Примеры сильнейших землетрясений мира

32 
Обозначим 
µ
λ
µ
ρ
θ
+
−
=
2
c
, тогда (2.29) иначе можно записать в виде 
l
l
nn
θ
=
T
(2.30) 
откуда видно, что 
θ
и
l 
являются
 
соответственно собственным значением и 
собственным вектором матрицы 
T
nn
N
=
. Матрица 
N 
имеет вид 












=
2
2
2
z
y
z
x
z
z
y
y
x
y
z
x
y
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
N
Учитывая, что 
n 
единичный вектор, т.е. что 
1
2
2
2
=
+
+
z
y
x
n
n
n
, нетрудно показать, 
что собственное значение удовлетворяет уравнению: 
0
2
3
=
−
θ
θ
Это уравнение имеет три корня: 
0
,
1
3
2
1
=
=
=
θ
θ
θ
Иначе 
b
c
c
a
c
=
=
=
=
+
=
,
2
3
2
1
ρ
µ
ρ
µ
λ
Собственный вектор, соответствующий первому корню, т.е. волне P, 
распространяющейся со скоростью
a, 
определяется из уравнения 
l
l
nn
=
T
, 
и так как 
1
=
n
n
T
, то легко видеть, что в этом случае 
l
=
n
. 
Поскольку все 
собственные векторы взаимно ортогональны, то векторы, соответствующие 
двум другим собственным значениям, ортогональны вектору 
n
, т.е. 
направлению распространения волны, и в то же время они ортогональны между 
собой. Соответствующие этим корням волны распространяются с одной и той 
же скоростью 
b
, но поляризованы в двух взаимно перпендикулярных 
направлениях. Равенство скоростей этих волн (поперечных) имеет место только 
в случае изотропной среды. В анизотропной среде все собственные значения 
оказываются различными. При этом поляризация продольной волны не 
совпадает с направлением распространения (поэтому такая волны называется 
квазипродольной), а две другие волны, поляризованные ортогонально 
квазипродольной волне, называются квазипоперечными, и их скорости не 
одинаковы.
2.8. 
Неоднородные плоские волны 
 
При решении уравнения движения на основе представления (2.28) 
единственное предположение, которые мы делали относительно векторов 
l 
и 
n , 
было то, что эти векторы должны быть единичными, т.е.
(
n
,
n
)=1, (
l,l
)=1 
При этом не обязательно, чтобы эти векторы были вещественными – они в 
общем могут быть и комплексными. Но если 
n 
является комплексным, то 
аргумент функции 
Φ
также будет комплексным, и соответственно сама функция 
Φ
будет комплексной. 
Итак, пусть 
n 
и
 l 
комплексные векторы 

33 
2
1
n
n
n
i
+
=
 
2
1
l
l
l
i
+
=
 
аргумент функции 
Φ
является комплексным числом 
x+iy
, 
и сама функция 
Φ
также содержит вещественную и мнимую части: 
)
,
(
)
,
(
)
(
y
x
ig
y
x
f
iy
x
+
=
+
Φ
 
Поскольку
n
и 
l
единичные векторы, мы будем иметь следующие соотношения 
для векторов 
2
1
2
1
,
,
,
l
l
n
n
: 
0
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
=
=
−
=
=
−
=
+
−
l
l
l
l
l
l
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i
Смещение 
u 
должно быть вещественным, поэтому следует брать только 
вещественную часть комплексного решения:






−
−
−






−
−
=
c
c
t
g
c
c
t
f
t
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
2
1
2
2
1
1
n
x
n
x
l
n
x
n
x
l
x
u
(2.31) 
Это выражение описывает неоднородную плоскую волну. Движение в такой 
волне можно представить следующим образом. Смещение ведет себя во 
времени одинаково вдоль прямых линий, определяемых пересечением 
плоскостей (
x
,
n
1
)=const 
и (
x
,
n
2
)=const
. Волна распространяется в направлении 
вектора 
n
1
со скоростью 
1
n
c
V
=
. Поскольку 
1
1
2
2
1
>
+
=
n
n
, скорость 
неоднородной волны всегда меньше
c 
(т.е. 
a
или 
b
). Форма волны и ее 
амплитуда изменяются в направлении вектора 
n
2
. Компоненты смещения вдоль 
векторов 
l
1 
и 
l
2
изменяются по-разному в соответствии с функциями 
f
и 
g
. 
Векторы 
l
1 
и 
l
2
в продольной волне совпадают с векторами 
n
1 
и 
n
2
. В поперечной 
волне векторы 
l
1 
и 
l
2
удовлетворяют соотношениям 
0
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
1
2
2
1
2
2
1
1
=
+
=
−
n
l
n
l
n
l
n
l
(2.32) 
На рис.2.7 показана ориентация векторов 
n
1 
, 
n
2
 , l
1 
, 
l
2
в волне S. 
Рис.2.7. Ориентация вещественной и мнимой частей векторов
n
и 
l
в
поперечной волне. 
n
l
n
l
1
2
2
1
β

34 
Из (2.32) следует, что 
1
2
2
1
)
,
(
cos
l
n
l
n
−
=
β
Если 
β
=
π
, 
то волна поляризована в плоскости векторов 
n
1 
, 
n
2
, так что она будет 
иметь продольную компоненту, т.е. в направлении распространения волны. 
Такая волна называется волной SV. Случаю 
β
=
π
/2 соответствует 
l
2
=0, при 
этом волна будет иметь только одну компоненту в направлении 
перпендикулярном плоскости векторов 
n
1 
, 
n
2
, т.е. она будет поляризована 
линейно. Такая волна называется волной SH. 
Если движение в волне представляет собой гармонические колебания с 
круговой частотой 
ω
, т.е.
)
exp(
)
exp(
)
(
y
x
i
A
z
i
A
z
ω
ω
ω
−
=
=
Φ
, то 
x
Ae
y
x
g
x
Ae
y
x
f
y
y
ω
ω
ω
ω
sin
)
,
(
cos
)
,
(
−
−
=
=
Движение частиц в неоднородной гармонической волне будет эллиптическим в
P и SV волнах и линейным в SH волне (рис.2.8) 
Рис.2.8. 
Движение частиц в волнах P. SV и SH. 
В общем случае функции
f(x,y), g(x,y) 
могут быть представлены в виде 
суперпозиции затухающих гармонических колебаний, т.е. 
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
xd
e
A
y
x
g
xd
e
A
y
x
f
y
y
sin
)
(
)
,
(
cos
)
(
)
,
(
0
0
−
∞
−
∞
∫
∫
=
=
(2.33) 
Так как время 
t 
входит только в вещественную часть аргумента функций 
f 
и
g
, 
т.е. в
c
t
x
/
)
,
(
1
x
n
−
=
, то форма волны в определенной точке 
x 
определяется 
как функция этого аргумента. Из (2.33) видно, что функция 
g
как функция 
x 
(или
t
) является преобразованием Гильберта функции 
f.
P
SV
SH

35 
В безграничном пространстве функции
f 
и
g 
не являются конечными из-за 
наличия экспоненциального множителя 
y
e
ω
−
. Поэтому представление решения 
в виде неоднородной волны может использоваться только в ограниченном 
части пространства или в случае наличия источников волн. 
Любое волновое поле может быть представлено в виде суперпозиции плоских 
волн (однородных и неоднородных) так, чтобы оно удовлетворяло уравнению 
движения и следующим граничным условиям: 

Условию излучения, которое требует, чтобы смещение не возрастало на 
бесконечности; 

Граничным условиям на границах в среде; 

Условиям в точках, где расположены источники.
Первое и третье условия ( а в некоторых случаях и второе) не могут быть 
удовлетворены, если строить решение путем суперпозиции только однородных 
плоских волн. В этих случаях необходимо учитывать еще и неоднородные
волны. Как мы увидим в следующем разделе, волна, возбуждаемая 
симметричным точечным источником, помещенным в начало координатной 
системы (сферическая волна) может быть представлена в виде суперпозиции 
плоских однородных и неоднородных волн. 
2.9
. Сферические волны 
Плоскую волну можно представить себе как результат возмущения на 
некоторой неограниченной плоскости, удаленной на бесконечность, причем оно 
одинаково вдоль всей плоскости. В результате этого возникает плоская волна, 
распространяющаяся в безграничном пространстве в направлении 
перпендикулярном плоскости начального возмущения. При этом в 
пространстве отсутствуют какие-либо другие источники возмущения. В 
действительности такая ситуация не может быть воспроизведена в реальности. 
Но концепция плоских волн удобна с одной стороны для того, чтобы иметь 
возможность строить решение от произвольного источника путем суперпозиции 
плоских (однородных и неоднородных) волн, а с другой – для анализа 
волнового поля, возбужденного удаленным источником в некоторой 
ограниченной области. В последнем случае волну локально можно 
приближенно рассматривать как плоскую.
Хотя сейсмические источники всегда имеют конечную протяженность, на 
больших расстояниях поле от таких источников приближенно можно 
рассматривать как возбужденное точечным источником. Рассмотрим поле 
такой волны и покажем, как его можно представить в виде суперпозиции 
плоских волн. 
Будем для простоты рассматривать поле только продольной волны, 
описываемое скалярным потенциалом 
ϕ
(
x
,t
). Источник поместим в начало 
координат, и вначале рассмотрим решение волнового уравнения в пространстве, 
исключая точку, где расположен источник. В отсутствии источников (внешних 
сил) уравнение для скалярного потенциала имеет вид
1
2
2
2
t
a
∂
∂
=
∆
ϕ
ϕ
(2.34) 

36 
Будем решать это уравнение в сферических координатах. Оператор Лапласа в 
сферических координатах имеет вид: 
 
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
1
φ
ϕ
θ
θ
ϕ
θ
θ
θ
ϕ
ϕ
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
=
∆
R
R
R
R
R
R
Для простоты предположим, что источник излучает одниково во всех 
направлениях, так что волновое поле является сферически симметричным, т.е. 
зависит только от координаты 
R
. 
Тогда уравнение (2.34) принимает вид 
2
2
2
2
2
1
1
t
a
R
R
R
R
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕ
, (2.35) 
или 
2
2
2
2
2
1
2
t
a
R
R
R
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
, 
Если умножить обе части этого уравнения на 
R
, 
то оно примет вид 
)
(
1
)
(
2
2
2
2
2
ϕ
ϕ
R
t
a
R
R
∂
∂
=
∂
∂
А это есть одномерное волновое уравнение, решение которого может быть 
записано в виде плоской волны, распространяющейся в направлении 
R
. 
Соответственно потенциал 
ϕ
(
 R
) волны, распространяющейся от источника
(
R
=0)
, может быть записан в виде 
R
a
R
t
F
t
R
)
/
(
)
,
(
−
=
ϕ
(2.36) 
Такое представление справедливо везде кроме точки 
R
=0
. Но поскольку волна 
распространяется от этой точки, можно считать, что в этой точке расположен 
источник типа объемной силы, а выражение для объемной силы должно 
входить в правую часть уравнения движения. Действительно, когда мы 
исходили из уравнения движения и приводили его к волновому уравнению 
(2.34), мы строили решение в той части пространства, где отсутствуют внешние 
силы, т.е. всюду кроме точки 
R
=0
. А во всем пространстве, включая и точку 
R
=0
, решение (2.36) удовлетворяет уравнению
)
(
)
(
4
1
1
2
2
2
2
2
t
F
t
a
R
R
R
R
x
πδ
ϕ
ϕ
−
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
(2.37) 
где
δ
(

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: