Расчетно-графические задания по общей физике
Распределение Максвелла-Больцмана
жүктеу/скачать 1,1 Mb.
|
task 168016 (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример 10.1. Постановка задачи.
- Математическая модель
| Распределение Максвелла-Больцмана
В те далекие времена, когда студенты использовали логарифмические линейки и металлические арифмометры «Феликс» большую роль играли различные вычислительные таблицы. Например, в известном задачнике по физике Волькенштейн В.С. были приведены таблицы, в том числе таблица плотности распределения молекул идеального газа по скоростям и таблица относительной доли молекул, скорости которых превышают заданное значение скорости. В настоящее время человека окружают со всех сторон различные электронные вычислительные устройства, поэтому роль вычислительных таблиц значительно уменьшилась. Очень важно научиться правильно применять вычислительные устройства в повседневной жизни, в том числе и при решении задач. Пример 10.1. Постановка задачи. Энергию атомных и субатомных частиц часто измеряют в электронвольтах, 1 эВ = 1.6×10-19 Дж. Найти, при какой температуре средняя кинетическая энергия атомов гелия равна 1 эВ. Определить, какая доля атомов гелия имеет кинетическую энергию, отличающуюся от средней на 25 %. Дано:
м/с эВ \ Математическая модель (см.[1]). Плотность распределения молекул по скоростям задается выражением , (1) где Дж/К – постоянная Больцмана, - масса молекулы. Более удобно работать с безразмерной скоростью , где, - наиболее вероятная скорость, Дж/мольК, - молярная масса газа. Тогда распределение Максвелла принимает простой вид (2) Решение Кинетическая энергия молекулы состоит из поступательной и вращательной энергий, суммарное значение которых равно 1 эВ. Атом гелия имеет 3 степени свободы. По закону равнораспределения на одну степень свободы молекулы приходится средняя энергия (3) Поэтому для атомов гелия мы имеем (4) тогда температура, при которой энергия атомов гелия равна 1 эВ будет определяться из следующей цепочки Относительная доля молекул идеального газа, чьи скорости лежат в диапазоне от до из распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), заданного (1). Для того, чтобы найти долю частиц, у которых скорости находятся в диапазоне от до , необходимо вычислить интеграл (5) Вычислим скорости (6) (7) Итак, скорости равны , . Для вычисления интеграла (5) используем простейшую квадратурную формулу прямоугольников (8) реализованную в виде псевдокода begin\\ q=1.6e-19;\\ k=1.38e-23;\\ E0=1*q;\\ i=3;\\ T1=2*E0/3/k\\ nu=0.25\\ u1=sqrt(1.3*(1-nu))\\ u2=sqrt(1.3*(1+nu))\\ N=500\\ du=(u2-u1)/N;\\ sums=0\\ for j=1:N\\ u=u1+j*du;\\ sums=sums+u*u*exp(-u*u);\\ end\\ DW=4*du*sums/sqrt(pi)\\ % Распределение молекул газа по скоростям v1=0\\ v2=4\\ N=100\\ dv=(v2-v1)/N;\\ sums=0\\ for j=1:N\\ u=v1+j*dv;\\ v(j)=u;\\ f(j)=4*u*u*exp(-u*u)/sqrt(pi);\\ sums=sums+f(j);\\ end\\ DW0=dv*sums\\ end\\ Выполняя расчет (8), получаем . Построим график Рис.1.Распределение молекул газа по скоростям жүктеу/скачать 1,1 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|