Реферат тақырыбы: «Қатты дененің айналмалы қозғалысының кинематикасы мен динамикасы»
жүктеу/скачать 305,14 Kb.
|
реферат
| 2.Қатты денелер кинематикасы
Материялық нүктелердiң кез келген жинағын материялық система деп атайды. Әрбiр нүктесiнiң кеңiстiктегi орны және қозғалысы оның басқа нүктелерiнiң орындары мен қозғалыстарына тәуелдi болатын материялық системаны механикалық система деп атайды. Абсолют қатты дене механикалық системаның кез келген екi нүктесiнiң арақашықтығы өзгермейтiн жеке түрi болып табылады ол кейде өзгермейтiн механикалық система деп аталады. Кеңiстiкте кез келген бағытта қандай болмасын жылдамдықпен орын ауыстыра алатын системаны еркiн система деп атайды. Еркiндiгi белгiлi бiр шарттармен шектелген системаны еркiн емес система деп, ал оның еркiндiгiн шектеп тұрган шарттарды байланыстар деп атайды. Механикалық системаларды құраушы нүктелердiң қозғалыстарының тәуелдiлiгi нүктелердiң өзара әсерiнен және байланыстардың әсерiнен туады. Нүктелердiң система iшiнде өзара орналасуын шектейтiн шарттар (система нүктелерiнiң өзара әсерi) iшкі байланыстар деп, тұтас системаға түсiрiлген байланыстар сыртққы байланыстар деп аталады. Тек қана iшкi байланыстары бар система еркін система болады. Байланыстар бiр теңдеулермен (кейде теңсiздiктермен) өрнектеледi. Бұл теңдеулердiң түрiне қарай байланыстар екi топқа бөлiнедi. Егер байланыс системаның, демек, оны құрайтын барлық нүктелердiң, кез келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын ғана шектейтiн болса, яғни оны өрнектейтiн теңдеуге тек система нүктелерiнiң координаталары ғана қанағаттандыратын болса, ондай байланыс геометриялык немесе шектi байланыс деп аталады. Система n нүктеден тұрады десек, оған түсiрлген геометриялық байланыстың теңдеуi жалпы былай жазылады: f ( , ; t ) = 0 (2.1) Системаның кеңiстiктегi орнымен қатар жылдамдығын да шектейтiн байланыстарды кинематикалық немесе дифференциалдық байланыстар дейдi. Оларды өрнектейтiн теңдеулердiң құрамына система нүктелерiнiң кез келген уақыт кезеңiндегi координаталары және олардың уақыт бойынша алынған бiрiншi туындылары да кiредi: φ ( , … , ; , … , ; t )=0. (2.2) Тек қана геометриялық байланыстар әсер ететін системалар голономдық системалар деп, геометриялық байланыстармен қатар кинематикалық байланыстары да бар системалар голономдық емес системалар деп аталады. Осыған орай кейде геометриялық байланыстарды голономдық, ал интегралданбайтын дифференциалдық байланыстарды голономдық емес байланыстар деп атайды. (2.2) Бiз бұдан былай тек голономдық системалар қозғалысын ғана оқып үйренемiз. Голономдық емес системалар кездесетiн жағдайлар ерекше ескертiледi. Еркiн емес системаның кеңістiктегi орнын бiр мәндi анықтайтын тәуелсiз координаталардың саны оны құрайтын барлық нүктелердiң координаталарының санынан кем болады. Шынында да, n нүктеден тұратын голономдық системаға r геометриялық байланыстар (2.1) түсірілсiн. Сонда системаның кеңістiктегi орнын, яғни конфигурациясын анықтайтын 3n координаталардың (Зn—k)-сы ғана тәуелсiз болады, өйткенi қалғандары бұлар арқылы берiлген k байланыстың теңдеулерiнен анықталады. Бұл тәуелсiз координаталар система координатал ары (немесе системаның жалпыланған координаталары) деп аталады және оның кеңiстiктегi орнын бiр мәндi анықтайды. Система координаталарының жиыны оның конфигурациясы делiнедi. Система конфигурациясын өлшемдерiнiң саны система координаталарының санына тең кеңiстiкте қаралып отырған бiр нүктелің координаталары деп қарауға болады. Бұл нүктенi системаның өрнектеушi нүктесi деймiз. Еркiн нүктенiң кез келген уақыт кезеңiндегi таңдап алынған координаталар системасына қарагандағы кеңiстiктегi орны өзара тәуелсiз үш скалярлық координаталарымен анықталады. Таңдап алынған координаталар системасының түріне қарай олар сызықтық та, бұрыштық та шамалар болуы мүмкiн. Олар жалпыланған (қисық сызықты) координаталар деп аталып, әдетте (t), (t), (t) арқылы белгiленедi. Іс жүзiнде байланыс белгiлi бiр бет немесе қисық ретiнде берiледi. Олардың теңдеулерi нүктенiң қозғалысын шектейтiн шарттар болып табылады. Мысалы, материялық нүкте радиусы R сфераның iшiнде және iшкi бетiнде ғана қозғала алатын болса, онда байланыс былай өрнектеледi: х²+y²+z²≤R² Егер нүкте барлық уақытта белгiлi бiр қисықтың, не беттiң үстiнде қозғалуға тиiс болса, онда нүктенiң координаталары сол қисықтың, не беттің теңдеулерiне қанағаттандыруға тиiс, яғни қозғалушы нүктенiң координаталары соңғылардың ағым координаталары болуға тиіс. Өзiнiң түрiн өзгертпейтiн, яғни деформацияланбайтын, кеңістікте қозғалмайтын, уақытқа тәуелсiз байланыстар станционар (тұрақты) немесе склероном байланыстар деп, ал уақыт өткен сайын өзiнiң түрiн немесе кеңiстiктегi орнын өзгертiп тұратын байланыстар, мысалы (2.2) стационар емес (айнымалы) немесе реоном байланыстар деп аталады. Стационар байланыстардың теңдеулерiне уақыт кiрмейдi. Системаға (нүктеге) әсерi еш уақытта тоқтамайтын, яғни әсерiнен қозғаушы система құтыла алмайтын байланыстар құтқармайтын немесе екi жақты байланыстар деп аталады. Олар (2.1), сияқты теңдiктермен өрнектеледi. Қозғалыстағы системаға (нүктенің әсері белгiлi бiр уақыт кезеңiнде тоқтайтын байланыстар құтқаратын (босататын) немесе бiр жақты байланыстар делiнедi. Мысалы, байланыс бетінен, не қисығынан нүкте бiр жағына қарай түсе алады. Бұл жағдайда байланыс тек кеңiстiктiң материялық нүкте шыға алмайтын бөлiгiн шектеп тұрады және теңсiздiктермен өрнектеледi. Еркiн емес нүктелердiң жалпыланған координаталарының саны үштен кем болады. Мысалы, нүкте берiлген қисықтың бойымен қозғалуға мәжбүр болса, оның кез келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын анықтауға нүктенiң бір ғана доғалық координатасы s=s(t) жеткiліктi. Шынында да, жалпыланған координаталардың бiрiнің, мысалы -нiң, орнына доғалық координатаны қабылдасақ қалган екеуi сол арқылы берiлген қисықтың (траекторияның) - байланыстың координаталық екi теңдеунен ( s, , )=О, (i=1, 2) анықталады. Әрине, нүктенi системаның және түрі деп қарауға болады. Берiлген қисықтың теңдеулерi геометриялық байланыстар екенi сөзсiз. Олай болса берiлген траекторияның бойымен қозғалушы нүкте бір нүктеден тұратын голономдық система екен. Голономдык системаның (нүктенiң) кез келген уақыт кезеңiндегi кеңiстiктегi орнын бір мәндi анықтайтын өзара тәуелсiз скалярлық функциялардың (системаның жалпыланған немесе қисық сызықты координаталарының, ал қысқаша система координаталарының) санын системаның (нүктенiң) еркiндiк дәреже саны деп атайды. Аргументтерi уақъгг болып келетiн сол скалярлық функциялардың өздерi системаның қозғалыс теңдеулерi немесе қозғалыс заңы деп аталады. Система кинематикасының негiзгi мақсаты қозғалушы системаның еркiндiк көрсеткiшiнiң санын анықтау, оның жалпыланған координаталарының дұрыс тағайындап, таңдап алынған координаталар системасындағы қозғалыс теңдеулерiн мүмкiндiгiнше ең қарапайым түрде жазу болып табылады. Қозғалыстың басқа кинематикалық характеристикаларын, қасиеттерiн анықтау математикалық жолмен жүргiзiледi. Еркiн абсолют қатты дененің еркiндiк дәреже санын және қозғалыс теңдеулерiн анықтайық. Ол үшiн берiлген А денесiнiң (2.1-сурет) таңдап алынған Оζηξ декарттық координаталар системасымен салыстырғандағы орнын бір мәндi анықтайтын өзара тәуелсiз координаталарды табу керек. Қатты дененiң кеңiстiктегi орны оның бiр түзудің бойында жатпайтын кез келген үш нүктесiнiң координаталарымен бiр мәндi анықталады, осындай үш нүктеде, мысалы Мi ( , , ), (i=1, 2, 3) нүктелерiнде, бекiтiлтен А денесi қозғалмайды. Үш нүктенiң тоғыз координатасы бар, бiрақ дене абсолют қатты болғандықтан олар өзара төмендегiдей үш шартпен байланысқан: | |=соnst= , | |=соnst= , | | =соnst= . Демек, тоғыз координатаның тек алтауы ғана өзара тәуелсiз болады, яғни еркiн қатты дененiң еркiндiк дареже саны алтыға тең. Тағы да қосымша нүктелер қарасақ еркiндiк дәреже саны арта ма? Жок, артпайды. Себебi жаңадан қанша координата қосылса оларды байланыстыратын сонша теңдеулер де қосылады. Мысалы, қосымша нүктесін қарасақ, оның үш координатасымен бiрге оны алдыңғы үш нүктемен қосатын кесiндiлердiң ұзындыктарының тұрақтылығын өрнектейтiн үш шарт та қосылады. 2.1-сурет 2.2-сурет Сонымен, көрсетілген тоғыз координатаның кез келген алтауы белгілі болса, қалған үшеуі жоғарыдағы теңдеулерден анықтап, деннің кеңістіктегі орнын дәл көрсете аламыз. Бұл қорытындыға басқаша да жолмен келуге болады. Қозғалмайтын , ζ η ξ координаталар системасынан басқа денемен бірге бекітілген қозғалмалы Охуz декарттық координаталар системасын (2.2-сурет) таңдап алалық. Қозғалмайтын және қозғалмалы координаталар осьтерінің бірлік векторларын әруақытта да сәйкес l, m, n және i, j, k деп белгілеуге келіселік. Жылжымалы Охуz координаталар системасы денемен бiрге қозғалып жүретiндiктен оның ζηξ системасымен салыстығандағы жағдайын бiлу дененiң кеңiстiктегi орнын бiлумен бiрдей. Абсолют қатты дененiң қозғалысын кинематикалық зерттеу сол денемен өзгерместей болып бекiтiлген қозғалмалы кеңiстiктiң (Охуz координаталар системасының) қозғалмайтын кеңiстiктегi ζηξ координаталар системасындағы) қозғалысын зерттеуге келтiрiледi. Қозғалмалы және қозғалмайтын кеңiстiктердiң атқаратын мiндеттерiн алмастыруға, яғни қатты дене (Охуz системасы) тыныштықта тұрады, ал кеңiстiк ( ζηξ системасы) қозғалыста болады деп қарауға болады. Бұл жағдайда қозғалыстың кинематикалық характеристикалары өзгермейдi. Бұл ақиқат қозғалыстың қайтымдылық принципi деп аталады. Ал Охуz системасының ζηξ системасымен салыстырандағы жағдайы оның О (ζ˳ (η˳ ξ˳) нүктесiнің ‚үш координатасымен және қозғалмалы осьтердiң (i, ј=1, 2, 3) тоғыз бағыттаушы косинусымен анықталады. Бiрақ, ζηξ және Охуz координаталар системалары тiк бұрышты болғандықтан + + = (2.3) болады. Мұнда i=ј болғанда, =1, ал і ≠ ј болғанда, =0 болады. Демек, тоғыз бағыттаушы косинустың үшеуi ғана өзара тәуелсiз де, қалғандары жоғарыдағы теңдiктерден солар арқылы анықталады. Сонымен, дененiң кеңiстiктегi орнын бiр мәндi анықтау үшiн О нүктесiнiң , , үш координатасын (сызықтық шамаларды) және қозғалмалы осьтердiң кез келген үш бағытттаушы косинусын (бұрьштық шамаларды) бiлсек жеткiлiктi, яғни еркiн қатты дененiң алты еркiндiк ережесi бар. Бұл қаралған ең жалпы жағдай болғандықтан қандай да болмасын қозғалыстары қатты дененiң еркiндiк дәреже саны алтыдан аспайды. Денеге түсiрiлген байланыстар оның еркiндiк дәрежелерiнiң, демек, қозғалыс теңдеулерiнiң, санын тек қана кемiтедi. Механикада тәуелсiз үш бұрыштық шаманың орнына әдетте Эйлер бұрыштары деп аталатын φ, ψ және θ шамалары (2.2) қабылданады. Эйлер бұрыштары Охуz системасының осьтерi ζηξ системасының сәйкес осьтеріне параллель қосымша Оζ'η'ξ' системасымен салыстырғандағы жағдайын бiр мәндi анықтайды және жоғарыдагы тоғыз бағыттаушы косинусты Эйлер бұрыштары арқылы бiр мәндi өрнектеуге болады. Эйлер бұрыштары көбіне астрономияда қабылданған терминдермен аталады. Егер соңгы системада дененiң кез келген М нүктесiнің координаталарын , , десек, онда тiк бұрышты координаталар системасын белгiлi бiр бұрышқа бұру формулалары бойынша ζ'= cos ψ - sin ψ , η' = sin ψ + cos ψ, ξ'= Егер М нүктесiнің системасындағы координаталарын , , десек, онда екiншi бұрудың нәтижесiнде мынадай болады: Үшiншi бұрудың нәтижесiнде алатынымыз: Аралық координаталарды тиiстi орындарына қойып, ықшамдағаннан кейiн былай жазуға болады: ξ= , η= , ζ= Мұнда sin ψ sin θ, Бұл формулалар бағытттаушы косинустардың Эйлер бұрыштары арқылы өрнектелгендiгiн көрсетедi. Сонымен, еркiн қатты дененiң мынадай алты қозғалыс теңдеуi болады: (2.4) Байланысқан қатты денелердiң еркiндiк дәрежелерiнің саны да, демек, қозғалыс теңдеулерiнiң саны да алтыдан кем болады. Мысалы, бiр ұшы (О нүктесi) ζОη жазықығында параллель жазықтықта жылжып жүретiн жiңiшке таяқшаның еркiндiк көрсеткiштерiнiң саны төртке тең. Шынында да ондай таяқшаның кеңiстiктегi орны (таяқшаның осiн жылжымалы осьтердiң бiреуiнiң, айталық Ох осiнiң, бойымен бағыталған деуге болады) О нүктесiнiң η жазықтығындағы координаталарымен ( ) және Ох осінің кез келген екi бағыттаушы косинусымен, мысалы ( ал анықталады. Сонымен, бұл таяқшаның қозғалыс теңдеулерi мынадай болады: Қатты дене, қозғалысының негізгi екi түрi бар. Олар ілгерiлемелi және айналмалы қозғалыстар. Қатты дененiң қандай болмасын жеке алынған басқа қозғалысы осы екi қозғалыстың өз-өздерiмен немесе бір-бiрiмен қосындысы болып табылады. Кейiн бұл қатты дене қозғалысының негiзгi түрлерiн, туғызушы себептердiң де табиағаты әр түрлi болатынын көремiз. жүктеу/скачать 305,14 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|