Перспектива и проективная геометрия
Произвольное отображение коники на себя
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Произвольное отображение коники на себяВ самом начале мы рассматривали проективные отображения прямой на прямую. Но две прямые представляют собой вырожденный случай конического сечения. В таком случае, отображение одной прямой на другую есть частный случай отображения коники на себя, а центральная проекция одной прямой на другую соответствует центральному отображению коники. Рассмотрим отображение одной прямой на другую, не являющееся центральной проекцией. Как известно, прямые, соединяющие соответственные точки, образуют линейную оболочку некоторой коники. Оказывается, это утверждение оказывается верным и для невырожденной коники. Теорема Рассмотрим произвольное нецентральное проективное отображение коники на себя. Прямые, соединяющие соответствующие точки отображения, образуют линейную оболочку некоторой коники. Чтобы доказать эту теорему, сведем случай произвольной коники к двум пересекающимся прямым. Выберем две произвольные прямые MM' и NN', соединяющие соответственные точки и покажем, что отображение коники на себя порождает отображение этих прямых друг на друга. Заметим сначала, что прямые АВ' и А'В пересекаются в точке В0, лежащей на оси отображения s. Следовательно, точка В1, в которой пересекаются прямые АА' и ВВ', лежит на поляре точки В0. Возьмем теперь произвольные точки М, А, В, С, D, и их четыре образа М' А', В', С', D'. По определению проективного отображения (AB,CD) = (A'B',C'D'). Теперь рассмотрим точки А1, В1, С1, D1 пересечения прямых АА', ВВ', СС' DD' с прямой ММ'. Эти точки лежат на полярах точек А0, В0, С0, D0. Все эти поляры проходят через точку S, полюс оси s. При этом сложное отношение четырех поляр равно отношению полюсов (А0В0,С0D0). Значит, (А0В0,С0D0) = (А1В1,С1D1), но по определению сложного отношения четырех точек коники, равному отношению четырех прямых, проходящих через точку М', (А0В0,С0D0) = (AB,CD). Значит, (А1В1,С1D1) = (AB,CD), и это равенство не зависит от выбора точек М и М'. Выберем теперь две прямые ММ' и NN'. Получается, что для любой четверки прямых АА', ВВ', СС' DD' сложное отношение точек их пересечения с прямыми ММ' и NN' будет одним и тем же. Значит, отображение коники на себя порождает отображение прямой ММ' на прямую NN', откуда и следует утверждение теоремы. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|