Примеры сильнейших землетрясений мира
жүктеу/скачать 8,05 Mb. Pdf көрінісі
|
Yanovskaya T B -Osnovy seysmologii 2008
| x
x x u ψ rot + ∇ = ϕ (2.19) Здесь ϕ ( x ) и ψ ( x ) скалярный и векторный потенциалы. Заметим, что потенциалы определяются не однозначно – скалярный потенциал определен с точностью до константы, а векторный – до градиента некоторой скалярной функции. Аналогичным образом представим объемную силу через скалярный и векторный потенциалы: Ψ rot + Φ ∇ = ) ( x f (2.20) Подставим представление (2.19),(2.20) в уравнение движения (2.18): 0 ) ( ) ( ) 2 ( = + Φ ∇ + ∂ ∂ − ∂ ∇ ∂ − − ∆ ∇ + Ψ ψ ψ rot rot rotrotrot 2 2 2 2 t t x x ρ ϕ ρ µ ϕ µ λ В левой части полученного уравнения мы можем также выделить потенциальную и вихревую части каждую из них приравнять нулю: 0 0 ) 2 ( 2 2 2 2 = + ∂ ∂ − − = Φ + ∂ ∂ − ∆ + ∇ Ψ ψ ψ t rotrot rot t ρ µ ϕ ρ ϕ µ λ (2.21) Из первого уравнения следует, что выражение под знаком градиента должно быть равно константе. Но поскольку ϕ и Φ определены с точностью до констант, мы можем их выбрать так, чтобы в первом уравнении (2.21) константа в выражении под знаком градиента была равна нулю, т.е. Φ − ∂ ∂ = ∆ + 2 2 ) 2 ( t ϕ ρ ϕ µ λ (2.22) При преобразовании второго уравнения (2.21) мы прежде всего воспользуемся известным из векторного анализа соотношением ψ ψ ψ rotrot div − ∇ = ∆ и учтем, что ротор градиента равен нулю. Тогда это уравнение примет вид: 0 2 2 = + ∂ ∂ − ∆ Ψ ψ ψ t rot ρ µ И аналогично тому, как было сделано для скалярного потенциала, мы можем принять выражение под знаком ротора равным нулю, т.е. получим уравнение для векторного потенциала в виде Ψ ψ ψ − ∂ ∂ = ∆ 2 2 t ρ µ (2.23) Уравнения (2.22) и (2.23) описывают различные типы движений в упругой среде. Если внешние объемные силы отсутствуют, то (2.22) и (2.23 ) могут быть записаны в стандартной форме волнового уравнения 2 2 2 2 2 1 2 t a t ∂ ∂ = ∂ ∂ + = ∆ ϕ ϕ µ λ ρ ϕ (2.24) 2 2 2 2 2 1 t b t ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∆ ψ ψ ψ µ ρ 30 Движение, описываемое скалярным потенциалом ϕ , представляет волну, распространяющуюся со скоростью ρ µ λ 2 + = a , а движение, описываемое векторным потенциалом Ψ - волну, распространяющуюся со скоростью ρ µ = b . Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать начальные условия, т.е. функции ϕ ( жүктеу/скачать 8,05 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|