Проективные отображения конических сечений

Проективные отображения конических сечений

Это определение естественным образом следует из ранее доказанных теорем. Возьмем на коническом сечении четыре произвольные точки A, B, C, D и пятую точку М. Как нам уже известно, сложное отношение прямых МA, МB, МC, МD не зависит от выбора точки М. Назовем это отношение сложным отношением четырех точек коники.

В дальнейшем имеет смысл рассматривать невырожденную конику, как совокупность всех ее точек и, одновременно, всех ее касательных. Можно тогда без оговорок считать, что полярное преобразование конику переводит в конику. Точки и прямые при этом меняются местами.

Можно теперь рассмотреть отображение коники самой на себя, сохраняющее сложное отношение четырех точек (касательных). Если точки A, B, C, D переходят в точки A', B', C', D', то (AB,CD) = (A'B',C'D') (аналогично для касательных). Такое отображение назовем проективным. Оказывается, проективные отображения «хорошо устроены», то есть обладают многими полезными свойствами.

Покажем, во-первых, что проективное отображение коники на себя задается тремя точками и тремя их образами. Если известно, что точки A, B, C переходят в точки A', B', C', то образ D' любой другой точки D однозначно определен.

Заметим сначала, что поскольку сложное отношение четырех точек коники определено через сложное отношение четырех прямых, то для любых трех точек коники и заданного значения сложного отношения существует единственная точка, для которой это отношение принимает данное значение. Покажем теперь, как построить эту точку.

Рассмотрим два пучка с вершинами А и А'. Проведем прямую s через точки пересечения прямых АВ', А'В и АС', А'С. Построим перспективное отображение одного пучка на другой с осью перспективы s. Каждой прямой каждого пучка соответствует единственная точка коники. При этом точки А и А' соответствуют касательным в своих пучках. Отображение пучка на пучок задает отображение коники самой на себя. Сложное отношение, конечно же, сохраняется.

Главное свойство проективного отображения коники на себя состоит в том, что положение оси перспективы s не зависит от выбора двух соответственных точек А и А'. Ось перспективы задается самим отображением.

Для доказательства достаточно взять на конике три любые точки A, B, C и их образы A', B', C' и убедиться, что точки пересечения пар прямых АВ' и А'В, АС' и А'С, ВС' и В'С лежат на одной прямой. Это утверждение есть не что иное, как хорошо знакомая нам теорема Паскаля. Значит, для любого отображения коники задана его ось.