Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Задача о бабочкеМы уже неоднократно сталкивались с тем, что проективная геометрия служит источником разнообразных сложных задач по планиметрии. Вот еще одна знаменитая задача про окружность, известная как «задача о бабочке». Пусть хорды окружности АС, BD и KN пересекаются в точке М, а прямая KN пересекает прямые АВ и CD и точках Р и Q. Если точка М является серединой хорды КМ, то MP = MQ. Все известные «школьные» решения этой задачи довольно сложны. Дело в том, что в основе ее лежит проективная теорема, поэтому использовать в решении такие свойства окружности, как равенство радиусов или равенство вписанных углов, напрямую не получается. Приходится изобретать неочевидные дополнительные построения и всячески «выкручиваться». Если же перевести задачу на «проективный язык», решение становится вполне прозрачным. Вместо окружности возьмем произвольную конику. Точка М пусть будет не серединой хорды, а произвольной точкой на некоторой прямой. На нашем чертеже эта прямая пересекает конику, хотя это совсем не обязательно. Выберем на прямой l еще одну точку Р и проведем через нее какую-нибудь прямую, пересекающую конику в точках А и В. Теперь проведем прямые АМ и ВМ до пересечения с коникой в точках С и D. Пусть прямая CD пересекает прямую l в точке Q. Оказывается, положение точки Q на прямой l определяется только коникой и точками М и Р. «Бабочка» ABCD может быть любой (!), лишь бы сторона АВ проходила через точку Р, а прямые АС и BD пересекались в точке М. Чтобы убедиться в этом построим полный четырехвершинник с вершинами A, B, C, D, который позволяет провести поляру m точки М. Пусть эта поляра пересекает прямую l в точке К. Положение точки К на прямой l зависит только от коники и точки М. На стороне четырехвершинника АD образовалась гармоническая четверка АD,XY. Ее проекцией на прямую l является четверка КМ,PQ. Значит, точка Q – это четвертая гармоническая к точкам М, К, Р, положение которых не зависит от «бабочки» ABCD. Другими словами: Пусть четыре прямые пучка с вершиной М пересекают конику в точках АВ, CD, А'В', C'D', прямые АD и A'D' пересекаются в точке Р, прямые ВС и В'С' – в точке Q. Тогда точки Р, Q, М лежат на одной прямой. Это утверждение можно также вывести, используя теорему Паскаля. Возвратимся теперь к задаче о бабочке. Проведем через точку М серединный перпендикуляр к отрезку KN и построим «бабочку», симметричную исходной. Точки Р и Q пересечения соответственных сторон двух «бабочек», во-первых, симметричны относительно проведенной оси, а во-вторых, лежат на одной прямой с точкой М. Отсюда сразу же получаем утверждение задачи. жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|