Перспектива и проективная геометрия
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Теорема ПонселеСвойства проективных отображений позволяют доказать теорему Понселе для треугольников. Сформулируем ее пока что следующим образом: Если вершины двух трехвершинников принадлежат некоторой конике, то все их шесть сторон касаются другой коники. Для доказательства рассмотрим два трехвершинника АВQ и CDP. Пусть стороны РС и PD пересекают прямую АВ в точках К и L, а стороны QA и QB пересекают прямую CD в точках M и N. Сложное отношение четырех точек коники определяется через сложное отношение четырех прямых. Рассматривая пучок с центром в точке Р, получаем, что (АС,DB) = (AK, LB). Точно так же рассматривая пучок с центром в точке Q, получаем, что (АС,DB) = (MС, DN). Следовательно, (AK, LB) = (MС, DN), и, значит, существует проективное отображение прямой АВ на прямую CD, при котором точки A, K, L, B переходят в точки M, С, D, N. Прямые, соединяющие соответственные точки отображения, принадлежат оболочке некоторой коники, что и требовалось доказать. Заметим, что любая коника полностью задается пятью своими касательными. Рассмотрим какой-либо трехсторонник, стороны которого касаются коники Γ1, а вершины лежат на конике Γ2. Если взять теперь любой трехсторонник с вершинами, лежащими на Γ2, и двумя сторонами, касающимися Γ1, то из доказанной теоремы следует, что и третья его сторона обязательно будет касаться той же самой коники Γ1. Для двух окружностей теорему Понселе можно сформулировать так: Пусть и – вписанная и описанная окружности одного и того же треугольника. Тогда для любой точки М, лежащей на окружности , существует треугольник с вершиной М, вписанный в окружность и описанный вокруг окружности . жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|