Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Матрицалар теориясы»
жүктеу/скачать 2,25 Mb.
|
7d448e60-8cb2-11e3-bf6e-f6d299da70eeказ умм теория матриц
| Теорема 2. (унитарлылық критерийі жайлы). Төмедегі тұжырымдар матрицасы үшін эквивалентті болады:
унитарлы; ерекше емес және ; унитарлы; -ң бағандары ортонормаланған жүйе құрайды; -ң жолдары ортонормаланған жүйе құрайды; Кез келген векторы үшін теңдігі орындалады (яғни унитарлы матрицалар изометриялы). Теорема 3(QR-жіктелу жайлы). Егер болса, онда ортонормаланған бағандары бар матрицасы және болатындай жоғары үшбұрышты матрица бар болады. Егер болса, онда Q унитарлы. Дәлелдеуі. Егер және болса, онда А матрицасының QR-жіктелуі А матрицасының бағандарына Грам-Шмидтің процессін қолданғанда -де сызықтық тәуелсіз жүйені құрайтын нәтиженің матрицалық жазылуын аламыз. Айталық, матрицаның бағандары сызықтық тәуелсіз болсын. Грам-Шмидтің алгоритмін осы жағдай үшін жалпылайық. Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде болатындай -лар үшін (яғни бұл сызықтық комбинация болып табылады), болсын делік. Керісінше жағдайда, (қарапайым Грам-Шмидт процессіндегідей). векторлары ортогональ жүйені құрайды, оның әрбір элементі нормаланған немес нөлдік. Әрбір векторы – бұл векторларының сызықтық комбинациясы және керісінше. Бұдан, (3) болатындай сандары табылады. , егер болса. (4) Осылайша, -нан жоғарыда сипатталған процедураның көмегімен жоғары үшбұрышты матрицаны және векторларын табайық. Матрицасы ортогонал бағандардан тұрады (кейбіреулері нөлдік болуы мүмкін) және (3)-ң негізінде болады. Егер және (яғни А ерекше емес) болса, онда Q – 2-теореманың (5-қасиеті бойынша) унитарлы және матрицасының барлық диагональды элементтері нөлден өзгеше. Бұл жағдайда матрицасы – жоғары үшбұрышты болғандықтан, векторы векторының еселігі болады және болғанда векторы бірөлшемді кеңістікте жатады, ол векторларының сызықтық қабықшасындағы векторларының сызықтық қабықшасының ортогональ толықтауышы болып табылады. Бұдан, әрбір векторы модулі бойынша 1-ге тең скаляр көбейткішке дейінгі дәлдікпен бірмәнді анықталады. Сондықтан да -ды -қа ауыстырып: және -ды -қа ауыстырып: теореманың тұжырымында айтылған сол жалғыз жіктеуді аламыз. Егер А матрицасының бағандары тәуелді болса, онда Q-дан нөлдік емес бағандар жиынын (ортонормаланған) алып және оны -гі ортонормаланған базиске дейін толықтырамыз. Мұндай әдіспен алынған жаңа векторларды деп белгілейміз. Енді Q-дағы бірінші нөолдік бағанды менғ ал екіншіні -мен және т.с.с. ауыстырамыз. Алынған матрицаны деп белгілейік. Ол ортонормаланған бағандардан тұрады және , себебі -ғы жаңа бағандар -ғы нөлдік жолдарға сәйкес келеді. Осылайша, - қажетті түрдегі жіктеу. Мысал 3. (QR-жіктеу). матрицасы үшін QR-жіктеуін құрайық. Ол үшін Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданайық. А матрицасының бағандарын деп белгілейік. 1-мысалда көрсетілгендей Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде векторлар жүйесі ортонормаланған векторлар жүйесіне түрленеді, мұнда сонымен қатар, векторларынан матрица құрамыз Онда және байланыстыратын теңдіктерден мынаны аламыз: , мұндағы . жүктеу/скачать 2,25 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|