Примеры сильнейших землетрясений мира

20 
В результате деформации прямоугольник превратится в четырехугольник 
'
'
'
'
D
C
B
A
, при этом изменятся длины сторон и углы между сторонами. 
Рассмотрим изменение стороны 
AB
в результате деформации. Вектор 
B
B
′
′′
представляет собой изменение смещения при перемещении от точки (
x,y
) 
к 
точке (
x
+
∆
x, y
), т.е. 
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
x
u
u
u
−
∆
+
=
∆
. В предположении малости 
смещений 
x
x
∆
∂
∂
≈
∆
u
u
. Компонента этого вектора 
x
x
u
B
B
u
∆
∂
∂
=
=
∆
''
'
"
представляет собой приращение длины стороны 
AB
, а 
x
x
x
v
B
B
v
∆
≈
∆
∂
∂
=
=
∆
α
'
''
'
определяет ее поворот. Аналогично удлинение стороны 
AD
при перемещении от 
точки (
x,y
) к то ч
ке (
x, y
+
∆
y
) 
будет приблизительно равно 
y
y
v
D
D
v
∆
∂
∂
=
=
∆
''
'
"
, а 
y
y
y
u
D
D
∆
≈
∆
∂
∂
=
β
'
''
'
. Таким образом, изменение 
прямого угла между координатными осями определится суммой углов 
y
u
x
v
∂
∂
+
∂
∂
=
+
β
α
. В общем случае, когда смещение зависит от всех трех 
координат, полная деформация определяется шестью величинами: 
относительными 
удлинениями 
линейных 
элементов, 
параллельных 
координатным осям
z
w
e
y
v
e
x
u
e
zz
yy
xx
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
,
,
и изменениями прямых углов между координатными осями 
z
v
y
w
e
x
w
z
u
e
y
u
x
v
e
yz
xz
xy
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
,
,
Последние три величины определяют деформацию сдвига. Обычно в качестве 
характеристики деформации сдвига принимают величины равные половине 
изменения угла, т.е. 






∂
∂
+
∂
∂
=






∂
∂
+
∂
∂
=






∂
∂
+
∂
∂
=
z
v
y
w
x
w
z
u
y
u
x
v
yz
xz
xy
2
1
,
2
1
,
2
1
ε
ε
ε
Если обозначить координаты 
x,y,z 
через 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, 
а компоненты вектора 
смещения 
u,v,w 
через 
u
1
, 
u
2
, 
u
3
, 
то деформации как удлинения, так и сдвига 
могут быть записаны единообразно: 






∂
∂
+
∂
∂
=
i
k
k
i
ik
x
u
x
u
2
1
ε
Таким образом малая деформация характеризуется симметричным тензором 
деформации 










33
32
31
23
22
21
13
12
11
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Симметричный тензор всегда может быть приведен к диагональному виду 
поворотом координатных осей. Таким образом, в каждой точке тела могут быть 
выбраны такие направления осей, в которых отсутствуют сдвиговые 
деформации – они называются главными осями деформации. В главных осях 
элементарный параллелепипед со сторонами 
∆
x,
∆
y,
∆
z 
в результате деформации 

21 
будет также представлять параллелепипед, но имеющий стороны 
∆
x
(1+
ε
xx
)
, 
∆
y
(1+
ε
yy
)
, 
∆
z
(1+
ε
zz
)
. 
Объем такого параллелепипеда будет равен
)
1
)(
1
)(
1
(
zz
yy
xx
z
y
x
ε
ε
ε
+
+
+
∆
∆
∆
, а относительное изменение объема в результате 
деформации (учитывая малость деформаций) будет соответственно равно сумме 
диагональных элементов тензора деформации 
zz
yy
xx
zz
yy
xx
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
+
≈
−
+
+
+
1
)
1
)(
1
)(
1
(
Поскольку сумма диагональных элементов тензора является инвариантом 
относительно поворота координат, то и в любой другой координатной системе 
относительное изменение объема будет тоже определяться суммой 
диагональных элементов тензора деформации. Эту величину называют 
дилатацией
и обычно обозначают 
θ
, так что 
u
div
z
w
y
v
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
θ
2.2. Напряжения 
В результате деформирования сплошной среды в ней возникают силы, 
стремящиеся противодействовать деформации. Понять характер этих сил 
можно, если рассмотреть некоторый объем среды 
Ω
, находящейся в 
деформированном состоянии и мысленно удалить окружающую его среду. 
Очевидно, для того чтобы сохранить этот объем в том же деформированном 
состоянии, необходимо к поверхности 
Σ
этого объема приложить силы, 
определенным образом распределенные по поверхности (рис.2.2). В отличие от
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Ω
Σ
Рис.2.2 
Стрелки изображают силы, приложенные к поверхности 
Σ
. 
объемных сил, приложенных к элементу объема и имеющих в рассматриваемой 
точке определенное направление, поверхностные силы зависят не только от 
положения точки, но и от ориентации элемента поверхности. Такие силы, 
отнесенные к единице поверхности, называются напряжениями. В каждой точке 
напряжение определяется вектором силы и направлением нормали к площадке, 
так что к элементу поверхности 
∆Σ
, имеющей нормаль
 n
, будет приложена сила 
∆Σ
n
T
. Поскольку напряжение определяется не только величиной и 

22 
направлением силы, но и направлением нормали к поверхности, оно является 
тензором. Чтобы определить тензор напряжений в координатной системе 
x,y,z, 
рассмотрим элемент объема в виде тетраэдра, имеющего три грани, 
ориентированные параллельно координатным плоскостям (рис.2.3). Четвертая
>
x
y
z
n
T
n
Рис.2.3 
Иллюстрация равновесия сил, приложенных к граням тетраэдра
грань имеет единичную нормаль 
n. 
Чтобы этот элемент объема находился в 
равновесии, необходимо, чтобы сумма всех сил, приложенных к его 
поверхности, равнялась нулю. Пусть площадь грани, имеющей нормаль 
n
, 
равна 
dS
. Тогда площади граней, перпендикулярных осям 
x,y,z
, будут 
соответственно равны 
dS
n
dS
n
dS
n
z
y
x
,
,
, где 
z
y
x
n
n
n
,
,
- 
компоненты вектора 
n
.
Силы, приложенные к этим граням, будут равны 
dS
n
dS
n
dS
n
z
z
y
y
x
x
T
T
T
−
−
−
,
,
. 
Знак минус возникает за счет того, что внешней нормалью к этим граням 
являются оси -
x,-y,-z
. А сила, приложенная к четвертой грани, равна 
dS
n
T
. Из 
условия равновесия следует, что 
z
z
y
y
x
x
n
n
n
n
T
T
T
T
+
+
=
(2.1) 
Это равенство в компонентах записывается следующим образом: 
z
zz
y
yz
x
xz
nz
z
zy
y
yy
x
xy
ny
z
zx
y
yx
x
xx
nx
n
T
n
T
n
T
T
n
T
n
T
n
T
T
n
T
n
T
n
T
T
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Таким образом напряжение в любой точке однозначно определяется тензором 










=
zz
yz
xz
zy
yy
xy
zx
yx
xx
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Τ
Компоненты напряжений, совпадающие по направлению с нормалью к 
площадке, называются нормальными напряжениями, а компоненты 
перпендикулярные нормали называются касательными напряжениями. 
Очевидно, что диагональные элементы тензора 
Τ
представляют собой 
нормальные, а внедиагональные – касательные напряжения. 

23 
Тензор напряжений является симметричным, т.е. 
zy
yz
zx
xz
yx
xy
T
T
T
T
T
T
=
=
=
,
,
. 
Данный факт следует из условия равновесия, которое включает не только 
равенство нулю суммарной силы, но и равенство нулю суммы моментов сил, 
приложенных к элементу объема. Выберем элемент объема в виде 
параллелепипеда (рис.2.4) со сторонами 
∆
x,
∆
y,
∆
z.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
T
xx
T
xz
T
xy
T
zx
T
zz
T
zy
x
z
y
T
xz
T
xx
T
xy
T
zx
T
zy
T
zz
Рис.2.4. 
Из равенства моментов сил, приложенных к заштрихованным граням 
параллелепипеда, выводится симметричность тензора напряжений.
С точностью до величин следующего по величине порядка малости можно 
принять, что напряжения, приложенные к противоположным граням равны по 
величине и противоположны по знаку, поскольку внешние нормали к этим 
граням имеют противоположные направления. Рассмотрим момент сил вдоль 
оси 
y
. Он создается касательными напряжениями, перпендикулярными оси 
y
и 
приложенными к верхней, нижней, левой и правой граням. Силы, приложенные 
к левой и правой граням, равны 
z
y
T
xz
∆
∆
и создают момент 
x
z
y
T
xz
∆
∆
∆
. 
Приложенные к верхней и нижней граням силы равны 
x
y
T
zx
∆
∆
, а момент, 
создаваемый ими, равен 
z
x
y
T
zx
∆
∆
∆
−
. Поскольку сумма моментов сил должна 
быть равна нулю, следует, что 
zx
xz
T
T
=
. Аналогичным образом доказывается, 
что 
yz
zy
yx
xy
T
T
T
T
=
=
,
. 
Как и в случае тензора деформаций, тензор напряжений может быть приведен 
к диагональному виду поворотом координатных осей. Оси, в которых тензор 
напряжений является диагональным, называются главными осями напряжений. 
В главных осях касательные напряжения, приложенные к координатным 
плоскостям, отсутствуют. Если в главных осях все нормальные напряжения 
равны, т.е. 
zz
yy
xx
T
T
T
=
=
, то тело подвергается равномерному давлению. 
Поскольку нормальные напряжения положительны, когда они направлены в 
сторону внешней нормали к поверхности, и соответственно вызывают

24 
растяжение среды, то давление, вызывающее сжатие, будет в этом случае равно 
zz
yy
xx
T
T
T
p
−
=
−
=
−
=
. В общем случае давление определяется как среднее из 
нормальных напряжений, т.е. 
(
)
zz
yy
xx
T
T
T
p
+
+
−
=
3
1
. Эта величина не зависит 
от координатных осей. 

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: