Перспектива и проективная геометрия

Проективная плоскость

Таким образом, в проективной геометрии отсутствует понятие параллельности. Любые две прямые пересекаются. Нет смысла различать при этом в какой точке они пересекаются, «обычной» или «бесконечно удаленной». Все точки проективной плоскости логически равноправны.

При центральном проецировании одной плоскости на другую «бесконечно удаленная» прямая одной плоскости перейдет в «обычную» прямую другой плоскости, а прямые которые выглядели «параллельными» станут пересекающимися.

Таким образом, на проективной плоскости нет параллельных прямых, нельзя обычным образом измерить расстояние между точками, угол между прямыми. В самом деле: чему равен угол между прямой m и бесконечно удаленной прямой? Более того, нас интересуют только те свойства фигур, которые сохраняются при центральной проекции. Ясно, что расстояния между точками и углы между прямыми не сохраняются, то есть не являются проективными свойствами.

Нельзя также сказать, что из трех точек одной проективной прямой одна лежит между двумя другими, как нельзя, например, сказать это о трех точках окружности.

Значит, на проективной плоскости нельзя определить такие фигуры как отрезок или даже треугольник. Можно, конечно, провести три прямые, которые пересекутся в трех разных точках. Такую фигуру называют трехсторонником или трехвершинником. Но если попытаться выделить на чертеже «внутреннюю область», ограниченную этими прямыми, то при центральном проецировании эта область может перестать быть «треугольником» в привычном смысле слова, как это видно на рисунке 8.

Различие между «треугольниками» на рисунках 9 и 10 состоит в том, что один из них пересекает «бесконечно удаленную прямую». С проективной точки зрения никакой разницы между ними нет. Значит три прямые, не проходящие через одну точку, делят проективную плоскость на четыре части. Каждую из этих частей можно было бы назвать, скажем, «проективным треугольником», но в дальнейшем это нигде не пригодится.

На первый взгляд, проективных свойств у фигур не так уж и много. Например, если три прямые проходят через одну точку, то это свойство (конкурентность прямых) сохранится в любой центральной проекции. Также, очевидно будет сохраняться расположение точек на одной прямой (коллинеарность точек). В дальнейшем увидим, что другие проективные свойства фигур сводятся к этим двум основным – коллинеарности и конкурентности. Кажется, что проективная геометрия гораздо беднее обычной евклидовой геометрии. Однако это совсем не так, в чем мы вскоре убедимся.