Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремалары.
Тақырып бойынша сұрақтар:
1. Ляпуновтың бірінші теоремасы (орнықтылық туралы).
2.Ляпуновтың екінші теоремасы (асимптотикалық орнықтылық туралы)
Мысалдар.
1. Берілген жүйенің нөлдік шешімінің орнықты, орнықсыз болатындығын тексеру керек.
Теоремадағы  функциясы үшін
функциясын қарастырайық. Ол-анықталған оң таңбалы және ақырсыз аз жоғарғы шекке ие. Жүйеге сүйеніп табылған толық туындысы:
теріс таңбалы функция. Мұндағы  -дәреже көрсеткіші екіден үлкен мүшелердің қосындысы. Оның модулі  шамалары барынша аз болғанда  -тің мәнінен аспайды.  анықталған таңбалы емес, себебі  болғанда  болғандықтан  теореманың барлық шарттары орындалып тұр. Олай болса берілген жүйенің нөлдік шешімі бірқалыпты орнықты. Бірақ асимптотикалық орнықтылық жоқ. Шынында да,
Мұндағы: 
Егер де -ның орнына
 функциясын алсақ:
теңсіздігін алар едік. Сонымен
Егер  болса, онда берілген жүйенің шешімдерінің траекториялары  сақинасының ішінде жатады. Сондықтан олар бас нүктеге ұмтыла алмайды. (13-сызба). Демек, жүйенің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты емес.
   
13-сызба
Достарыңызбен бөлісу: |
