ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Келтірімді жүйелердің орнықтылығы
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Еругиннің келтірімділік критерийі
- Дәлелдеуі .
Келтірімді жүйелердің орнықтылығы аралықта үзіліссіз -өлшемді вектор-функциясын қарастырайық. 1-анықтама: вектор-функциясының сипаттамалық көрсеткіші деп (1)
шаманы айтады. Бұл ақырлы сипаттамалық көрсеткіштің анықтамасы, біздің қарастыратын вектор-функциялар осындай көрсеткіштерге ие болады. (1) теңдіктің орындалуы (2) теңсіздігімен (3) теңдігінің кез келген оң саны үшін бір мезгілде орындалуымен пара-пар. Айталық, бізге , , (4) мұндағы -матрица, сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін. , ерекше емес дифференциалданатын матрица болсын. Сонда мұндағы Сонымен, кез келген сызықтық түрлендіру берілген жүйені сызықтық жүйеге көшіреді. қатысын кинематикалық ұқсастық деп атайды. Егер - тұрақты матрица болса, онда кәдімгі ұқсастық болады. Айталық, енді , (5) жүйеде және (6) теңдеуде коэффициенттер матрицасы интервалында аргументтің үзіліссіз шенелген функциясы болсын. Белгісіз функцияларының орнына , (7)
түрендіруінің көмегімен жаңа белгісіз функцияларын енгізейік. түрлендіру матрицасына төмендегі шектеулерді қоямыз: 1 -ның интервалында үзіліссіз туындысы бар; 2 және матрицалары аралығында шенелген; 3 болатын тұрақтысы бар, яғни модуль бойынша анықтауышы төменнен оң тұрақтымен шенелген. 1-3 шарттарын қанағаттандыратын коэффициенттер матрицасы бар (7) түрлендіруін – Ляпунов түрлендіруі, ал матрицасын – Ляпунов матрицасы деп атайтын боламыз. Ляпунов түрлендіруі нөлдік шешім сипатын (орнықтылыққа қатысты) өзгертпейді. Сондықтан, бұл түрлендірулер берілген теңдеулер жүйелерін орнықтылыққа зерттегенде ықшамдау үшін қолданылуы мүмкін. Ляпунов түрлендіруі (5) жүйенің интегралдық матрицасын (5) жүйенің қандай да бір интегралдық матрицасына алмастырады және олардың арасында мынадай қатыс болады: (8) (*)
жүйенің матрицалық жазылуы (9)
түрде болады, мұндағы - (*) жүйенің коэффициенттер матрицасы. (6) теңдеудегі -тің орнына көбейтіндісін қоя отырып және (9) жүйеден алынған теңдеуді салыстыра отырып, матрицасы үшін және матрицаларымен өрнектелетін төмендегі формуланы оңай табамыз: . (10)
жүйесіне келтіруге болса. Еругиннің келтірімділік критерийі. (4) сызықты біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесі келтірімді болады, сонда тек сонда ғана, егер (4) жүйенің  (12)
болатындай Дәлелдеуі. Қажеттілігі. (4) жүйе келтірімді, сондықтан да (4)-ті  стациионар жүйесіне келтіретін Ляпунов түрлендіруі бар болады. Y бұл жүйенің фундаменталды матрицасы болғандықтан, онда (4) жүйенің (12) түрінде берілген  фундаменталды матрицасы бар болады.
Жеткіліктілігі. (12) қатыстан мынаны аламыз:  .
(4) теңдеуіне  (13)
ауыстыруын жасап, мынаны аламыз: 
Осылайша (13) Ляпунов түрлендіруі (4) жүйені 1-лемма.  Ляпунов түрлендіруі (4) жүйенің сәйкес шешімінің Ляпунов (сипаттауыш) көрсеткішін өзгертпейді.
Дәлелдеуі. Ляпунов матрицасының шенелгендігінен , мұндағы . Осылайша, болатындығын аламыз. Бұдан . 1-леммадан, егер (4) жүйе (11) жүйеге келтірімді болса, онда (4) жүйенің шешімінің сипаттауыш көрсеткіші (11) жүйенің сәйкес шешімінің сипаттауыш көрсеткішімен сәйкес келеді.  матрицасының меншікті мәндерін  деп белгілейік.
2-лемма. Келтірімді жүйенің шешімінің сипаттауыш көрсеткіші 
артпайды. Дәлелдеуі. Бізге (11) стационар жүйесінің сипаттауыш көрсеткіші -дан артпайтындығын дәлелдесек жеткілікті. (11) жүйенің кез келген  нөлдік емес шешімін төмендегідей түрде келтіруге болады:
мұндағы 
Сондықтан да, Лемма дәлелденді. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
матрицасының шенелгендігінен
- полиномдық вектор-функциялар, сонымен қатар, олардың ең болмағанда біреуі нөлдік емес. Онда