Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері» «5В011000 – Физика» мамандығы үшін ОҚУ-Әдістемелік материалдары
Тақырып: Гиббс үлестірілуінің идеал газға қолдану. Реалды газдар
жүктеу/скачать 0,75 Mb.
|
11ebc649-7a01-11e4-a79f-f6d299da70eeУМКД Стат.физ.2014 каз
- Бұл бет үшін навигация:
- Максвелл-Больцман үлестірім функциясын
| Тақырып: Гиббс үлестірілуінің идеал газға қолдану. Реалды газдар.
Кинетикалық және потенциалдық энергиялар бір-біріне тәуелді емес болғандықтан осы белгіленген Максвелл-Больцман үлестірім функциясын екі тәуелсіз үлестірімдерге бөлуге болады: (6.79) және: (6.80) Мында А,В тұрақты шамалар, олардың мәндері үлестірім функциялардың нормалау шарттарынан табылады. өрнектегі үлестірім функция белгілі газдардың моле-кулаларының жылдамдықтарына арналған Маквеллдің үлестірім функциясы мен түйеседі. Бірақ осы түрінде Максвелл үлестірімі молекулалрдың өзарасындағы әрекеттеріне тәуелді емес боп саналады. Молекулалрдың арасындағы өзара әсерлері потенциалдық функциясы арқылы анықталады. Максвеел үлестірім функциясы классикалық түрінде газдардағы, сұйықтардығы және металлдардыға молекулалар мен атомдардың қасиеттерін анықтауға пайдаланады. Ал бірақ қарсатырылатын бөлшектер кваннтық қасиеттеріне ие болса, онда оны пайдалануға болмайды. өрнектегі потенциалдық өрістегі координаталар бойынша үлестірім функциясы Больцман үлестірімі деп аталады. Оны ол 1877 жылы ашқан. Егер потенциалдық өріс текқана бір айнымалы шамаға тәуелді болса, онда: (6.81) Идеалдық газ біртекті гравитациалық өрісінде орналасса онда (6.81) өрнек арқылы белгілі барометрлік теңдеуін алуға болады. Онда , z өсі бойынша үлестірім функциясы тең болады: (6.82) Ауаның молекулаларының концентрациясын жердің үстіне қатнасты биіктігіне пропорционал деп есептеп молекулалрдың коннцентрациясына қатнасты келесі өрнекті алуға болады: (6.83) Егер , онда: (6.84) Газдағы қысым молекулалрдың әрқашанда концентрациясына пропорционал екенін есептесек онда белгілі барометрлік теңдуін аламыз: (6.85) Ауаның қысымын барометрлік теңдеу жерге қатнасты бийіктік бойынша азаятынын көрсетеді. Бірақ қарастырылған барометрлік теңдеу тек қана шамалы дұрыстығын көрсетеді. Ол ауанының атмосферасы өзінің тепе-теңдік күін сақталмайтындығы мен байланысты боп тәжіриби арқылы дәлелденді. Жоғары биіктікті ауаның атмосферасы біртекті емес екен, соны мен қоса бийіктік бойынша атмосфераның темпаратурасы төмендейді. Сондада барометрлік теңдеудің өте зор маңызы бар боп табылды. Барометрлік теңдеу арқылы (мысалы атмосфераның қысымы арқылы) ұшқыштың бийіктігін табуға пайдаланады. Перрен барометрлік теңдеу арқылы Больцман тұрақтысынының мәнін есептуеге пайдалануын ұсынды. Нақты газдың қасиеттері әрине идеалдық газдың касиеттерінен айырмашылығы бар екенін көптеген өткізілген эксперименталдық тәжирибелер көрсеткен. Ондай мәселе біріншіден нақты газдарды құрайтын молекулалрдың қасиеттері мен байланысты. Идеалдық газдың бөлшектері материалдық нүктелер болса, олардың меншікті өлшемдері тұрақты боп саналады. Ал нақты газдардың молекулалрының меншікті өлшемдері тұрақты деп белгіленбейді. Олардың өзара әсерлері арасындағы пайда болатын тартылыс және итеріс күштері мен байланысты. Егер екі молекулалардың қарастырсақ, онда олардың өзара әсерлер энергиялары олардың арасындағы қашықтыққа және олардың өзара бағдарларына тәуелді болады. Тәжірибе арқылы белгілі нақты газдың қысым мен көлемінің өзгерістері Клапейрон күй өрнегніне бағынбайды. Оларардың күй орнегі өте күрделі түрінде анықталған. Ең бірінші тәжірибе арқылы алынған Ван-дер-Ваальс теңдеуін көрсетуге болады: (7.38) немесе оны басқаша жазуға болады: (7.39) мында меншікті көлем, ал . Бірақ Ван-дер-Ваальс теңдеуі текқана шамалы дұрыс. Ван-дер-Ваальс теңдеуінен неғұрым дәлдіректеу келесі дәрежелі қатары боп саналады: (7.41) мында вириалдық коэффициент деп аталады, ол тәуелді. Онда Ван-дер-Ваальс теңдеуін қатары арқылы көрсетуге болады. Расында: (7.42) өрнек бойынша: (7.43) Басқаша айтқанда, күй өрнегіндегі вириалдық коэффицинттер тең болады: (7.44) Қарастырылатын нақты газды сиректелген болса, онда қысқартылған өрнекті пайдалануға болады: (7.45) Яғни нақты газдың статистикалық теориясында біз сияқты күй теңдеуін алуымыз керек. Нақты газ сиретилген болса, онда күй теңдеуі қысқартылған түрінде шығуы керек. Нақты газды құрайтын молекулаларының өзара әсерлерінің энергиясы белгілі болса, онда оның статистикалық теориясын құрастыруға болады. Ол үшін ең бірінші нақты газың күй интегралын есептеуіміз керек: (7.46) Мында нақты газдың Гамильтон функциясы мына тұрінде берілген: (7.47) Мында идеалдың газдың Гамильтон функциясы немесе толық энергиясы: (7.48) ал нақты газдың молекулалрының өзара әсерінің потенциалдық энегриясы. Қарапайымда нақты газдың молекулаларының өзара әсерелері текқа жұпты деп саналса, онда нақты газдың молекулалрының өзара әсерінің потенциалдық энегриясы тең болады: (7.49) Мында: (7.50) дегеніміз екі молекулалардық өза ара әсерінің потенциалдық энергиясы. функциясының түрі 22 - суретте көрсетілген. Оны аналетик түрінде Леонард –Джонс потенциалы жаксы сипаттайды: (7.51) Осы өрнектегі екінші қосындыны Ван-дер-Ваальс күштерінің потенциалы деп атала-ды. Ол теоретикалық тұрінде екі молекулаларға арналған квантты-механикалық есепті шығарғанда алынады. Нақты газдың күй интегралын , өрнектер арқылы тең болады: Идеалдық газдың күй интегралы: тең болғанынан, нақты газдың күй интегралы: (7.54) Мында: (7.55) Осы алынған өрнекті өзара әсерінің күй интегралы деп атауға болады. Сондықтан, нақты газдың бос энергиясы тең болады: (7.56) Яғни нақты газдың күй теңдеуін анықтау үшін ингралды есептеуміз керек. ингралды тура есптеуі өте күрделі мәселе, сондықтан оны шығару үшін интегралға дәрежелік жіктеу пайдаланады. өрнектегі көрсеткіштік функцияны осылай алуға болады:
мында: (7.55) Егер нақты газды сиретілген деп санасақ, онда Мында дегеніміз функцияның минималдық мәні. Сондықтан жуықтап : өте аз шама деп санауға болады. Онда көбейтіндіні мынадай қатар түрінде алуға болады: (7.56) Онда анықталатын күй интегралы тең болады: яғни, өрнек дәрежелерінің қатары боп табылды. Мында бірінші қосындысы бір-біріне тең шамалар, сондықтан: (7.58) Егер енді текқана бірінші қосындымен шектелсек, яғни нақты газдың сиретілген күйіне сәйкес келетін күй интегралын табамыз: (7.59) Сонымен қоса, егер ln(1 + ) екенін еске алсақ, ал N ─ 1 , онда: (7.60) функциясы келтірілген 23 сурет бойынша, және , түрін 23 сурет арқылы анықтауға болады, яғни егер ─1 тең, ал , онда тең болады. Яғни өрнектегі интегралды мына түріне келтіруге болады: Енді және (7.62) белгілеп жазуға болады: (7.63) Осыдан сиретілген нақты газдың күй теңдуеін табуға болады: (7.64) Немесе: (7.65) алынған өрнек алдында белгіленген сиретілген нақты газдың кұй теңдуеіне дәл сәйкес келді. Ақырғы өрнектегі a және b коэффициенттердің механикалық мағнасын белгілеуге болады. бойынша b нақты газдың молекуласының төрттік ішкі көлемі деп санауға болады, ал a молекулалрдың арасындағы Ван-дер- Ваальс күштерінің тартылыс сипаты боп саналады. Енді сиретілген нақты газдың ішкі энергиясын анықтауға болады. Ол үшін Гиббс-Гельмгольц өрнегін пайдалануға болады: (7.66) Осыдан сиретілген нақты газдың толық ішкі энергиясы тең болады: (7.67) Яғни бір молекулаға сәйкес келетін Ван-дер- Ваальс тартылыс күштерінің энергиясы молеклалрдың санына және a тұрақтысына пропорционал боп табылды. Егер ? өрнектегі басқа қосындылары есептелсе, онда келесі вириалдық коэффициентер табылады. Бірақ ол өте күрделі мәселе. жүктеу/скачать 0,75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|