Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері» «5В011000 – Физика» мамандығы үшін ОҚУ-Әдістемелік материалдары
Тақырып: Гиббс үлестірілуінің негізгі қолданулары
жүктеу/скачать 0,75 Mb.
|
11ebc649-7a01-11e4-a79f-f6d299da70eeУМКД Стат.физ.2014 каз
- Бұл бет үшін навигация:
- Максвелл-Больцман үлестірім функциясы
| Тақырып: Гиббс үлестірілуінің негізгі қолданулары.
Классикалық статистиканың термодинамикалық жүйенің тепе-теңдік күйінің теориясының көп есептері Гиббстың статистикалық аппартының жалпы теоремалар арқылы өте жеңіл шығарылады. Олар - кинетикалық энергияның жүйенің еркін дәреже саны бойынша тең бөліну теоремасы және вириал теремасы. Оларды қарастыру үшін каноникалық статистикалық ансамбль бойынша келесі көбейтіндінің орташа мәнін алайық: (8.1) енді тек қана бойынша интегралды қарастырайық: ақырғы өрнектегі бірінші қосымшасы нольге тең болады: , егер . Ал екінші :қосындысы: (8.3) мында - дельта функция. Оның қасиеті бойынша , егер k=l, , егер k l сондықтан: (8.4) Осыдан екі өте маңызды нәтиже алынады. Егер жалпыланған координаталар импульстер болса, онда алынған бірінші тұжырым кинетикалық энергияның еркін дәреже саны бойынша тең бөліну теоремасы деп аталады: (8.5) Егер жалпыланған координаталар координаталар болса, онда: (8.6) Екінші координаталар туралы алынған тұжырым вириал теоремасы деп аталады. Расында өрнектегі сол жағындағы бөлігі бір еркін дәреже санның кинетикалық энергиясы деп дәлелдуеге болады. Классикалық механикадан белгілі: мында және статистикалық ансамблдің бөлшектерінің кинетикалық және потенциалдық энергиясы. Осыдан: (8.8) Яғни: (8.9) яғни бір еркін дәреже санға сәйкес келетін кинетикалық энергия мәні тең боп табылды. Енді біз классикалық стаистикалық теориясы арқылы қатты денелерді жылу сыйымдылығын қарастырайық. Эмпириқалық тұрінде ертеден белгілі заңдар табылған еңбіріншіден ол Дюлонг және Пти заңы. Дюлонг және Пти заңы бойынша көптеген қатты денелердің бір мөліне келтірілген жылу сыйымдылығы (бөлімше температурада) тұрақты боп саналады: . Соны мен қоса Нейман-Ренье заңын еске алу керек: қатты дененің мольдік жылу сыйымдылығы сол қатты дененің қосындыларының мольдік жылу сыйымдылақтарынң қосындысына тең. Классикалық статистикалы заңдары арқылы осы екі белгіленгген заңдарды дәлелдеуге болады. Бір атомдық криситалдық қатты денені көп кристалдық торладың түйініндерінде орналасқан атомдар немесе иондар деп сануға болады. Атомдар немесе иондар өзде-рінің тепе –теңдік жайыны байланысты тербемелі қозғалыстарға қатнасады деп санауға болады. Әр-бір кез-келген өзінің түйінінде орналасқан атомды немесе ионды материалдық нүкте деп сануға болады. Олардың мекенжайын анықтайтын әрқашанда координаталарды белгілуеге болады. Егер кристалдық тордың темепратурасы онша үлкен болмаса, атомдардың онда тербемелі қозғалысының ығысуының амплитудасы кішкентай балады да соны мен қоса тербемелі қозғалыстың потенциалдық энергиясының ығысуының квадраттық мүшелері арқылы көрсетуге болады. Сондықтан кристалдық тордың Гамильтон функциясын оcылай алуға болады: (8.22) мында , - атомдардың тепе-теңдік күйіне сәйкес келетін координаталар, ал –тұрақты шама. Егер механикадан белгілі калыпталған координаталар мен импульстерді пайдалансақ: (8.23) онда кристалдық тордың Гамильтон функциясын мына түрінде пайдалануға болады: (8.24) Яғни кристалдық торды немесе қатты денені көп осцилляторлардың жиынтығы деп санауға болады. Соны мен қоса бір-бірі мен байланысты сызықтық осцилляторлардың жиынтығын бір-бірі мен байланысы жоқ қалыпталған осцилляторлардың жиынтығы деп санауға болады. Сондықтан қарастырып отырған қатты дененің немесе кристалдық тордың энергиясы қалыпталған осцияллторлярдың энергияларының қосындысы боп саналады. Кез-келегн қалыпталған осциллятордың энергиясының орташа мәні тең болады: (8.25) Сондықтан қатты дененің энергиясының орташа мәні тең болады: ал қатты дененің жылу сыйымдылығы тең болады: (8.26) Бұл алынған тұжырым Дюлонг жәни Пти заңы деп аталады. Ол 300 К темпе-ратураға жуық төңірегінде көбінесе қатты денелерге орындалады. Эксперименттер түрінде тексеріп келгенде Дюлонг жәни Пти заңы тек қана температураның аз интервалында дұрыс боп шықты. Келесі суретте қатты дененің жылу сыйымдылығының температураға тәуелділігі көрсетілген. Жоғары температураларда Дюлонг және Пти заңы орындалмайтыны осцилляторлардың тербелістерінің ангорманиялығы мен байланысты деп саналады. Ал төмен температураларда жылыу сыйымдылықтың тәуелділігі карастырылып өтырған теория қолдалынбайтын боп шықты. Осы алынған нәтижелер Нейман-Ренью заңынада қатнасты. Расында, бар келтірілген нұсқаулар, соны мен қоса энергия және жылу сыйымділікқа қатысты өрнектер егер қатты дене атомдардың көп түрлерінен қосынды боп саналсада, өзгерілмейтін боп қалады. Сондықтан қатты дененің жылу сыйымдылығы оны құрайтын қоспалардың жылу сыйымдылықтардың қосындысына тең боп саналады. Келесі қойылатын мақсат идеалдық газдың статистикалық тәсілдері арқылы термодинамикалық функцияларын есептеп шығару. Бір кез-келген V көлемінде орналасқан идеалдық газды қарастырайық. Егер идеалдық газ тепе-теңдік күйін сақтаса, онда оның Гамильтон функциясы газдың молекулалрының энергияларының қосындысы боп табылады: (7.14) Мында k - деп белгіленген бөлшектің потенциалдық энергиясы. Идеалдық газдың молекулалары белгіліенген көлемінде емін-еркін козғалады бірақ көлемның сыртына шыға алмайды. Оны басқаша көлемнің ішінде молекулалрдың потенциалдық энергияляры нольге тең, ал сыртында шексіз жағары мендеріне ие деп санауға болады (Сурет 21). Яғни идеалдық газдың әр бір молекуласының потенциялдық энергиясы тең болады: (7.15) Осы берілген шарттарды пайдаланып идеалдық газдың күй интегралын алуға болады: d = (7.16) мында k - деп белгіленген бөлшектің күй интегралы. Енді жеке қарстырайық: (7.17) Егер координаталар иен импульстардің бір-біріне тәуелді емес екендігін пайдалансақ, онда (7.17) өрнек тең болады: ақырғы интегралды есептеу үшін математикада белгілі Пуассон интегралын еске алайық онда: (7.18) Соны мен қоса: (7.19) яғни: (7.20) Осыдан идеалдық газдың күй интегралы тең болады: (7.21) Идеалдық газдың бос энергиясын (7.1) өрнек арқылы алуға болады: (7.22) Яғни: (7.23) Осыдан идеалдық газдың арқылы күй өрнегін табуға болады: (7.24) Енді осы өрнекті жалпы физикадан белгілі идеалдық газдың бір мөліне арналған күй теңдеуімен салыстырсақ: (7.25) Онда каноникалық үлестірімінің параметірі абсолюттік температура мен байланысы анықталады : (7.26) Мында дегеніміз Больцманн тұрақтысы, =1,37. . Яғни, осыдан каноникалық үлестірімінің модулі статистикалық температур боп анықтыалды. Идеал-дық газдың бос эгергиясының теңдеуін пайдалансақ, онда идеалдық газдың өрнек арқылы энтропиясын шығаруға болады: (7.27) Мында (7.28) Идеалдық газдың ішкі энергиясын U және жылу сыйымдылығын есептеп шығаруға болады: = + Осыдан: (7.29) Ал идеалдық газдың тұрақты көлемде жылу сыйымдылығы тең болады: (7.30) Яғни, каноникалық үлестірімі арқылы идеалдық газдың түгел нақты термодинами-калық фүнкциялары және күй өрнегі есептеп шығарылды. Идеалдық газына есептеп шығарылған бос энегриясы дәлдігі тұрақты қосылмасына дейін термодинамикадағы белгіллі теңдеулерге тең боп шықты. Бірақ терең анықталған түрінде бос энергияның және энтропияға арналған өрнектер бір келкі жүйелерді қосқанда аддитивтік заңына бағынбайтын боп анықталды. Расынды, термодинамикалық жүйенің молекулуларының саны және көлемі V рет ұлғайса, онда жүйенің бос энергиясы алғашқы термоди-намикалық жүйенің бос энергиясы арқылы (7.23) өрнек бойынша тең болу керек: (7.31) Соныме қоса энтропия: (7.32) Екі ақырғы өрнектердегі бар қосындылар жүйенің бос энергиясына және энтропия-сына өздерінің физикалық мағнасына тәуелдді аддитивтік заңын бұзады. Бұл жағдай Гиббс парадоксы деп аталып кеткен. Егер термодинамикалық жүйенің бос энергиясы-на тағы мынадай қосымша: (7.33) мүшел болса, онда Гиббса парадоксы жойылатын болады. Онда: (7.34) Боладада, яғни Гиббс парадоксы жойылыу үшін функциясы (7.23) және (7.32) қо-сындысны тең болу керек. Соны мен қоса жүйенің күй интегралының көбейтіндісі болу керек. Ал Стрирлинг өрнегі бойынша: (7.35) Яғни өрнектің орнына: (7.36) алуымыз керек. Онда идеалдық күй интегралын есептегенде ол тең болу керек: d (7.37) Ал Гиббстың каноникалық ұлестірім функциясы тең тығыздығы болу керек: (7.37) Сірә, ақырғы алынған үлестірім функциясының тығыздығына алынған өрнекпен салыстырғанда неғұрым дұрыстау боп саналады. Бұл жағдай не мен байла-нысты? Егер жүйеде N бөлшектер болса, онда олардың арасындағы орыналмас-тыруы N! тең болады. Онда барлық орыналмастыру жағдайларға қатнасатын жүйенің күйлері бір-біріне тең болғандықтан үлестірім функцияның тығыздығы N! есе азаю керек. Яғни термодинамикалық жүйенің орыналмастыруға қатнасқан күйлері бір-бірінен ажыратылмайтын болады. Ал біз оларды бір-біріне тең емес кұйлер деп санаймыз. Сондықтан, каноникалық үлестірім функциясының тығыздығын N! бөлінгені бөлшектердің ажыратылмаушылық принципін есептелген боп саналады. Басқаша айтқанда термодинамикалық жүйенің фазалық кеңістігінің көлемі N! рет азаю керек. Осы мен бастапқы термодинамикалық жүйенің онша дұрыс емес ықтымалдықтың анықтамасы реттелді. Осыдан, N тепе-теңдіктегі бөлшектерге каноникалық үлестурімі үлестірімінен дұрыстау боп анықталды. Көбінесе жағдайларда бір белгілегін термодинамикалық қүйлерін қарастырғанда көбейтінді есептелген функцияларға онша көп айырмашылық кіргізбейді яғни алынған күй өрнектері оған тәуелді болмайды. Яғни, бір белгіленген бөлшектерінің саны тұрақты, термодинамикалық жүйенің күйлерін анықтығанда Гиббс үлестірім функциясының тығыздығын тұрінде пайдалануға болады. Ал Гиббстың каноникалық ұлестірімінің түрінде тек өте қажетті кезде пайдаланады. Егер идеалдық газдың күйін тепе-теңдік қарастырсақ, онда оның фазалық кеңістікте Е энергиясымын орналасатын ықтималдығы тең болады: (6.75) Идеалдық газдың молекулаларын бір-бірімен өзара әсерлес етпейді деп санасақ, онда Идеалдық газдың толық энергиясы молекулалрдың қосындысы деп саналады, яғни: =const (6.76) Онда і деп белгіленген жүйенің күйіне жазуға болады: Мында дегеніміз иедалдық газдың і деп белгіленген бөлшегінің толық энергиясы. Ол кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысы боп табылады, яғни импульстар мен координатларын тәуелді болады. Кез – келген бөлшекті алғандықтан і белгісіне мән бермей жазуға болады: (6.77) өрнекті қоссақ, онда: = (6.78) Осы алынған өрнек Максвелл-Больцман үлестірім функциясы арқылы бір кез-келген интервалдарында координаталар мен ипульстарын орналастыратын ықтамалдығын анықтайды. жүктеу/скачать 0,75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|