мамандығы үшін ОҚУ-Әдістемелік материалдары

жүктеу/скачать 0,75 Mb.

бет	17/48
Дата	07.02.2022
өлшемі	0,75 Mb.
	#85983

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 ... 48

Байланысты:
11ebc649-7a01-11e4-a79f-f6d299da70eeУМКД Стат.физ.2014 каз

Тақырып: Гиббс үлестірілуі.
Көп төмен жүйелерден (бөлімшектерден) құралатын үлкен жүйені қарастырайық. Төмен жүйелердің бір-бірімен байланыстары немесе әрекеттері аз, және олардың әрқайыссы термостатта орналасады деп белгіленіді. Онда элементар фазалық кеңістікте төмен жүйелердің саны тең болады:
(6.12)
Мында дегеніміз жүйенің тепе-теңдік күйіне сәйкес келетін жалпыланған коор-динаталарға тәуелді кейбір үлестірім функциясы. Егер меншікті фазалық көлемде үлестірім функцияның тығыздығын алсақ, онда:

Үлестірім функциясының тығыздығы әрқашанда нормалау шартына бағынады, сондықтан:

Алдында біз төменгі жүйелердің бір-бірі мен байланыстары аз деп белгіледік, сондықтан үлкен жүйенің толық энергиясы төменге жүйелердің энергияларының қосындысына (6.1) бойынша тең болады:

Үлкен жүйенің күйін қарастырғанда, оны көп қарапайым оқиғалардан құралатын қүрделі оқиға деп санауға болады. Онда үлкен жүйенің кей бір термодинамикалық күйде орналасатын ықтималдығы төменгі жүйелердің термодинамикалық күйлерінде орналасатын қарапайым ықтималдықтардың көбейтіндісіне тәуелді болады. Яғни ықтималдықтың көбейтінді теоремасы бойынша:

Осы ақырғы екі өрнектердің орныдалуы үшін әр бір төменгі жүйелердің кей бір күйінде болатын ықтималдығын ең жалпы түрінде тең болу керек:
(6.17)
Мындағы экспонентаның алдынғы және a тұрақтылар барлық төменгі жүйе-лерге бірдей боп алынады. Онда (6.7) , және (6.9) өрнектерден алуға болады:

(6.18)
ал үлкен жүйенің элементарлық фазалық көлемі:
(6.19)
Сонда (6.10) өрнекті былай келтіруге болады:
(6.20)
(6.12) өрнектегі а тұрақты шама әрқашан да нольден кем болу керек, егер оң шама болса онда ондай функцияғя нормалау шарты орындалмайды. Сондықтан:
(6.21)
деп белгілеуге болады. Мындағы - оң шама, оны Гиббс каноникалық үлестірімнің модулі деп атап кеткен. Оның өлшемдігі энергияның өлшемігі боп саналады, ал физикалық мағнасын кешірік анықталады. Осыдан (6.12) өрнекті мынандай түріне келтіруге болады:
(6.22)
Ақырғы өрнектегі тұрақты шама нормалау шартынан анықталады:

осыдан:
(6.24)
Демек:
(6.25)

(6.32) өрнектің оң бөлімінің шамасы күй интегралы деп аталады:

(6.26)
Ол статистиқалық физиканың көп күрделі мәселелрді шешуге пайдаланады. Ақырғы өрнекте интегралды барлық фазалар бойынша алынады екенін белгілеуміз керек, яғни:
(6.27)
Сондықтын Z барлық жүйенің күйлеріне қатнасты анықталған интеграл және ол шек-телген шама боп табылады. Оны осылай белгілеуге ыңғайлы:

Мында -тұрақта шама оның өлшемділігі өрнектен энергия бөп табылады. Физикалық мағнасы кешірек анықталады. Сондықтан және өрнектеналуға болады:
(6.29)
Ақырғы өрнекті өрнекпен салыстырсақ, онда үлестірім функциясының тығыз-дығы тең болады:

Бұл Дж. Гиббстың термадинамикалық жүйенің бөлешктерінің энергия бойынша каноникалық үлестіріміне арналған өрнегі. Егер (6,12) өрнекті еске алсақ, онда фазалық кеңістіктің меншікті көлеміндегі жүйенің санын анықтау-ға болады:
(6.31)
Осы алынған өрнектер арқылы статистикалық физиканың ең маңызды мәселері шешіледі: соның ішінде жүйенің энергиясының тепе-теңдіктігі бөлшектерінің арасындығы бөлінуі. Расында, бесінші бөлімде фазалық кеңістіктің жүйенің энергиясына тәуелділігі анықтылған:

Егер осы өрнекті (6.19) теңдеуге еңгізсек, онда жүйенің бөлшегінің күйінің энергиясы
] энергия интервалында болатын ықтималдығы тең болады:
(6.32)
Осыдан статистикалық ансамблдегі энергияныңмикроканоникалық үлестірім функциясы анықталады:

Функцияның грифигі 20 суретте көрсетілген. Егер оған назарымызды аударсақ оның ең жоғары функцияның мәні сәйкес келеді. Яғни үлкен жүйенің бөлшектерінің көбнеісі сол энергияға жақындаған мәндерене ие болатынын белгілейді.

Каноникалық үлестірім функциясының қасиеттрін қарастырайық. Ол үшін бірінше қойылытын мақсат каноникалық үлестірім функциясының түрақтыларының қасиеттерін анықтаумыз керек. Егер каноникалық үлітірімінің нормалау шартын алсақ, онда:
(6.34)
Мында интеграл барлық фазалық кеңістік бойынша алынады, яғни барлық статистикалық ансамбльдің микрокүйлері бойынша. жүйенің, немесе белгіліенген статистикалық ансамбльдың толық энергиясы. Ол жалпыланған координаталар мен сыртқы параметрлерге тәуелді. Барлық жалпыланған коор-динаталарды деп белгілесек онда . - тұрақты шама, ол каноникалық үлестірімінің модулі деп аталады каноникалық үлестірімінің нормалау шартынан алынатын тұрақты. Жалпыланған координаталар х өлшемді фазалық кеңістігі бойынша өзгереді. Каноникалық үлестірімінің тұрақтыларың арасында қатнастар бар. Оларды анықтау үшін (6.34) өрнектен бойынша туындыны алайық:

немесе:
(6.35)
Осыдан, шамалардың орташа мәні берілетін (4.5) өрнек бойынша:
(6.36)
Жүйенің энергиясының сыртқы параметр бойынша алынған туындысы жалпыланған күштің теріс белгісі болады:
= ─ (6.37),
яғни:
(6.38)
Осыдын біз жылпылынған күштің орташа мәнін каноникалық үлестірімінің параметрлері арқылы анықтадық.
Енді (6.34) өрнекті арқылы туындысын алсақ, онда:

Немесе , тұрақтылардың жалпыланған координаталарға тәсілді емесін еске алып, жалғастыруға болады:
(6.40)
Осыдан:
(6.41)
Өте маңызды өрнекті аламыз:
(6.42)
Мындағы жүйенің толық энергиясы, сондықтан болады да:
(6.43)
Осы тәсіл бойынша каноникалық үлестірім функциясы арқылы кез келген физикалық шамаларға қатнасты өрнектерді алуға болады.
Мысалы, кез-келегн физикалық шаманың өрташа мәні тең болады:
(6.44)
Мында интеграл барлық фазалық кеңістіктің көлемі бойынша алынады. Егер термодинамикалық жүйенің ішкі энергиясын алсақ, онда:

Ішкі энергия және а параметрлергі тәуелді:

Кез-келеген физикалық шамаға өрнек арқылы дәлелдеуге болады:
(6.45)
Расында:

Егер (6.42) өрнек бойынша мәнін алсақ, онда:
= -
Осыдан:
(6.46)
Ал басқаша қарастырғанда:
= (6.47)
Яғни дәлелденді деп санауға болады. өрнек Гиббстың бірінші леммасы деп аталады.
Таға керек болатын өрнектер мен танысуға болады. Ол үшін а параматр арқылы туындыны қарастырайық:
=
=

(6.36) өрнек бойынша:

(6.48)
Сондықтан (6.47), бойынша:
(6.49)
Бұл аланған тұжырым Гиббстың екінші леммасы дап аталады.
Ендігі мақсат каноникалық үлестірімінің параметірінің абсолюттік температураға сәйкес келетеінін дәләлдейік.
Ол үшін каноникалық үлестірімінің параметірінің келесі қасиеттері бар екенін анықтайық:

Термодинамикалық жүйелер тең - параметірлер мен бір бірі мен термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақтайды.
параметірге кері пропорпорциялық шама жылу мөлшеріне интегралдау көбейтінді боп саналады

параметірінің біршнші қасиеттін дәлелдеу үшін екі термодинамикалық жүйелерді қарастырайық. Оларға сәкес келетін каноникалық үлестірім функциялардың тығыздықтарын белгілйік:
және (6.57)
Егер термодинамикалық жүйелер бір-біріне қосылса, онда олар жаңа тепе-теңдік күйін сақтайтын термодинамикалық жүйе құрастырады. Олардың жалпы энергиясы:

тұрақты болады. Ал жаңа термодинамикалық жүйенің каноникалық үлестірім функциясының тығыздығы екі жүйелер қосылғанда тең болады:
= (6.58)
Егер термодинамикалық жүйе тепе-теңдік күйін сақтаса, онда шама
тұрақты болу керек. Ол үщін тұрақты түрінде болу керек.
Екінші теореманы делелдеу үшін термодинамиканың бірінші бастамасын еске
алуымыз керек:

Мында жалпыланған күштер, ал - жалпыланған координаталар. Қойылған мәсәле бойынша келесі шама:
(6.59)

бір кез келген функция бойынша толық дифференциал болу керек. Ол үшін (6.43) және (6.38) еске алып жалғастыруға болады:
(6.60)
Ақырғы өрнектен туындылырды аласақ:

Осыдан:
(6.61)
Яғни расында шама жылу мөлшерінің өсімшесіне интегралдау көбейтіндісі боп табылды. Онда кононикалық тұрақтының модулі абсолюттік температураның нақты қасиеттеріне ие болады деп саналады. Оны әрқашанда оң шама деп белгілігенбіз. Сондықтан абсолюттік темепартураның статистикалық сәйкесі (іспеттесі) немесе термодинамикалық жүйенің статистикалық температурасы деп саналады.
Келесіде:
(6.62)
деп дәлелденеді, мында – Болцман тұрақтысы, ал - абсолюттік температура.
Ендігі қойылатын мақсат каноникалық үлестірім функциясының параметірінің физикалық мағнасын анықтау. Расында, термодинамикада жалпыланған күштер бос энергияның жалпыланған координаталар бойынша теріс белгімен туындылары боп анықталады.Ал (6.43) өрнекте:

, болса, онда оны осылай жазуға болады:

Бұл алынған өрнек термодинамикада Гиббс-Гельмгольц өрнегі деп аталады.
Тағыда параметірінің бос энергия мен байланысын өрнектен анықтауға болады:
(6.63)
Ол термодинамикада боп белгілі, яғни:
(6.64)
Енді бос энергияның жұйенің басқа термодинамикалық функциялары мен байланысын анықтайық. Ол үшін өрнекті Т көбейтейік:
(6.65)
Cосын өрнекті ескертсек, онда:
(6.66)
параметірінің термодинамикалық потенциал түрін анықтадық. Егер өрнекті еске алсақ, онда термодинамикалық жүйенің бос энергиясының статистикалық анық-тамасын табамыз:
(6.67)
Мында термодинамикалық жүйенің күй интегралы боп белгіленген:
(6.68)
Статистикалық физикада күй интегралы өте зор маңызы бар. Ол арқылы термодинами-калық жүйенің барлық термодинамикалық функцияларын есептуеге болады.

жүктеу/скачать 0,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 ... 48