арқа, үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырғасы орналасады.
КОСИНУСТАР ЖӘНЕ СИНУСТАР ТЕОРЕМАЛАРЫ Қабырғаларының ұзындығы a, b, c және қарама-қарсы бұрыштардың мәндерімен белгіленетін ерікті үшбұрыш үшін
а b с β
γ
α
α, ,
β,
γ,
екі теорема ақиқат.
Косинустар теоремасы:
Синустар теоремасы : мұндағы R – шектелген шеңбердің радиусы
Үшбұрыштардың теңдік белгілері I признак По двум сторонам и углу между ними
II признак По стороне и прилежащим к ней углам
III признак По трем сторонам
Если AB = KM,
AC = KN,
то ∆ABC = ∆KMN
Если AB = KP, BC = PK,
то ∆ABC = ∆KPN
Если АВ = КМ,
АС = KN, BC = MN,
то ∆АВС = ∆KNM
А
N
М
К
С
В
А
C
B
P
N
К
А
C
B
M
K
N
Үшбұрыштардың ұқсастық белгілері А
С
В
В1
А1
С1
A = A1 , B = B1, C = C1,
k – ұқсастық коэффициенті
∆АВС ∞ ∆ A1B1 C1
Үшбұрыштардың ұқсастығы Екі үшбұрыш ұқсас деп аталады, егер олардың бұрыштары сәйкесінше тең болса және бір үшбұрыштың қабырғалары екіншісінің ұқсас қабырғаларына пропорционал болса
ΔАВС ∞ ΔMNP
1. A = M, B = N
2. A = M,
Үшбұрыштардың ұқсастық белгілері 3.
А
В
М
N
С
P
1 Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы сәйкесінше басқа үшбұрыштың екі бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар ұқсас болады
2. Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы екінші үшбұрыштың екі қабырғасына пропорционал болса және олардың арасындағы бұрыштар тең болса, онда мұндай үшбұрыштар ұқсас болады
3. Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы басқа үшбұрыштың үш қабырғасына пропорционал болса, онда мұндай үшбұрыштар ұқсас болады
ТЕҢ ҚАБЫРҒАЛЫ ҮШБҰРЫШ Барлық қабырғалары тең үшбұрышты тең қабырғалы деп атайды, немесе дұрыс үшбұрыш Қассиеттері
Барлық бұрыштары тең ( ےА = ےВ = ےС).
Әрбір медиана бір төбеден алынған биссектрисамен және биіктікпен бірдей (ВД).
Ішіне және сыртта сызылған шеңберлердің центрлері бір нүктеде орналасқан
В
А
С
Д
О
r
R
а ОД = r =
=
ОВ = R =
=
R = 2r
h =
S =
=
=
R =
r =
ТЕҢБҰЙЫРЛЫ ҮШБҰРЫШ Екі қабырғасы тең үшбұрыш тең бұйырлы үшбұрыш деп аталады. Тең қабырғалары бүйір қабырғалары (АВ=ВС), ал үшінші қабырғасы табан (АС) деп аталады.
Қасиеттері: 1.Табанындағы бұрыштар тең
( ےА = ےС).
2.Медиана, биссектриса және табанға түсірілген биіктік беттеседі (ВД).
В
А
С
Д
Тік бұрышты үшбұрыш Бір бұрышы тік бұрышты үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш деп аталады
АВ и АС – катеты
ВС - гипотенуза
А
В
С
Теорема Пифагора Тікбұрышты үшбұрышта катеттерінің квадраттарының қосындысына
гипотенузаның квадратына тең
ВС² = АВ² + АС² Тік бұрышты үшбұрыш Тік бұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қосындысы 90°-қа тең
30° бұрышқа қарама-қарсы орналасқан тікбұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузаның жартысына тең.
Егер тікбұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузаның жартысы болса, онда оған қарама-қарсы бұрыш 30° болады
С
А
В
A + B = 90°
A = 30°
CB = AB
30°
Егер CB = AB, онда Тікбұрышты үшбұрыштың қасиеттері Тікбұрышты үшбұрыштардың теңдік белгілері. А
C
B
А1
C1
B1
1.
=
2.
А
C
B
А1
C1
=
B1
Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың катеттері сәйкесінше екіншісінің катеттеріне тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең (үшбұрыштар теңдігінің бірінші шарты бойынша) Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың катеті мен оған іргелес жатқан сүйір бұрышы сәйкесінше екіншінің катеті мен оған іргелес жатқан сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады (үшбұрыштар теңдігінің екінші шарты бойынша) А
C
B
Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы сәйкесінше екіншісінің гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар сәйкес болады. А
C
B
А1
C1
B1
4.
3.
А1
C1
B1
=
=
Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті екіншісінің гипотенузасы мен катеті сәйкесінше тең болса, онда мұндай үшбұрыштар конгруентті болады.
