Перспектива и проективная геометрия
Произвольное отображение коники на себя (продолжение)
жүктеу/скачать 0,73 Mb.
|
Перспектива и проективная геометрия
Произвольное отображение коники на себя (продолжение)Получается, что проективное отображение коники на себя порождает другую конику. Попробуем разобраться, как эти две коники связаны между собой. Если отображение имеет неподвижные точки, то дело обстоит достаточно просто. Касательная в неподвижной точке исходной коники является прямой, соединяющей соответственные точки отображения. Здесь мы считаем, что касательная «соединяет точку А с точкой А». Значит, эти касательные входят в линейную оболочку порожденной коники. Получается, что порожденная коника касается исходной в двух неподвижных точках. Но если неподвижных точек нет, то коники вообще не имеют общих точек. Можно конечно сказать, что коники касаются в двух мнимых точках, но, к сожалению, предъявить эти точки на чертеже нельзя. Мнимые точки появляются внутри довольно сложной и абстрактной алгебраической модели. Область математики, исследующая свойства этих моделей, называется геометрией (землемерием) только в силу исторической традиции. Уравнениям, описывающим различные «геометрические» объекты давно уже не соответствуют никакие чертежи. Если же мы хотим остаться в рамках «синтетической» геометрии (с чертежами), то придется сформулировать такое свойство взаимного расположения этих двух коник, которое не зависит от наличия точек пересечения. Заметим сначала, что прямая s, соединяющая неподвижные точки отображения – это его ось. Очевидно, полюсом этой прямой относительно обеих(!) коник является точка пересечения общих касательных. Можно ожидать, что и в случае отсутствия общих точек ось отображения будет иметь один и тот же полюс относительно двух коник. И это действительно так. Для доказательства заметим, что полюс и поляру связывают два взаимно двойственных построения. Поляра по известному полюсу строится с помощью вписанного четырехвершинника, полюс по известной поляре – с помощью описанного четырехсторонника. Идея доказательства – совместить эти два построения. Одно построение применим к исходной конике, заданной как множество точек, а второе – к порожденной конике, получившейся как линейная оболочка, то есть множество прямых. Покажем, что в результате для оси отображения получится один и тот же полюс. Рассмотрим полюс S оси отображения относительно исходной коники. Нетрудно убедиться, что если выбрать на конике две точки А и В таких, что прямая АВ проходит через полюс S, и построить их образы А' и В', то прямая А'В' также будет проходить через этот полюс. Действительно, прямые А'В и АВ' пересекаются на оси s. Поляра точки пересечения М проходит как через полюс S, так и через точку пересечения диагоналей АВ и А'В'. Но полюс уже лежит на прямой АВ, откуда и следует справедливость утверждения. Кроме того получаем, что и точка N пересечения АА' и ВВ' также лежит на оси s. Прямые АА' и ВВ' входят в линейную оболочку порожденной коники, то есть являются касательными к ней. Построим теперь еще две касательных. Для этого применим отображение к точкам А' и В' и получим точки А'' и В''. Прямая А''В'' также проходит через полюс S, а прямые А'А'' и В'В'' касаются порожденной коники. При этом точка пересечения прямых А'А'' и В'В'' опять же лежит на оси s. Рассмотрим теперь четырехсторонник, образованный прямыми АА', ВВ', А'А'', В'В''. Его стороны касаются порожденной коники, а точки пересечения противоположных сторон лежат на оси s. Значит, его диагонали проходят через полюс прямой s относительно порожденной коники. Но одна из его диагоналей – прямая А'В'. Значит, если прямая АВ проходит через полюс исходной коники, то прямая А'В' проходит через полюс порожденной коники. Применим это же утверждение к прямой А'В'. Поскольку она проходит через полюс исходной коники, то прямая А''В'' проходит через полюс порожденной коники. Значит полюс порожденной коники совпадает с точкой пересечения прямых А'В' и А''В'', то есть с точкой S. Что и требовалось доказать. Верно и более сильное утверждение. Чтобы его сформулировать заметим, что любая коника порождает для любой прямой, не являющейся касательной, проективное отображение этой прямой на себя. Строится оно следующим образом: жүктеу/скачать 0,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|