1)  (–; –1);    2) (–; –3);   3) [5,5; +);   4)  (–; –6);  5) [–8; +);  6) (–; 4). 954

61
Бір  айнымалысы  бар  сызықтық  теңсіздіктер  жүйесінің  шешімдерін 
табу үшін: 
1) жүйедегі теңсіздіктердің әрқайсысының шешімдерін табу керек; 
2) табылған шешімдерді бір координаталық түзуде кескіндеу керек; 
3) координаталық түзуден жүйедегі теңсіздіктердің ортақ шешім-
дерін табу керек немесе бірде-бір шешімі болмайтындығын дәлелдеу ке-
рек.  
Жүйедегі  теңсіздіктердің  шешімдері  жиындарының  қиылысуы 
жүйенің 
шешімдері болады.   
Жүйенің шешімдері сан аралығымен немесе теңсіздікпен жазылады.
Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешуді үйренейік.
1-мысал. Оқушы 4 дәптер сатып алу үшін 200 теңгеден артық ақша 
төлейді. Егер дәптердің бағасы 20 теңгеге қымбаттаса, ол 360 теңгеден 
кем ақша төлейді. Дәптердің алғашқы бағасы неше теңге?
Ш е ш у і .  
х(тг) – дәптердің алғашқы бағасы. 
Есептің шарты бойынша:
4
200
4
20
360
x
x
>
+
(
)
<




,
                                                        .
Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер жүйесі құрылады.
Демек, есепті шығару үшін 
4
200
4
20
360
x
x
>
+
(
)
<




,
 теңсіздіктер жүйесінің 
шешімдерін  табу  керек.  Ол  үшін  жүйедегі  теңсіздіктердің  әрқайсысын 
онымен мәндес теңсіздікке түрлендіреміз: 
x
x
>
+
<



50
20
90
,
;
 
x
x
>
<



50
70
,
.
Теңсіздіктердің  табылған  шешімдерін: 
x>50  және  x<70-ті  бір 
координаталық түзуде кескіндегенде (5.23-сурет), олардың ортақ шешім-
дерінің жиыны (50; 70) аралығы болады. Себебі 
(50; +)(–; 70) = (50; 70).
 
Онда  жүйедегі  теңсіздіктердің  ортақ  шешімдер  жиыны  (50;  70) 
аралығы немесе 50<
x<70 қос теңсіздігі. 
Жауабы: дәптердің бағасы 50 тг-ден артық, бірақ 70 тг-ден кем.
2-мысал. Теңсіздіктер жүйесін шешейік:
                                   
9
5 13
6
7 23
x
x
−
−



I
I
,
.
 
 
5.23-сурет
50
70

62
Теңсіздіктердің  әрқайсысын  онымен  мәндес  теңсіздікке  түрлен-
діргенде:
9
18
6
30
x
x
I
I
,
;



    
x
x
I
I
2
5
,
.



Теңсіздіктердің әрқайсысының шешімдері болатын сандар жиынын 
бір координаталық түзуде кескіндегенде (5.24-сурет): 
x
I2  және  xI5.
Онда теңсіздіктер жүйесінің шешімдер жиыны [5; +) немесе 
x5.
Жауабы: [5; +). 
Жүйедегі  теңсіздіктердің  ортақ  шешімдері  болмайтын  жағдайды 
қарастырайық.
3-мысал. Теңсіздіктер жүйесін шешейік:
 
3
2 14
4
3
21
x
x
+
− >



J ,
.
Жүйедегі 
теңсіздіктердің 
әрқайсысын 
мәндес 
теңсіздікке 
түрлендіргенде:
3
12
4
24
x
x
J ,
;
>



    
x
x
J 4
6
,
.
>



 
Теңсіздіктердің шешімдерін бір координаталық түзуде кескіндегенде  
(5.25-сурет) 
х4 және х>6.
Теңсіздіктердің  ортақ  шешімдері  бос  жиын  ().  Демек,  берілген 
теңсіздіктер жүйесінің шешімдері болмайды.
Жауабы: .
4-мысал.  17<4
x–3<33  қос  теңсіздігінің  шешімдерін  табайық. 
17<4
x–3<33 қос теңсіздігін теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық: 
4
3 17
4
3
33
x
x
− >
− <



,
.
Теңсіздіктердің әрқайсысын мәндес теңсіздікке түрлендіргенде: 
4
20
4
36
x
x
>
<



,
;
       
x
x
>
<



5
9
,
.
Осы мысалды қос теңсіздік түрінде де жазып, шешуге болады.
2
5
5.24-сурет
5.25-сурет
4
6

63
17<4
x–3<33,
17+3<4
x<33+3,
20<4
x<36,
5<
x<9.
Теңсіздіктер  жүйесінің  шешімдер  жиыны  (5;  9)  аралығы  немесе 
5<
x<9.
Жауабы: (5; 9).
1. Қандай теңсіздіктер бір жүйеге біріктіріледі?
2. Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесінің шешімі дегеніміз не?
3.  Бір  айнымалысы  бар  сызықтық  теңсіздіктер  жүйесінің  шешімдерін  қалай 
табуға болады?
967.  2 саны теңсіздіктер жүйесінің шешімі бола ма (а у ы з ш а ):
 
1) 
3
4 13
1
5
x
x
+
− > −



J ,
;
 
2) 
x
x
+ <
− >



4
0
2
3
5
,
;
  
3)  4
3 5
7
0
x
x
−
− <



I ,
?
 
А
968.  Теңсіздіктер  жүйесінің  шешімдерін  сан  аралықтарымен  жазып, 
координаталық түзудің бойында кескіндеңдер:
 
1) 
x
x
I
J
7
10
,
;



 
 
3)  x
x
<
<



4
7
,
;
 
 
5)  x
x
< −
>



4
3
,
;
 
2)  x
x
>
<



3
6
,
;
 
 
4)  x
x
> −



1
2
,
;
I
   
6)  x
x
I 0
5
,
.
> −



969.  Теңсіздіктер жүйесінің шешімдерін табыңдар:
 
1)  2
7 1
3 1
x
x
+
− <



I ,
;
  
3)  4
9
15
2
5
x
x
+ > −
−



,
;
J
 
5)  7
9
2
1
4 11
9
14
x
x
x
x
+ <
−
+
>
−



,
;
 
 
2)  3
21
4
0
y
y
<
− >



,
;
  
4) 
2
3
1
5
22
2
x
x
x
x
+
−
−
+



I
J
,
;
   6)  x
x
x
I 0
5
2
1
,
.
− >
+



970.  Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:
 
1)  3
1
3
5
3
2
3
x
x
x
x
−
(
)
< −
+
(
)
>
+




,
;
 
3)  3 2
3
6
4 3
1
5
10
y
y
y
y
−
(
)
+
+
(
)
−




J
I
,
;
 
2)  2
2
3
1
5
1
4
3
y
y
y
y
−
(
)
+
+
(
)
+




I
J
,
;
   
4)  2 3
2
5
1
7
2
3 2
3
x
x
x
x
+
(
)
>
−
(
)
+
(
)
<
+
(
)




,
.

64
971.  Қос теңсіздіктердің шешімдерін табыңдар:
 
1) –2<3
x+1<7; 
 
3) 3<7–4
x<15;
 
2) 2<5
x–3<17; 
 
4) –12<2(
x+3)<4.
972.   Тік  төртбұрыштың  ені  5  см,  оның  периметрі  26  см-ден  кем.  Тік 
төртбұрыштың ұзындығын бағалаңдар.
973.   Берілген бүтін сан мен сол санның 
1
3
-інің қосындысы 36-дан кем. 
Берілген сан мен оның 
1
2
-інің айырмасы 11-ден артық. Берілген 
бүтін санды бағалаңдар.
974. 
  Амалдарды орындаңдар:
 
1) 4,86 : (–1,8)–0,8 · 2,3+6; 
3) 3,04 : (–1,6)+16,16 : 16+7;
 
2) 13,44 : (0,65–0,23 · 15);  
4) (99,99–6,54) : (–62,3) · (–0,3).
В
975.   Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:
 
1)  x
x
>
>



1
2 5
,
,
;   
3)  x
x
< −
> −



1 5
2
, ,
;
  
5)  0 6
9
1
3
2
,
,
;
x
x
I
J  




                          ;
 
2)  −
−



2
3
3
x
x
J
J  
,
;
   
4)  4 5
1
1
6
2
−
> −
<




x
x
,
;
 
 
6)  9
0
1
7
1
x
x
>
−




,
.
I
 
976.   Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:
 
1)  7 2
5
3
2
8
+
> +
+ < +



x
x
x
x
,
;
   
3)  0 4
1
0 5
1 7
2 7
10
0 9
1
,
,
, ,
,
,
;
x
x
x
x
− <
−
−
<
−



 
 
 
2)  1 0 5
4
9 2 8
6 1 3
−
< −
−
> −



,
,
,
,
;
x
x
x
x
 
4)  2 8
17 0 3
4 5
12 3
16 6 7 1
19 8
,
,
, ,
,
,
,
, .
x
x
x
x
−
−
−
+



I
J
977.   Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:
 
 
1)  x
x
x
6
3
2
2
1
3
0
+
<
−
>






,
;
2) 
x
x
x
x
− +
−
−






3
2
1
2
2
3
I
J
,
;
 3) 
x
x
x
x
x
3
4
6
1
6
2
4
3
−
<
−
−
>
+






,
;
  4) 
x
x
x
x
5
2
3
2
5
3
2
7
3
7
2
3
− < −
+
>
−






,
.
 
978.   Берілген  тақ  санның  келесі  тақ  санмен  қосындысы  36-дан  кіші. 
Соңғы (келесі) тақ санның екі еселенген одан кейінгі тақ санмен 
қосындысы 49-дан үлкен. Берілген тақ санды табыңдар.

65
979.   Дәулет достарына беру үшін бақтан 15-тен артық, 21-ден кем алма 
теріп  алды.  Егер  ол  достарының  әрқайсысына  3  алмадан  берсе, 
оның барлық алмасы неше досына жететінін бағалаңдар.
980. 
  Бөлшектерді тиімді тәсілмен (натурал санға келтіріп) есептеңдер:
 
1) 
3
8
7
12
1
2
3
4
5
8
1
6
+
+
− +
;  
2) 
5
9
1
6
2
3
5
6
1
2
2
9
− +
− −
;        
3) 
7
12
2
15
1
4
1
3
1
30
2
15
−
−
−
−
.
С
981.   Теңсіздіктер жүйесінің шешімдерін табыңдар:
 
1)  0 6
6
3
0 2
1
2
1
4 3
2
5
,
,
,
;
x
x
x
+ −
+ >
−
>






  
3) 
0 2
1
7
0 3
2
0 1
1
3
1
4
,
,
, ,
;
x
x
x
x
− −
+ −






J
J
 
2)  0 8
1
5
1
2
0 48
5
3
1
6
,
,
,
;
x
x
x
x
− −
− −






J
J
  
4)  1 4
5
0 6
3
2 28
2
1
7
1
3
,
,
,
,
.
−
−
<
−
− >






x
x
x
x
 
982.   Теңсіздіктер жүйесінің шешімдерін табыңдар:
 
1) 
x
x
x
x
x
3
1
4
2
1
2
0 7
8 7
3
5
6
0
+
−
(
)
> −
−
−
− <






,
,
,
;
   
2) 
x
x
x
x
x
x
x
− + − − >
+
+ > −
−






5
3
1
6
3
2
8
3
4
0 2
2
5
,
,
.
983.   Қос теңсіздіктердің шешімдерін табыңдар:
 
1) 
1
5
2
2 5
J
+ <
x
, ;
 
 
 
3) 
2 15
3
1
4
2 6
,
, ;
<
− <
x
 
2) 
0
2
3
5
1
<
+ <
x
;
 
 
 
4) 
− <
− <
1
3
1
4
2
x
.
984.   Арақашықтығы 288 км екі қаладан бір уақытта біріне-бірі қарама-
қарсы жүк мәшинесі мен жеңіл мәшине шықты. Жүк мәшинесі-
нің  жылдамдығы  жеңіл  мәшиненің  жылдамдығынан  30  км/сағ 
кем. 2 сағ өткенде мәшинелер бір-бірімен әлі кездескен жоқ, бірақ 
3  сағ  өткен  соң  олар  кездесіп,  бір-бірінен  қашықтай  түсті.  Жүк 
мәшинесінің жылдамдығын бағалаңдар.
5–3417

66
985
*. Ұшып келе жатқан қарғалар теректерге қонды. Қарғалардың жар-
тысы бірінші терекке, қалғанының жартысы екінші терекке, одан 
қалғанының  жартысы  үшінші  терекке  қонды.  Төртінші  терекке 
қалған 3 қарға қонды. Төрт терекке барлығы неше қарға қонды?
  
А. 21 қарға;    В. 24 қарға;   С. 18 қарға;     D. 30 қарға.
986. 
  Амалдарды орындаңдар:
 
 
6 25 2 8
20
23
7
16
3
5
21
1
1
3
0 5
6 1
2 1
14
15
1 4
,
,
·
·
, ·
,
,
,
−
(
)
+




+
+
+










.
Тақырыптың түйіні.
І. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу.
Егер екі немесе бірнеше теңсіздіктердің ортақ шешімдерінің жиы-
нын табу керек болса, онда теңсіздіктер фигуралық ( { ) жақшаға алы-
нып, бір жүйеге біріктіріледі.
1-мысал. 
3
 1  5,
2 + 1   13
x 
x
# G 
H



 жазылуы 3
х – 1>5 және 2х+1 < 13 теңсіздіктер.
Òеңсіздіктер  жүéесін  шешу – оның  құрамындағы  барлық  тең-
сіздіктер шешімдерінің қиылысу аралығындағы сандар жиынын табу.
2-мысал. теңсіздіктер жүйесін шешейік: 
4
 3  5,
3 + 1   25.
x 
x
# G 
H



Жүйедегі  теңсіздіктердің  әрқайсысының  мәндес  теңсіздіктерге 
түрлендіргенде:
4   8,
3    24;   
  2,
   8.
x
x
x
x
G 
H
G 
H






 
   
 8
Теңсіздіктердің әрқайсысының шешімдері болатын сандар жиынын 
координаталық түзуде кескіндегенде: (2; 8) аралығы болады.
Жауабы: (2; 8).
969.
 1) [–3; 4);  2) (–; 4); 3) [–3; +); 4) [–4; 6]; 5) (–9; –2); 6) ∅. 
970.
 1) (–4; 0); 2) (–; –5]; 3) [–2; 3]; 4) (–9; –5). 
971.
 1) (–1; 2); 2) (1; 4); 3) (–2; 1); 4) (–9; –1).
973.
 22 < 
х < 27.
 974. 
1) 1,46; 2) –4,8; 3) 6,11; 4) 0,45. 
975.
 1) (2,5; +); 2) [1,5; 3]; 3) (–2; –1,5); 4) (–; 1). 
2

67
976. 
1) (–2; 3); 2) (–
; 2); 3) ∅; 4) [5; 7]. 
977. 
1) (–; 4); 2) [5; +); 3) ∅; 4) (–5; 2). 
980. 
1) 5; 2) 9,5; 3) 1,2.
 981.
 1) (–5; –2); 2) [–2; 16]; 
3) [–2; 8]; 4) ∅. 
982.
 1) (12; 16); 2) (14; 17). 
983.
 1) [–3; 0); 2) (–1,5; 1); 3) (3,2; 3,8); 4) (–1; 3). 
984. 
33 < 
х < 57. 
986.
 5.
5.7. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген бір 
айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу 
x
< 2;  x I3;   x   
− 2 5
J ;  x   
+ 3 > 7  – айнымалысы модуль таңбасы-
ның ішінде берілген бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер. 
1-мысал.  x
J 6  теңсіздігін шешейік. 
1-тәсіл. Ш е ш у і .
Координаталық  түзу  бойындағы  координатасы  0-ге  тең  нүктеден 
6 бірлікке тең қашықтықтағы нүктелердің кооординаталары –6 және 6 
(5.26-сурет). Онда координатасы 0-ге тең нүктеден 6 бірліктен артық емес 
(кем  немесе  тең)  қашықтықтағы  нүктелерге  сәйкес  сандар  [–6;  6]    сан 
аралығына тиісті.
Демек, |
x|  6  теңсіздігінің шешімдері мына сан аралығына тиісті:
                                     [–6; 6].
2-тәсіл. Ш е ш у і . 
1) егер 
х0 болса,    
 
 
2) егер 
х<0 болса,  
    x  6, 
 
 
 
 
    –
x  6,
                                                               
x  –6,
                осыдан:  0  
x  6 немесе –6  x < 0.
Теңсіздіктің  шешімдерін  біріктірсек,  –6   
x    6  теңсіздігін 
қанағаттандыратын сандар (
х) жиыны  [–6; 6] аралығына тиісті.
Жауабы: [–6; 6]. 
2-мысал.  x − 2
4
<  теңсіздігін шешейік. 
1-тәсіл. Ш е ш у і . 
Координаталық  түзу  бойында  координатасы  2-ге  тең  нүктеден 
4  бірлікке  тең  қашықтықта  –2  және  6  сандары  кескінделген.  Онда  
координатасы  2-ге  тең  нүктеден  4  бірліктен  кем  қашықтықта  (–2;  6) 
аралығындағы сандар кескінделеді (5.27-сурет).
5.26-сурет
х

68
Демек, берілген |
x – 2| < 4 теңсіздігінің шешімдері болатын сандар 
мына сан аралығына тиісті:
(–2; 6).
2-тәсіл. Ш е ш у і . 
|
x – 2| < 4 теңсіздігін қос теңсіздік түрінде немесе теңсіздіктер жүйесі 
түрінде шешуге болады.
Қос теңсіздік түрінде:          
Теңсіздіктер жүйесі түрінде:
1) – 4 < 
x – 2 < 4;                       2)  x
x
− <
− > −



2
2
4
4
,
;
    x
x
<
> −



6
2
,
,
– 4 + 2 < 
x – 2 + 2 < 4 + 2;  
    яғни
– 2 < 
x < 6.   
 
 
    – 2 < 
x < 6. 
Мұндағы  –2  < 
x  <  6  қос  теңсіздігін  қанағаттандыратын  сандар  
жиыны (–2; 6) аралығына тиісті. 
Жауабы: (–2; 6).
Қорытындылағанда:

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: