шеңбер  сызуға  болады”, 
«тікбұрышты  үшбұрыштың  ішкі  бұрышының  қосындысы  180
0
  тең» 
қасиеттері сақталады. Ал  “тікбұрышты үшбұрыштың бір бұрышы 30
0 
 болса, 
онда  сол  бұрышқа  қарсы  жатқан  катет  гипотенузаның  жартысына  тең 
болады”  қасиеті тікбұрышты үшбұрыштан басқа кез келген үшбұрыш үшін 
дұрыс  болмайды.  Ал  тікбұрышты  үшбұрыш  үшін  Пифагор  теоремасын,    
кез-келген 
ұшбұрыш 
үшін 
оның 
жалпылануы 
болатын                     
косинустар  теоремасымен  алмастыруға  болады. 
          Абстракциялау  деп  зерттелетін  заттар  мен  құбылыстардың  елеусіз 
қасиеттерін ойдан шығарып, оның елеулі қасиеттерін анықтауды айтады. 
         Абстракциялау 
таным 
процесінде 
екі 
түрде 
көрінеді.           
Абстракциялаудың  бірінші  түрі  затты  сезімдік  қабылдауда  оның  бірнеше 
қасиеттерін ескермей, басқа кейбір қасиеттерін іріктейді. Мәселен, кез-келген 
затты  геометриялық  дене  ретінде  қарастыра  отырып,  оның  тең  пішініне, 
мөлшеріне,  жазықтықтағы  немесе  кеңістіктегі  орнына  ғана  назар  аударады.          
Абстракциялаудың екінші түрі сезімдік танумен шектелмейді. Мұнда заттар 
мен  құбылыстардың  қасиеттерін  іріктеп  қана  қоймай,  оларды  түрлендіреді. 
Мысалы, үшбұрыштарды бұрыштары бойынша сараптай отырып, оқушылар 
абстракциялау  арқылы  қабырғаларының  әр  түрлілігін  ескермей,  тек 
ұшбұрыш ұғымына ғана амалдар қолданады.  
          Нақтылау  деп  жалпыдан  жекеге  көшу  ережесімен  түсіндіріледі.  Бұл 
ереженің  мағынасы  мынандай:  егер  қандай  да  бір  обьектінің                   
барлық  элементтері  А  қасиетіне  ие  болса,  онда  осы  обьектінің             
кезкелген 
бір 
а 
элементі 
де 
сол 
қасиетке 
ие 
болады.                              
Мәселен,  a+(b+c)=(a+b)+c    қосудың  терімділік  заңын  нақтылап 
12+(7+25)=(12+7)+25 
мынадай 
теңдігін 
 
табамыз, 
немесе                                                                        
a
2
-b
2 
=  (a-b)  (a+b)  формуласын  нақты  жағдайда:  16
2
-9
2
=(16+9)(16-9)    мәнін 
оңай 
таба 
аламыз. 
Бұл 
мысалдардан 
нақтылауды 
пайдаланып,            
жалпыдан  жекеге  көшу  тәсілін  көруге  болады.  Ұғымдарды  жалпылау         
мен  нақтылауды  ұтымды  жүргізу  нәтижесінде  ұғымды  саналы  игеруге, 
олардың  арасындағы  логикалық  байланыстарды  тағайындауға  және 
жүйелеуге  қолайлы  жағдай  жасалынады.  Нақтылау  кезінде  берілген 
жиынның 
элементтерін 
қарастырудан 
оның 
ішкі 
жиынының       
элементтеріне 
көшу 
жүзеге 
асырылатын 
болса, 
онда 
берілген             

 
38 
жиынның  элементтері  үшін  тағайындалған  барлық  қасиеттер,  оның           
ішкі  жиынының  элементтерінің  қасиеттері  болады.    Мысалы,  ромб       
ұғымын  оқып  үйрену  үшін  оның  параллелограмм  екендігі  негізінде,       
ромбыға 
параллелограмның 
барлық  қасиеттері  тән  болатындығы    
көрсетіледі де, одан кейін ромбының қасиеттері тағайындалып, дәлелденеді.  

 
39 
                                                                                   Басқа    ғылымдарды ... математикалық  
                                                                            дәлелдемелер  арқылы  тани   білу  керек. Бұл  
                                                                              математикалық дәлелдемелерсіз өзге  
ғылым- 
                                                                              дарды  түсінуге де, түсіндіруге де  
болмайды, 
                                                                            онсыз  ол   ғылымдарды   оқып    үйренуге  де, 
                                                                            үйретуге  де болмайды.  Егер  біреу, матема- 
                                                                            тиканың     күшін    жекелеген     ғылымдарға   
                                                                            қолданып,  дербес   мәселелерге   көшсе,  онда   
                                                                            ол   математикасыз   білім    шыңына   шыға  
                                       алмайтындығын көреді. 
 
Бэкон Р. 
 
5. Математикалық ұғымдар, сөйлемдер және 
оларды үйренудің әдістемесі 
 
         5.1  Математикалық ұғымдар. 
         5.2  Математикалық сөйлемдер.  Дәлелдеу. 
         5.3  Математикалық ұғымдарды қалыптастыру әдістемесі. 
 
         5.1  Ұғым деп зерттеу объектісінің елеулі қасиеттері бейнеленген ойлау 
түрі. Айталық, біздің әрбір сөйлеміміздің мағынасы белгілі бір заттың тобын, 
класын  анықтайды,  құбылыстардың  өзара  қатынасын  бейнелейді.  Егер  сөз 
бізге бір затты басқа бір заттардан көптеген қасиеттерін ерекшелеп көрсетуге 
көмектессе,  ойымызда  ол  зат  ерекшеленіп  елестесе,  не  оларға  тән  ортақ 
қасиеттер  мен  байланыстары  көрсетілсе,  онда  ой  заттың  жалпы  қасиеттерін 
бейнелей  алады.  Заттар  арасындағы  және  құбылыстар  мен  қатынастардан, 
олардың  нақты  қасиеттерінен  жалпылай  қорытынды  шығарылса,  онда  олар 
туралы  белгілі  бір  ұғым  болады.  Ұғым  -  әдетте  біздің  санамызда  кейбір 
объектілер  қатынасы  мен  процесстердің,  кейбір  заттар  класының  ойша 
бейнесін белгілеу үшін қолданылады.  
         Математикалық  ұғым  біздің  ойымызда  белгілі  бір  формада  нақты 
жағдайдан  абстракцияланған  шындықты  бейнелейді.  Математикалық 
ұғымдарды  меңгеру,  оны  тәжірибеде,  өмірде  қолдана  білу  мақсатты  түрде 
анықталғанда  ғана  мүмкін  болады.  Бір  затты  екінші  заттан,  олардың 
қасиеттері,  белгілері,  ерекшеліктері  арқылы  ажыратамыз.  Әртүрлі 
объектілердің өзіне тән жеке қасиеттері және жалпы қасиеттері болады.  
         Жеке  қасиеттері  деп  ол  объектінің  басқа  объектіден  ажырататын 
қасиеттерін атайды. Мысалы, бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңдеу 
– квадрат теңдеу. Қазақстандағы ең ұзын өзен – Іле және т.б. 
         Жалпы  қасиеттері  деп  белгілі  бір  объектінің  басқа  объектіден 
ажырататын  да,  ажыратпайтын  да  болуы  мүмкін.  Мысалы.  Адамдар  – 
омыртқалылар класына жатады, сүтқоректі т.б.  
         Ұғым  мазмұннан  және  көлемнен  тұрады.  

 
40 
         Ұғым көлемі – осы класқа жататын барлық объектілердің сипаттамалық 
қасиетін  айтады.  Мысалы,  «Үшбұрыш»  ұғымы  мүмкін  болатын  барлық 
үшбұрыштар класын білдіреді. Бұл ұғымның көлемі болып табылады.  
         Ұғымның  мазмұны  сипаттамалық  қасиетке  ие:  үш  қабырғасы,  үш 
бұрышы,  үш  төбесі.  «Теңдеу»  ұғымы  –  барлық  мүмкін  болатын  теңдеулер 
класын  біріктіреді  (көлемі)  және  сипаттамалық  қасиеті  бірнеше 
айнымалыдан  тұратын  теңдік  (ұғымның  мазмұны).  Ұғымның  мазмұны 
анықтама  арқылы,  көлемі  классификациялау  жолмен  табылады.  Ұғымды 
қалыптастыру  –  күрделі  психологиялық  процесс,  білім  берудің  жай 
танымдық  формасы  –  түйсінуі.  Сезіну-қабылдау-түсінік-ұғым.  Әдетте  бұл 
процесс  екі  сатыдан  тұрады.  Сезімдік  қабылдау  арқылы  түсініктің  пайда 
болуы  және  логикалық  түрде  түсініктен  ұғымға  жалпылау  мен 
абстракцияның көмегі арқылы жету (оқушы 3 санын қалай қалыптастырады). 
Бірінші  кезеңде  әртүрлі  нақты  жиындармен  танысады  (үш  алма,  үшбұрыш, 
үш  қой,  үш  адам  және  т.б.)  бұлардың  әртүрлі  қасиеттеріне  назар  аударады. 
«Көру»  процесі  бала  санасында  бейнелеудің  ерекше  формасын  қабылдайды 
(сезінеді),  объектіні  сезімдік  түйсіну  –  танымның  ең  алғашқы  сатысы,  ол 
ұғымға  сәйкес  қалыптасады.  Математика  пәні  өзі  зерттейтін  ұғымдарды 
белгілі  бір  жүйеге  келтіріп,  өзіне  тән  талаптарға  сәйкес  ұғымдарды 
бөлшектейді. Ол үшін:  
         а)  бөлудің  негізі  бірыңғай  болуы  керек.  Бұл  шартты  сақтамау 
нәтижесінде оқушылар жиі қатеге ұрынады.  Мысалы, үшбұрыш ұғымын тең 
бүйірлі, сүйір бұрышты және тік бұрышты үшбұрышқа бөледі.  
         ә) бөлу өлшемдес болуы тиіс. Мұның мәні – бөлінетін ұғымның көлемі 
бөлу мүшелері көлемдерінің қосындысына тең болуы керек.  
         б) бөлу мүшелерінің әрқайсысы басқаларын қоспауы тиіс, яғни олардың 
бірде  біреуі  басқа  ұғымның  көлеміне  кірмеуі  тиіс.  Мәселен,  «бүтін  сандар, 
жай  сандар,  жұп  сандар,  тақ  сандар»  бөлуі  дұрыс  емес,  себебі  5  саны  жай 
сандарға да, тақ сандарға да кіреді.  
         в) бөлу үзіліссіз болуы керек, яғни бөлінетін ұғым бөлу мүшелері үшін 
ең жақын тек болуы тиіс.  
         Ұғымдарды  классификациялауды  олардың  әр  түрлі  белгілері  бойынша 
жасауға  болады.    Мысалы,  бір  ғана  үшбұрыш  ұғымын  «бұрыштары 
бойынша» және «қабырғалары бойынша» жеке-жеке классификацияланады:  
         а)  үшбұрыш  бұрыштары  бойынша:  сүйір  бұрышты,  тік  бұрышты,        
доғал бұрышты.  
         б)  әр  қабырғалары  бойынша:  әр  қабырғалары 
)
,
,
(
с
а
c
b
b
а



,  тең 
бүйірлі 
)
(
c
b
a


, тең қабырғалы 
)
(
c
b
a


.
 
         Классификациялау 
ұғымдардың 
мәнін 
олардың 
қатынастарын 
айқындау,  көлемін  шектеу  арқылы  дұрыс  түсінуге  көмектеседі.  Сондай-ақ 
функция  ұғымын  да  әр  қырынан  классификациялауға  болады.  Егер  бір 
ұғымның көлемі басқа ұғым көлемінің бөлігі болса, онда бірінші ұғым түрлік 
ұғым,  ал  екіншісі  тектік  ұғым  деп  аталады.  «Тек»  және  «түр»  атаулары 
салыстырмалы  сипатта  ғана  болады.  Мәселен,  «параллелограмм»  ұғымы 
«ромб»  ұғымына  қарағанда  тектік  ұғым  болады,  ал  «көпбұрыш»  ұғымына 

 
41 
қарағанда түрлік ұғым болып табылады. Сол сияқты  «үшбұрыш» ұғымдары 
бойынша  үшбұрыштың  екі  қабырғасы  тең  болатынын  бөліп  алатын  болсақ, 
онда  «тең бүйірлі үшбұрыш» ұғымы жалпы  «үшбұрыш» ұғымының түрі, ал 
«тең  бүйірлі  үшбұрыш»  үшін  «үшбұрыш»  тектік  ұғым  болады.  Егер  тең 
бүйірлі  үшбұрыштардың  ішінен  бір  бұрышы  тік  болатын  болса,  онда  тең 
бүйірлі  үшбұрыш  –  тектік,  ал  тең  бүйірлі  тікбұрышты  үшбұрыш  –  түрлік 
ұғым  болады.    Мәселен,  алгебралық  жағынан  функцияларды  алгебралық 
және  трансценденттік  деп,  жұптық  белгілі  бойынша  –  тақ,  жұп,  тақта  емес, 
жұпта емес функцияларға саралауға болады. 
         5.2  Математикалық  сөйлемдердің  маңызды  түрлеріне  аксиомалар, 
постулаттар, теоремалар жатады.  
         Аксиома        деп        ешбір        дәлелдеусіз        қабылданатын        сөйлемді    
айтады.  
Ғылыми теорияны құрғанда сүйенетін бастапқы негізі – дәлелдеусіз алынған 
сөйлемдер  жүйесі,  яғни,  аксиомалар.  Ғылыми  теорияның  басқа 
тұжырымдары  (теоремалары)  осы  аксиомаларға  сүйеніп  дәлелденеді. 
Аксиомалар  және  алғашқы  ұғымдар  математикалық  теорияның  негізгі 
фундаментін  құрайды.  Математикалық  теориялардың  негізі  болатын 
аксиомаларды ғылыми тұрғыда жан-жақты зерттеу ХІХ ғасырдың соңы мен 
ХХ  ғасырдың  басында  қолға  алынды.  Бұл  кезеңде  бірсыпыра  ғалымдар 
математикалық теориялардың тізімін жасаумен шұғылданады.  
         Белгілі  бір  ғылымның  негізін  қалайтын  барлық  аксиомалар  тобын 
аксиомалар  жүйесі  дейді.  Мәселен,  геометрияның  барынша  толық  әрі 
қарапайым аксиомалар жүйесін жасағандардың бірі атақты неміс математигі    
Д. Гильберт еді. Д. Гильберт геометриялық жүйеде алғашқы үш (нүкте, түзу, 
жазықтық)  ұғымды  және  алғашқы  үш  (жатады,  арасында,  конгруэнтті) 
қатынасты  қарастырады.  Г.  Вейль  бүкіл  мектеп  геометриясын  векторлық 
кеңістік идеясы негізінде құруды ұсынды.  
         А.Н.  Колмогоров  бүгінгі  таңдағы  мектеп  геометриясының  аксиомалар 
жүйесін жасады. Аксиомалар жүйесіне мынадай талаптар қойылады: 
         1. Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болуы тиіс. Мұның мәні жүйедегі 
аксиомалар  мен  сол  аксиомалардың  барлық  логикалық  салдары  бірін–бірі 
теріске шығармауы керек. 
         2.  Аксиомалар  жүйесі  тәуелсіз  болуы  тиіс.  Мұның  мәні:  жүйедегі  кез-
келген аксиома басқаларынан шықпауы керек.  
         3.  Аксиомалар  жүйесі  толық  болуы  тиіс.  Мұның  мәні:  жүйедегі 
аксиомалар теорияның негізін қалау үшін жеткілікті болуы керек.  
         Ұзын  саны  шектеулі  аксиомалардан  теорияны  құру  әдісін 
аксиоматикалық әдіс деп, ал теорияны аксиоматикалық теория деп атайды. 
Бұл  теорияның  басқа  қағидалары  оның  негізін  қалаған  аксиомалардың 
логикалық  салдарлары  болып  табылады.  Математика  ғылымында 
геометрияны,  арифметиканы,  ықтималдықтар  теориясын  және  т.б.  құрудың 
аксиоматикалық әдістері белгілі.  

 
42 
         Постулат дегеніміз – белгілі бір ұғым немесе ұғымдардың арасындағы 
белгілі  бір  қатынас  қанағаттандыруға  тиісті  талаптарды  сипаттайтын 
математикалық сөйлем.  
         Сондықтан постулаттың өзі белгілі бір ұғымның немесе ұғымдар жүйесі 
анықтамаларының  бөлігі  болып  табылады.  Мысалы,  «жазықтықтағы 
параллель  түзулер»  ұғымы  екі  постулатпен  анықталады.  Айталық,  а  және  в 
түзулері  өзара  параллель  болуы  үшін  мына  қасиеттерді  қанағаттандыруы 
тиіс.  
    а)  а және в түзулері бір жазықтықта жатуы тиіс, яғни  
.





в
а
 
         б)    екі  түзу  бір  –  бірімен  беттесуі  немесе  мүлдем  ортақ  нүктелері 
болмауы тиіс, яғни 





в
а
в
а
 
         Теорема 
деп 
ақиқаттығы 
дәлелдеу 
арқылы 
тағайындалатын 
математикалық сөйлемді айтады.  
         Әрбір  теорема  өзінің  шартын  (Р)  және  қорытындысын  (Q)  қамтиды. 
Мәселен, «Вертикаль бұрыштар тең» теоремасында «Вертикаль бұрыштар» - 
шарты, ал «тең» қорытындысы. Осы теоремаға «егер ... , онда ... » тіркестерін 
пайдаланып,  тұжырымын  басқаша,  келісімді  (силлогизм)  түрде  беруге 
болады, яғни  «Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұл 
тұжырымның  ерекшелігі,  теореманың  шарты  (егер...)  мен  қорытындысы         
(онда  ...)  бір–бірінен  ерекшеленіп  тұрады.  Кейбір  жағдайларда  теореманы    
«Егер..., 
онда...» 
тіркестерінсіз 
тұжырымдауға 
болады. 
Мұндай 
тұжырымдарды  кесімді  тұжырымдау  дейді.  Кесімді  тұжырымдау  әдетте 
қысқа,  ыңғайлы  болып  келеді.  Теореманың  тұжырымын  логикалық  тілде 
былай жазады: Р (шарт) 

 Q (қорытынды).  
         Ал  теореманы  дәлелдеу  дегеніміз  Р  шартты  ақиқат  деп  алып,                      
Q қорытындының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету. 
         Теоремалар  тура,  кері,  қарама  -  қарсы  және  кері  теоремаға  қарама  – 
қарсы теорема түрінде кездеседі. Алғашқы теореманы тура теорема 
)
(
Q
Р

 
деп  алсаң,  онда  берілген  теоремаға  кері  теорема  деп  тура  теореманың 
шартын  қорытындысымен,  ал  қорытындысын  шартымен  ауыстырудан 
шыққан теореманы айтамыз 
)
(
P
Q

.  
         Тура  теоремаға  қарама–қарсы  теорема  деп  оның  шарты  мен 
қорытындысын тікелей бекерге шығарудан алынған теорема  
).
(
Q
P

 
         Қарама–қарсы  теоремаға  кері  теорема  деп  оның  шарты  мен 
қорытындысын бекерге шығарудан алынған теореманы айтамыз 
)
(
P
Q

. 
         Жалпы  алғанда,  тура  теорема  дұрыс  болғанда,  оған  кері  теорема  мен 
қарама–қарсы  теорема  әрдайым  дұрыс  бола  бермейді.  Келтірілген  мысалда, 
тура  теорема  дұрыс  та  кері  теорема  жалған.  Шынында,  тік  төртбұрыштың 
диагональдары  тең.  Бірақ  ол  тең  бүйірлі  трапеция  емес.  Сондай–ақ 
мысалдағы  қарама–қарсы  теорема  да  жалған,  өйткені  тік  төртбұрыш  тең 
бүйірлі  трапеция  бола  алмайды,  бірақ  оның  диагональдары  тең.  Ал  кері 
теоремаға  қарама–қарсы  теорема  әрдайым  тура  теоремамен  мәндес  болады. 
Осы сияқты, кері теорема мен қарама–қарсы теорема да мәндес болады. Кері 
және  қарама–қарсы  теоремаларды  дәлелдеудің  маңызы  зор.  Сондай–ақ 

 
43 
олардың дәлелдеуін игерудің мәні ерекше. Біз кері теореманы дәлелдеудің әр 
түрлі әдістеріне             мысалдар келтірейік.  
         Тура теорема. Егер шеңбердің екі хордасы тең болса, онда олар керетін 
доғалары да тең болады.  
         Кері теорема. Егер шеңбердің екі доғасы тең болса, онда олар керетін 
хордалары да тең болады.  
         Дәлелдеудің бірінші тәсілі –кері теореманы тура дәлелдеу.  
         Берілгені. 
CnD
AmB



 (7сурет). 
 
 
                                                           7-сурет 
 
         Дәлелдеу керек: 
.
CD
AB

 
         Дәлелдеу. 
CnD
AmB



  болғандықтан, 
АВ
  доғасын 
СD
  доғасына 
бейнелейтін  етіп  көшіргенде,  А  және  В  нүктелері  сәйкес  Q  және  Р 
нүктелеріне  бейнеленеді  және 
OD
OC
OB
ОА



  екенін  еске  алсақ,  онда 
COD
АОВ



. Демек, 
CD
АВ

. 
         Дәлелдеудің екінші тәсілі – қарсы жору.  
CD
АВ

    (1) 
         деп ұйғарамыз. Олай болса,  
1
CD
AB

    (2) 
         болатындай 
1
D
 нүктесін салайық. Ал тура теоремадан 
CD
АВ

    (3) 
(2) және (3) теңдіктерден 
1
CD
СD

, яғни 
СD
 нүктесі өзінің 
1
CD
 бөлігіне тең, 
бірақ  бұлай  болуы  мүмкін  емес.  Сонымен,  біз  қайшылыққа  келдік.  Демек, 
CD
АВ

 деп ұйғаруымыз дұрыс емес. Ендеше, 
CD
АВ

. 
         Енді  кері  теореманы  дәлелдеудің  үшінші  тәсілін  қарастырайық.  Бұл 
тәсілде  кері  теоремамен  мәндес  қарама-қарсы  теореманы,  яғни 
)
(
)
(
Q
P
P
Q



  пайдаланамыз.  Екі  теореманың  да  дұрыстығына  көз 
жеткізу  үшін  олардың  біреуін  дәлелдеу  жеткілікті.  Біз  қарама-қарсы 
теореманы дәлелдейік. 

жүктеу/скачать 2,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: